教学课时：第1课时

　　教学目标：

　　1. 掌握指数函数的性质与图像；

　　2. 通过观察函数值归纳指数函数性质，感悟通过解析式研究函数性质的一般方法；

　　3. 能根据指数函数的性质进行同底数及不同底数的指数的大小比较，利用性质解决相关问题。

　　教学重点：

　　指数函数的性质与图像。

　　教学难点：

　　指数函数性质的应用。

　　教学过程：

　　一.情境与问题

　　问题1：

　　考古学家经常利用碳14的含量来推断古生物死亡的大致时间。当有机体生存时，会持续不断地吸收碳14，从而其体内的碳14含量会保持在一定水平；但当有机体死亡后，就会停止吸收碳14，其体内的碳14含量就会逐渐减少，而且每经过大约5730年后会变为原来的一半。假设某时刻有机体内碳14的含量为1，则在自然条件下：

　　（1）5730年后，有机体内剩余碳14的含量为多少？

　　（2）2×5730年后，有机体内剩余碳14的含量为多少？

　　（3）3×5730年后，有机体内剩余碳14的含量为多少？

　　（4）n×5730年后，有机体内剩余碳14的含量为多少？为什么？

　　回答问题并填写下表：

　　由此可知，有机体内碳14的剩余量y与时间x的关系可表示为：y=(1/2)^x/5730，

　　由于x/5730=n，所以也可以表示为有机体内碳14的剩余量y与n的关系：y=(1/2)ⁿ

　　问题2：

　　当有机体生存时有一种物质C的含量会保持一定水平，但当有机体死亡后每经过5730年，剩余C的含量为之前的含量的a倍。假设某时刻有机体内物质C的含量为1，则在自然条件下：

　　（1）5730年后，有机体内剩余物质C的含量为多少？

　　（2）2×5730年后，有机体内剩余物质C的含量为多少？

　　（3）3×5730年后，有机体内剩余物质C的含量为多少？

　　（4）n×5730年后，有机体内剩余物质C的含量为多少？为什么？

　　因此，有机体内物质C的剩余量y与时间x的关系可表示为：y=a^x/5730，

　　即有机体内物质C的剩余量y与n的关系：y=aⁿ，（a＞0，n∈N）。

　　【设计意图】

　　从考古问题入手，体现了数学知识在考古学总的应用，可以提升学生学习数学的兴趣，教学更有趣味性；通过问题串的设计，引导学生思考其中变量之间的关系，培养学生的数学阅读能力和获取新知识的能力。

　　二.定义理解

　　一般地，函数y=a^x称为指数函数. 其中a是常数，a>0且a≠1。

　　问题3：

　　指数函数的定义中，为什么要规定a>0且a≠1？

　　预设答案：

　　1. 如果a＜0，如：y=(-2)^x，则3/4,1/2,1/4等类似的有理数都不在定义域内，函数的定义域会过于复杂，为确保指数函数的定义域为实数集R，要限定底数a＞0。

　　2. 如果a=0，则y=0^x，函数定义域为（0，+∞），且y=0，性质非常简单。

　　3. 如果a=1，则y=1^x恒等于1，那么这个函数就变成了y=1这个常函数，没必要在指数函数中进行研究。

　　指数函数是基本初等函数，通过观察发现指数函数解析式中a^x的系数必须为1。

　　问题4：

　　想一想：下列函数是否是指数函数？

　　【设计意图】

　　通过问题3培养学生的问题意识，理解指数函数中对底的范围要求的必要性；通过问题4进一步理解指数函数的定义。

　　三、性质探究

　　下面我们来研究指数函数的性质与图像。

　　【尝试与发现】分别求出指数函数y=2^x在自变量取-2，-1，-1/2，0，1/2，1，2时所对应的函数值（填写下表），并由此猜测指数函数y=2^x的定义域、值域、奇偶性、单调性，尝试说明理由。

