教学课时：第1课时

　　教学目标：

　　1、通过实例理解如何用函数的平均变化率比较函数值变化的快慢，了解函数平均变化率与连接区间端点的直线的斜率的关系；

　　2、会简单比较指数增长、线性增长、对数增长的增长速度大小；

　　3、了解指数增长、线性增长、对数增长等数学模型在生活中的应用，提升数学运算和数学建模等核心素养。

　　教学重点：

　　用平均变化率理解函数的增长速度。

　　教学难点：

　　比较指数增长、线性增长、对数增长的增长速度。

　　教学过程：

　　一、情境与问题

　　有一套房子，价格为200万元，假设房价每年上涨10%，某人每年固定能攒下40万元，如果他想买这套房子，在不贷款、收入不增加的前提下，这个人需要多少年才能攒够钱买这套房子？

　　A.5年 B.7年 C.8年 D.9年 E.永远也买不起

　　问题1：凭直觉，你认为上述问题的答案是什么？为什么？

　　预设答案：选E，因为房价的增长速度比攒钱的增长速度快。

　　问题2：房价的增长速度一直都比攒钱的增长速度快吗？怎么刻画它们的增长速度呢？

　　预设答案：不一定，经过1年，房价增长了20万元，攒钱增长了40万元，这个房价的增长速度就没有攒钱的增长速度快.我们可以用函数的平均变化率来刻画，也就是看相同时间内这两个函数值的增加量的大小。

　　师：我们先研究几个基本初等函数的变化情况。

　　【设计意图】

　　从实际问题和生活经验感受房价的增长速度与攒钱的速度的快慢，引入刻画函数变化快慢的量——函数的平均变化率，后面再从数学角度建立函数模型，将问题转化为研究两个函数的增长速度，回扣情境，解决问题。

　　二、基本初等函数的增长速度

　　问题3：一般地，函数f(x)在区间[x₁,x₂]（x₁＜x₂）上的平均变化率怎么表示？

　　例1. 已知函数f₁(x)=x，f₂(x)=2x-1，f₃(x)=x²，分别计算这三个函数在区间[a,a+1](a＞0)上的平均变化率。

　　从图像上，可以直观看到这三个函数的变化情况：

　　思考：

　　例2. 已知函数g(x)=2^x，h(x)=log₂x，分别计算这两个函数在区间[a,a+1](a＞1)上的平均变化率，并比较它们的大小。

　　从图像的直观，也可以看出它们的平均变化率大小关系：

　　思考：

　　①当0＜a＜1时，g(x)的平均变化率还一定比h(x)大吗？

　　②比较g(x)和h(x)与例1中三个函数的平均变化率的变化趋势，你能得到什么结论？

　　③能否举一些生活中指数增长、线性增长、对数增长的例子？

　　【设计意图】

　　从基本初等函数的平均变化率理解函数的增长速度，有利于本节课教学目标的达成，结合函数图象，有利于学生对几种不同类型函数的增长速度有一个直观的比较.同时，在具体推理演算过程中，培养学生的数学运算能力。

　　三、回扣情境与问题

　　问题4：我们再来研究本节课开始的问题：

　　x的值每增加1，r(x)的值稳定地增长40，而h(x)的值的增加量则逐渐变大，并且越来越快。经过8年后，h(x)的值的年增加量将接近40，以后则均大于40。在前8年里，攒钱的总数始终小于房价，所以，这个人永远也买不起房子。

　　当然，这只是一个理想化的数学问题.现实生活中，“房住不炒”，房价不可能呈现指数增长的态势增长，甚至还可能会出现环比下跌，况且人们还可以按揭贷款买房。

　　【设计意图】

　　回扣情境，建立数学模型，解决实际问题，让整节课从问题开始，又回到问题解决中去，在整个环节中，认识几种基本初等函数的增长速度的快慢，初步理解指数增长、线性增长的实际意义。

　　四、课堂练习

　　1.（课本第41页习题4-5A第1题）

　　求f（x）=5x+1在任意区间上的平均变化率，并说明自变量每增加1个单位时函数值的变化情况。

　　参考答案：平均变化率为5，自变量每增加1个单位时，函数值将增加5个单位.

　　2.（课本第41页习题4-5B第1题）

　　已知函数f（x）的定义域为R，分别判断下列条件下f（x）的单调性：

　　（1）f（x）在任意区间内的平均变化率均为正数；

　　（2）f（x）在任意区间内的平均变化率均比g（x）=2在同一区间内的平均变化率小。

　　参考答案：（1）单调递增；（2）单调递减。

　　3.（课本第41页习题4-5B第3题）

　　已知函数f（x）在任意区间内的平均变化率均为5，说明当自变量减小3个单位时，函数值的变化情况。

　　参考答案：函数值将减小15个单位。

　　五、课堂小结

　　1. 函数的平均变化率刻画函数的增长速度的快慢；

　　2. 简单比较指数增长、线性增长、对数增长的增长速度。

　　六、布置作业

　　1. 阅读课本第40页拓展阅读“指数运算与生活哲学”，并举出一个生活中的指数增长的例子；

　　2. 课本第41页习题4-5A第2、3题；B第2、4题。

　　3. 学有余力的同学思考：课本第41页习题4-5C第1、2题。