中国数学教科书使用变式素材的途径和方法
章建跃
摘要：变式教学研究已有丰富成果，但教科书中使用变式素材的研究处于起步阶段。在分析教科书要素和成分的基础上，结合认知心理学的知识分类理论，构建了数学教科书中使用变式素材特点的分析框架。选取数学的概念、原理、技能和思想方法等四类核心知识，以认知心理学关于不同类型知识学习的特征、过程和条件为理论依据，以人教版初中数学教科书为对象，对教科书中使用变式素材的途径和方法进行分析，发现：针对概念学习的不同方式、不同阶段，教科书使用了不同的变式素材；在数学原理获得的增生阶段以使用概念性变式为主，在重建阶段和融会贯通阶段，通过提供过程性变式帮助学生建立知识的纵横联系；在获得数学技能的不同阶段，教科书从设置与原先学习情境相似的问题情境开始，逐渐变化问题类型，最终变为与原先学习情境完全不同的新情境，使学生在变式情境中形成运用数学概念、原理解决问题的技能；根据数学思想方法的内隐性、概括性、模糊性和启发性等特征，在数学一般观念指导下，提供过程性变式，引导学生的探究过程，使学生领悟数学研究的“基本套路”，是教科书采用的重要方法。
关键词：中国数学教科书，变式素材，概念性变式，过程性变式，图形变式，数学概念，数学原理，数学技能，数学思想方法
1 引言
在中国，根据国家颁布的“数学课程标准”编写的数学教科书是数学教学的主要依据，是学生数学学习的核心资源。总体而言，中国数学教科书强调利用学生熟悉的素材，并以循序渐进的变化方式加以安排，引导学生拾阶而上地开展数学学习活动，在有序变化的情境中，用比较、类比、归纳、抽象等方法认识相关材料的共性和差异性，从而得出具体事例的数学本质，并概括到同类事物中去，最终理解和掌握数学知识。在此基础上，通过安排变化情境中的知识运用，使学生学会应用数学知识灵活解决问题。其中，作为各种数学活动的载体———学习素材及其变式的选择和安排，是中国数学教科书编写中重点考虑的问题之一［1］。
数学教科书结构体系及其内容安排，实际上给出了数学教学的基本结构，其基本依据是数学知识的发生发展规律，以及学生的心理发展水平和数学认知规律。从数学知识的内在逻辑和学生的认识规律出发，针对每一个数学对象，教科书大致都按“背景引入—定义概念—推导性质—建立联系—实践应用”的方式展开。也就是先通过具体事例阐述引入新概念的必要性，再引导学生从数、形的角度抽象具体事例的共同属性，定义概念从而明确数学对象；通过探索数学对象的要素、相关要素等之间的关系和相互作用而获得性质；通过建立相关知识的联系而形成知识体系；应用所得知识解决数学内外的问题，并深化认识、拓展新知［2］。这样的安排，其目的是要实现数学知识结构和学生认识结构的统一，数学知识学习与数学能力发展的统一，以及数学知识的系统性、完整性和发展性的统一［1］［3］。这里的核心工作，一是内容的选取，这是由课程标准给定的；二是教学结构的建立，这是一个将数学逻辑体系进行教学法再创造的过程；三是学习素材的选取和安排，“变式”是其中考虑的重点之一［4］。
在探索、认知数学对象的过程中，存在两个相辅相成的思考方向或方面———归纳和演绎：在对某一数学对象的探索认知过程中，一方面要从具体事例的实验、分析中归纳其本质，定义数学对象，获得数学猜想、数学命题等；另一方面又要用逻辑推理、数理分析去研讨业已认知的本质，证明猜想，发现新的性质，认知相关概念的联系性和一致性，直至形成不同学科统一性的认知［5］。所以，学生对数学知识的认识，整体上看要经历如下过程：具体事例的分析—个别规律的认识—一般规律的抽象—思想、观念的形成。教科书的内容安排是为了让学生经历这个过程而设置的，而在每一个环节中使用变式材料，其目的都是为了促进学生更好地发现和理解数学对象的本质，学会灵活应用所学知识解决问题。
因此，无论从教科书的结构体系的构建、教学内容的安排看，还是从学生学习数学的需要看，教科书中使用变式材料都是必须的，中国数学教科书对此给予了高度重视。为了能更好地说明问题，我们将以人民教育出版社出版的中学数学教科书为例，对教科书中使用变式材料的基本途径和方法进行分析。
2 数学变式教学的已有研究
在顾明远（1999，p186）主编的《教育大辞典》中，有“教学变式”一条：在教学中使学生确切掌握概念的重要方法之一。即在教学中用不同形式的直观材料或事例说明事物的本质属性，或变换同类事物的非本质特征以突出事物的本质特征。目的在于使学生理解哪些是事物的本质特征，哪些是事物的非本质特征，从而对一事物形成科学概念。