  问题5：研究一个函数的性质一般要从哪几个方面入手？

　　预设答案：定义域、值域、奇偶性、单调性。

　　问题6：

　　根据指数运算的定义，尝试得到指数函数 的性质：

　　（1）定义域是____________。

　　（2）值域是____________。

　　（3）奇偶性是____________。

　　（4）单调性是____________。

　　预设答案：

　　（1）R；

　　（2）（0,+∞）：无论x取正数、零、负数，还是分数、整数，所对应的函数y都是正数，事实上，由指数幂的定义等可以知道，y=2^x＞0；

　　（3）非奇非偶函数：当x取互为相反数的两个值时，函数值既不相等又不互为相反数；

　　（4）增函数：随着x取值的逐渐増大，可以发现函数值y也在逐渐增大，因此可以猜测函数在定义域R上是增函数。

　　我们也可以利用上一节练习B第3题的结论来理解函数y=2^x在定义域R上是增函数。

　　具体如下：首先 “如果a＞1，s是正有理数，那么a^s＞1”这个结论可以推广到“如果a＞1，s是正实数，那么a^s＞1”。

　　然后，设x₁,x₂∈R且x₁＞x₂，则x₁-x₂＞0，从而2x₁/2x₂=2^x1-x2＞1，因此2^x1＞2^x2，从而可知y=2^x在定义域R上是增函数。

　　问题7：尝试画出y=2^x的图像.

　　根据以上信息可知，函数y=2^x的图像都在x轴上方，而且从左往右是逐渐上升的，通过描点，可以做出y=2^x的图像。

　　【设计意图】

　　通过对y=2^x的性质的探究过程，渗透“观察函数值可以归纳函数性质”的方法，在此过程中进一步熟悉研究函数的一般方法与思维过程，体会对解析式的分析与解读是研究函数的重要方法，最后结合性质通过描点得到函数图像，对y=2^x的性质有直观认识。

　　【学生活动1】

　　请你尝试研究指数函数y=(1/2)^x的性质与图像。

　　预设方法1：仿照y=2^x的性质与图像的方法，即先代入一些点进行观察，然后再总结，通过描点得到函数图像。

　　预设方法2：利用y=(1/2)^x与y=2^x的对称性直接得出图像与性质：注意到y=(1/2)^x=2^-x，因此y=(1/2)^x与y=2^x是有联系的。当这两个函数的自变量取互为相反数的两个值时，对应的函数值相等。 也就是说，如果点（x₀,y₀）在y=(1/2)^x的图像上，那么这个点关于 y轴对称的点（-x₀,y₀）一定在y=2^x的图像上；反之，y=2^x的图像上任意一点（x₀,y₀），其关于y轴的对称点（-x₀,y₀）也一定在y=(1/2)^x的图像上. 因此指数函数y=(1/2)^x与y=2^x的图像关于y轴对称。

　　【设计意图】

　　本活动的设计一是希望学生学会知识的迁移，如方法1，将刚学会的方法用于一个新的函数，通过取值观察得到函数的图像；二是培养学生利用对称性来解题的习惯；三是培养学生的化归意识，引导学生注意观察，能有意识地将问题进行转化，将未知问题转变为已经解决或易于解决的问题，引导学生运用数学的思维方式考虑问题、处理问题。

　　问题8：你能指出指数函数y=(1/2)^x与y=2^x的图像的公共点吗？你能得出指数函数y=a^x一定过哪个定点吗？

　　预设答案：指数函数y=(1/2)^x与y=2^x的图像的公共点为(0,1)；事实上，因为a⁰=1（a≠0），所以y=a^x一定过(0,1)。

　　由以上分析，我们归纳出指数函数y=a^x（a>0且a≠1且）的性质：

　　（1）定义域是实数集R。

　　（2）值域是（0,+∞）；

　　（3）函数一定过定点(0,1)；

　　（4）当a＞1时，y=a^x是增函数；当0＜a＜1时，y=a^x是减函数。

　　问题9：

　　为什么我们仅用指数函数定义域内有限的、离散的若干数值的变化规律就能断定指数函数的性质？

　　预设答案：其实，我们是在利用不同视角观察理解指数函数：

　　指数函数性质的研究需要依靠函数的三种表征：解析式、列表法和图像法，需要依靠方程和不等式的运算，指数函数的学习，是进一步学习函数、方程、不等式三种关系的过程.当然，我们也要注意几何直观的局限性，以及用几何直观代替逻辑证明的错误做法. 指数函数的有些性质在中学阶段暂不需要论证，今后我们还会利用高等数学的方法加以证明。

