教学课时：第1课时

　　教学目标：

　　1.从实例出发，类比集合的关系和运算，引导学生从多个角度认识事件之间的关系和运算；

　　2.了解如何用概率来描述事件之间的关系,渗透概率的公理化定义；

　　3.发现生活中的数学知识,进一步提升学生的数学学科素养.

　　教学重点：事件的互斥和对立.

　　教学难点：从多个角度理解事件之间的关系和运算.

　　教学过程：

　　一.情境与问题

　　某班数学建模课分成5个小组(编号为1,2,3,4,5)采用合作学习的方式进行,课堂上教师会随机选择一个小组的成果进行展示.这一试验的样本空间可记为Ω={1,2,3,4,5}，

　　记事件E={1},F={1,2},G={1,3},H={1,2,3},I={4,5}.

　　问题1.说出每一事件的实际意义,并尝试理解上述各事件之间的关系.

　　预设：事件E发生，则事件F一定发生；事件H与事件I不能同时发生;……

　　问题2.上节课我们理解了在事件与集合之间的对应关系,类比集合之间的关系和运算，描述上述事件之间的关系.

　　预设：

　　二．探究：事件之间的关系与运算

　　1．事件的包含与相等

　　上述情境与问题中,如果事件E发生,那么事件F一定发生.即如果教师选择了第1组,那么“选择了第1组或者第2组”就一定发生.

　　定义：一般地,如果事件A发生时,事件B一定发生,则称“A包含于B”(或“B包含A”)记作AB(或BA).

　　问题3.小组讨论，从多个角度理解事件的包含关系：

　　预设：(1)从事件发生的角度看,意味着如果事件A发生,则事件B一定发生;

　　(2)从包含的样本点的角度看,意味着A的每一个样本点都是B的样本点;

　　(3)从逻辑的角度看,意味着A发生是B发生的充分条件,B发生是A发生的必要条件;

　　(4)从维恩图的角度看,意味着表示A的图形在表示B的图形的内部或相等，如图所示：

　　(5)从发生的概率大小的角度看,意味着P(A)≤P(B).

　　问题4.定义：如果事件A发生时,事件B一定发生；而且事件B发生时,事件A也一定发生,则称“A与B相等”，记作A=B.

　　请从以上5种角度理解A=B：

　　A=B也可用充分必要的语言表述为:A发生是B发生的充要条件.

　　显然,当A=B时,P(A)=P(B).

　　问题5.请你举一些实例，来理解事件的包含与相等的关系.

　　预设：先后抛两枚硬币,如果A表示“恰好有一枚硬币出现正面”,B表示“两枚硬币都出现正面”,C表示“至少有一枚硬币出现正面”,D表示“两枚硬币都没有出现反面”,则.

　　【设计意图】：事件之间的关系与运算本质上就是集合之间的关系与运算,因此,借助实例帮助学生理解抽象概念，并且用类比的学习方法，从集合的角度、包含样本点的角度、逻辑的角度等方面多角度理解事件的包含关系，同时讨论它们发生的概率之间的联系，目的是为了渗透概率的公理化定义.一方面为本课时后续事件的运算打下方法的基础，另一方面为后续古典概型的理解打下坚实的基础.

　　2.事件的和(并)

　　定义：给定事件A,B,由所有A中的样本点与B中的样本点组成的事件称为A与B的和(或并),记作A+B(或).

　　问题6.请你举实例，并且从多个角度理解事件的和（并）:

　　预设：（1）实例：前述情境与问题中,H=F+G.

　　物理中的并联电路

　　（2）多角度理解：

　　事件A与B的和可以用如图所示的阴影部分表示：

　　事件A+B发生时,当且仅当事件A与事件B中至少有一个发生,即：

　　有三种情况,即事件A发生且事件B不发生,事件A不发生且事件B生,事件A和事件B同时发生;

　　另外,从事件包含关系的角度，,

　　因此P(A)≤P(A+B)且P(B)≤P(A+B),

　　而且,直观上可知P(A+B)与P(A)+P(B)的大小关系为:P(A+B)≤P(A)+P(B).

　　3.事件的积(交)

　　思考：类比事件的并（和），请你定义事件的积（交）：

　　定义：给定事件A,B,由A与B中的公共样本点组成的事件称为A与B的积(或交),

　　记作 AB(或A∩B)

　　问题7.请你举实例，并且从多个角度理解事件的积（交），讨论事件AB与事件A+B之间的关系：

　　预设：（1）前述情境与问题中,E=FG.

　　（2）事件A与B的积可以用如图所示的阴影部分表示:

　　事件AB发生时,当且仅当事件A与事件B都发生;

　　而且,直观上可知：P(AB)≤P(A), P(AB)≤P(B) 

　　(3)事件AB发生是事件A+B发生的充分条件,事件B发生也是事件A+B发生的充分条件；

　　事件AB发生的充要条件是事件A和事件B都发生,事件AB发生是事件A发生的充分条件,事件AB发生也是事件B发生的充分条件.

