教学课时：第1课时

　　教学目标：

　　1、经历从实际问题建立数学模型、运算求解、验证模型、改进模型的全过程，掌握建模方法以及论文写作方法，培养数学建模、数学运算等核心素养；

　　2、在数学建模过程中，选择适当的拟合函数，巩固函数概念以及对基本初等函数增长速度的比较与甄别，渗透待定系数法与方程思想。

　　教学重点：

　　数学建模的全过程。

　　教学难点：

　　选择适当的拟合函数与改进模型。

　　教学过程：

　　一、发现问题、提出问题

　　生物的生长发育是一个连续的过程，但不同的时间段可能有不同的增长速度。

　　卫生部2009年6月发布的《中国7岁以下儿童生长发育参照标准》指出，我国7岁以下女童身高（长）的中位数如下表所示（0岁指刚出生时）：

　　交流与讨论1：

　　①这个问题中涉及到两个量——年龄和身高，你能否用自己的语言描述这两个量之间的关系？

　　②这两个量之间的关系是不是函数关系？为什么？

　　③如果是函数关系，哪个是自变量？哪个是因变量？定义域和值域分别是什么？有什么性质？你能否写出一个函数解析式表示这个关系？

　　【设计意图】

　　从实际问题出发，引导学生发现问题、提出问题，从概念及表示方法上引导学生深入思考，为解决问题作一铺垫。

　　二、分析问题、建立模型

　　交流与讨论2：

　　①你认为怎样选择函数模型来刻画年龄和身高之间的变化关系？

　　我们可以先画出它的图像，从直观上看看像什么函数：

　　②我们学过一些什么函数？

　　预设答案：幂函数（包括一次函数、二次函数、反比例函数等）、指数函数、对数函数.还可能会答：分段函数。

　　③你觉得这个图像最像什么函数的图像？你能大概写出它的解析式吗？

　　预设答案：幂函数、对数函数。教学中，结合函数图像变换，进一步引导学生写出函数解析式的待定形式：f₁(x)=ax^m/n+b， f₂(x)=blog_a(x+1)+c(a＞1)。还可引导学生思考：指数函数 与这两个模型相比呢？

　　【设计意图】

　　从列表法到图像法表示函数，再到解析法表示函数，进一步巩固用函数刻画生长变化规律基本思路——用解析式来拟合数据与图像，这是一个逆过程，需要直观选择、模型对比、调整改进.为后面运算求解模型、改进模型埋下伏笔。

　　三、确定参数，计算求解

　　交流与讨论3：

　　①如果选择f₁(x)=ax^m/n+b，你怎么确定指数m/n？怎么确定a和b？如果选择f₂(x)=blog_a(x+1)+c(a＞1)，你怎么确定底数a和系数b？

　　②请大家选择一个函数模型，各自选择适当的数据求出函数解析式。

　　③分别针对同一个函数模型的求解结果进行交流、对比，借助图像，凭直觉初步感知同一模型不同结果的优劣，以及不同模型刻画数据的优劣。

　　【设计意图】

　　通过选择不同的函数模型，以及选择同一函数模型而选择不同的数据求出待定系数，让学生体会拟合过程需要改进的必要性。

　　四、验证结果、改进模型

　　因为我们在求函数解析式时，都只用到了部分已有数据，而其它数据一般不可能与所求出的解析式完全吻合，所以我们需要验证所建立的函数模型的优劣。

　　交流与讨论4：

　　①你认为怎么验证函数模型？（从上述两类函数模型中，选择大家认为拟合较好的两个函数f₁(x)和f₂(x)，列表、画图像，验证函数模型。）

　　预设答案：一是从已有数据中找出没有使用的数据代入函数解析式，看误差有多大，或者直接列成下表，将函数值与原有数据一一比对；二是在原来的图像中再画出所求函数的图像，看两个图像的偏差有多大。

　　②你认为应该从哪些方面改进函数模型？

　　预设答案：一是改进所选函数类型，二是改进函数中的参数。具体改进方法最好是结合函数图像的直观，结合数学运算，不断进行调整。如果利用计算机辅助改进效果最佳。

　　【设计意图】

　　通过计算和图像比对看误差与偏差，验证函数模型的优劣，让学生体会到建立函数模型过程只有更好，没有最好。改进函数模型也往往需要将直观与计算结合起来，因为仅凭感觉调整一个系数可能会影响原本拟合较好的数据。

　　五、课堂小结

　　1. 你认为怎样选择函数拟合数据误差更小？

　　2. 数学建模的主要步骤有哪些？如何撰写数学建模论文？

　　六、布置作业

　　农业专家在研究某地区玉米在不同生长阶段的植株高度时，得到了以下数据：

　　请建立适当的函数模型刻画该地区玉米的生长规律，并将研究过程写成一篇论文。

　　（参考函数模型：指数函数模型f₁(x)=ae^bx，逻辑斯谛模型f₂(x)=k/1+ce^-rx，分段函数模型等。）