　　【设计意图】

　　经历从具体指数函数的研究结果归纳总结出一般指数函数性质的过程，并从代数与几何的角度理解指数函数的性质，渗透函数研究的一般方法与思维方式。

　　四、例题精析

　　例1. 利用指数函数的性质，比较下列各题中两个值的大小：

　　（1）0.8^-0.1与0.8^-0.2 （2）2.5^a与2.5^a+1

      分析：上面讲的性质哪个可以和大小联系起来呢？

　　单调性和大小有关，我们可以借助于指数函数的单调性来考虑，要比较大小的两个数底数相同，因此可以看成指数函数f(x)=0.8^x当x取-0.1和-0.2时对应的函数值，再根据f(x)=0.8^x在实数集R上是单调减的就可以比较大小了。

　　解：（1）因为0.8^-0.1与0.8^-0.2都是以0.8为底的幂值，所以考查函数f(x)=0.8^x，由于这个函数在实数集R上是减函数，又因为- 0.1＞-0.2，所以0.8^-0.1＜0.8^-0.2。

　　【学生活动2】

　　请你尝试独立完成（2）

　　参考答案：因为2.5^a与2.5^a+1都是以2.5为底的幂值，所以考查函数f(x)=2.5^x，由于这个函数在实数集R上是增函数，又因为a＜a+1，所以2.5^a＜2.5^a+1。

　　例2. 已知实数a，b满足(3/7)^a＞(3/7)^b，试判断6^a与6^b的大小。

　　【学生活动3】请你尝试独立完成。

　　参考答案：因为函数f(x)=(3/7)^x在实数集R上是减函数，所以由(3/7)^a＞(3/7)^b可知a＞b。又因为f(x)=6^x在实数集R上是增函数，所以6^a＜6^b。

　　【设计意图】

　　初步运用指数函数的单调性解决简单的比较大小问题，培养学生的观察能力，引导学生发现共同特征，构造合适的函数，在此过程中，培养学生的逻辑思维、数学运算等学科素养。

　　五、课堂练习

　　1. 利用指数函数的性质，比较下列各题中两个值的大小：

　　（1）1.5^2.5与1.5^3.2； （2）0.5^-1.2与0.5^-1.5； （3）1.5^0.3与0.8^1.2 

   解：（1）考虑指数函数f(x)=1.5^x，因为1.5＞1，所以f(x)=1.5^x。在实数集R上是增函数。因为2.5＜3.2，所以1.5^2.5＜1.5^3.2。

　　（2）考虑指数函数f(x)=0.5^x。因为0＜0.5＜1，所以f(x)=1.5^x在实数集R上是是减函数。因为-1.2＞-1.5，所以0.5^-1.2＜0.5^-1.5。

　　（3）由指数函数的性质知1.5^0.3＞1.5⁰=1，而0.8^1.2＜0.8⁰=1，所以1.5^0.3＞0.8^1.2。 

　　反思：第（2）小题和（1）一样直接借助单调性即可解题，第（3）小题在考虑是就发现单调性不能直接应用，两个底不一样.但是借助一个中间变量1就可以把问题解决了。

　　六、课堂小结

　　1.正确理解指数函数的定义；

　　2.掌握指数函数的性质与图像；

　　3.能利用指数函数的性质解决有关问题。

　　七、作业设置

　　1. 阅读课本第12页 尝试用信息技术作出指数函数f(x)=3x，g(x)=(1/3)x，h(x)=(1/2)x，p(x)=5x的图像，从中能发现什么规律？

　　2. 课本第13页练习A、练习B

　　3. 求变量x的取值范围：

　　（1）已知3^x≥3^0.5，求实数x的取值范围；

　　（2）已知0.2^x＜25，求实数x的取值范围；

　　（3）已知(1/3)^x＜(1/2)^x，求实数x的取值范围；

　　（4）已知x^x2＞x^x2，求正数x的取值范围.（适用数学程度较高的学生）