　　4.事件的互斥与对立

　　问题8.在情境与问题中，事件E与I不能同时发生，这两个事件叫做互斥的，从集合的角度看，它们具有什么关系？

　　定义：给定事件A,B,若事件A与B不能发生,则称A与B互斥,记作.

　　这一关系可用右图表示：

　　思考：任意两个基本事件互斥吗？与任意事件互斥吗？如果两个事件互斥，它们和事件的概率有什么性质？

　　预设结论：任意两个基本事件都互斥；

　　与任意事件互斥；

　　从集合的角度来看,事件A与B互斥,就意味着它们没有公共元素.

　　直观上可以看出,如果事件A与B互斥,则P(AB)=0;当A与B互斥时,有P(A+B)=P(A)+P(B),这称为互斥事件的概率加法公式.

　　推广：一般地,如果A₁,A₂……A_n是两两互斥的事件,则

　　应用探究：前述情境与问题中,互斥的事件除了E与I，还有：F与I,G与I,H与I.

　　其中H与I除了具有互斥关系，还具有什么特殊性？从多种角度来理解：

　　预设：它们的并集为全集……

　　定义：给定样本空间Ω与事件A,则由Ω中所有不属于A的样本点组成的事件称为A的对立事件,记作，A与称作相互对立.

　　从集合的观点来看,是A在Ω中的补集，可用韦恩图表示,如右图：

　　每次随机试验,在事件A与中,有一个发生,而且只有一个发生.

　　由互斥事件的概率加法公式推导出对立事件的概率和为1,

　　即

　　对比探究：

　　问题9.举实例，指出试验中的互斥事件和对立事件，试用自己的语言总结出它们之间的关系,并举例说明.

　　预设：

　　（1）抛一枚硬币时,“正面向上”和“反面向上”为互斥事件;投篮时,“投中”和“未投中”为互斥事件;掷一个骰子时,“出现1点”和“出现偶数点”为互斥事件.

　　(2)如果A与B相互对立,则A与B互斥,但反之不成立,即

　　“A与B相互对立”是“A与B互斥”的充分不必要条件

　　5.事件的混合运算

　　前面实际上我们给出了事件的三种运算:求两个事件的和,求两个事件的积,求一个事件的对立事件.因为事件运算的结果仍是事件,因此可以进行事件的混合运算.

　　例如,表示与的和,实际意义是:A发生且B不发生,或者A不发生且B发生,换句话说就是A与B中恰有一个发生.

　　同数的加、减、乘、除混合运算一样,事件的混合运算也有优先级.

　　我们规定:求积运算的优先级高于求和运算,因此可简写为.

　　三.总结与提升

　　总结事件的关系和运算，填表：

　　例1.设A,B为两个事件,试用A,B表示下列各事件:

　　(1)A,B两个事件中至少有一个发生；

　　(2)A事件发生且B事件不发生；

　　(3)A,B两个事件都不发生.

　　解:(1)按照定义有A+B.

　　(2)因为B不发生可以表示为,因此可以写成.

　　(3)按照定义有.

　　例1引申:设A,B,C表示三个随机事件，请将下列事件用A,B,C表示出来：

　　（1）A发生，B,C不发生；

　　（2）A,B都发生，C不发生；

　　（3）三个事件都发生；

　　（4）三个事件至少有一个发生；

　　（5）三个事件都不发生；

　　（6）不多于一个事件发生.

　　解：

　　例2.已知数学考试中,李明成绩高于90分的概率为0.3,不低于60分且不高于90分的概率为0.5,求:

　　(1)李明成绩不低于60分的概率;

　　(2)李明成绩低于60分的概率.

　　解：记事件A:李明成绩高于90分,B:李明成绩不低于60分且不高于90分,则不难看出A与B互斥,且P(A)=0.3,P(B)=0.5.

　　(1)因为“李明成绩不低于60分”可表示为A+B,由A与B互斥可知P(A+B)=P(A)+P(B)=0.3+0.5=0.8.

　　(2)因为“李明成绩低于60分”可表示为,因此

　　四.课堂练习

　　1.（课本第102页练习A组第3题）

　　参考答案：设A表示“学校足球队不输”，B表示“学校足球队赢”，C表示“学校足球队打平”，则事件A等于事件B与C的和，且B与C互斥，所以

　　2.（课本第102页练习B组第1题）

　　参考答案：

　　3.（课本第102页练习B组第2题）

　　参考答案：

　　五．布置作业

　　1.探索与研究任意给定两个事件A,B,考虑P(A+B), P(A), P(B), P(AB)之间的等量关系,得出一般的关系式.

　　预设答案：P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB).

　　2.课本第102页练习B组第3、4、5题；

　　3.课本第118页习题B组第2、5题；

　　4.有余力的学生思考：课本第118页习题C组第2题.