这里的“教学变式”即在教学中使用变式，这种做法在中国由来已久。20世纪50年代就有学者［6］指出，应用多种变式可以帮助学生区分概念的本质特征和非本质特征。心理学家卢仲衡［7］还通过教学实验，深入探讨了几何中的“标准图形”和“变式图形”的作用，肯定了变式图形在学生最初掌握平面几何基本概念中的价值，即消除非本质因素的消极影响，提高学生解题的正确性。20世纪80年代，顾泠沅对变式教学进行了系统实验研究，并给出了深入的理论分析。这项研究主要涉及两个方面的工作：一是将传统教学中的“概念性变式”进行系统的恢复与整理；二是将“概念性变式”推广到“过程性变式”，从而使变式教学既适用于数学概念的掌握，也适用于数学活动经验的增长［8］［9］。
传统意义上的概念性变式主要包括以下两类：一类是改变概念的外延，称为概念变式；另一类是改变一些能混淆概念外延的属性，比如举反例，称为非概念变式。这两种变式的目的是让学生获得对概念的多角度理解。从20世纪50年代至今，虽然没有进行系统的理论研究，但中国数学教科书的编者一直注重利用变式引入和理解概念。如人民教育出版社1963年出版的《初级中学课本代数》，为了说明等式的本质属性是“用等号连接两个代数式”，选用了8个具体例子，它们实际上就是概念性变式（图1）；再如，图2是人民教育出版社1981年出版的《全日制十年制学校初中数学课本（试用本）几何》中的一个练习，通过让学生比较非概念图形和概念图形，理解对顶角概念的本质属性。
顾泠沅［8］［10］［11］认为，“过程性变式”的主要含义是在教学活动过程中，通过有层次的推进，使学生分步解决问题，积累多种活动经验。其在教学中主要有三个作用：（1）用于概念的形成过程，即通过层层铺垫，让学生体验概念的形成过程，体验引入概念的必要性；（2）用于问题解决，即运用变式作为将未知问题化归为已知问题的层层台阶，使学生对问题解决过程和问题本身的结构有一个清晰的认识，从而积累活动经验，提高解决问题的能力；（3）用于构建特定的经验系统，即通过一个或一系列的变式，形成一个有层次的经验系统，并成为认知结构的重要组成部分，这类变式的变化主要来自于一题多变、一题多解、一法多用。
事实上，从教科书的习题出发编制变式题，经过变式训练而达到举一反三、触类旁通的目的，是中国数学教学的特色之一。中国数学教师关于变式教学的研究主要是立足教科书谈变式。例如，20世纪90年代，由陕西师范大学主办的《中学数学教学参考》还开辟了一个栏目“课本变式题库”，提出“无论是高考还是中考，命题者总是匠心独运，精雕细琢，设计出的试题新颖别致、独创一格。尽管试题千变万化，但命题者遵循的原则是，不超越教学大纲，‘植根’于教材。因此，很多试题都能在课本中找到原型———习题或例题（我们把由课本习题或例题演变而得到的新题称为课本变式题），即人们常说的万变不离其宗也。”（1994，p。26）
进入21世纪后，人们对变式教学展开了更深入的理论分析。例如，顾泠沅等在《变式教学：促进有效地数学学习的中国方式》一文［10：247—273］中论证了几个著名的西方教学原理对变式教学理论的支持，特别是马顿（Marton）理论为此提供的认识论基础和支撑理念。郑毓信认为［13：1］，“马顿理论”的核心是：第一，学习就是鉴别（区分，discernment）；第二，有比较（差异）才能鉴别。因此，他认为在教学中就应尽可能地拓宽学生“学习空间”的“变异维数”，也即应当尽可能地去引入适当的变异。顾泠沅等提出［10］，概念性变式教学策略可以构建一个聚焦于学习对象关键方面的变异空间，让学生体验和理解概念的本质；过程性变式教学策略通过铺垫来建立合适的教学“脚手架”，帮助学生建立新旧知识的内在实质性联系，促进学生最近发展区的发展。因此设计恰当的“潜在距离”和变异空间是构成有效教学的关键。如果潜在距离太近，学生可能感觉不到学习的挑战性而缺乏思考和探究的动力；如果变异空间太窄，将不能提供完整的学习条件而导致学生对学习对象理解的偏差；等等。
进入21世纪后，中国数学教科书的编者加强了变式素材使用的实践研究，在变式材料的使用方面有所突破。例如，人民教育出版社出版的高中数学A版教科书，提出了如下指导思想［14：5—6］：在知识形成过程的“关键点”，运用数学思想方法产生解决问题策略的“关节点”，数学知识之间联系的“联结点”，数学问题变式的“发散点”等上面，注重通过提出恰时恰点的问题引导数学活动，使学生认真观察具体实例中反映的数量关系或几何特征，积极主动地开展实验与猜想、归纳与推理的活动，思考问题的本质、探究解决问题的方法，使学生通过自己的探索思维来概括数学概念、获得数学结论、多方寻求答案、解决疑问、领悟数学思想、理解数学本质。实际上，在这些“点”上提出的问题，大部分都与变式有关。
不过，从我们掌握的现有资料看，与课堂中的变式教学研究相比，针对教科书的变式研究显得非常单薄。除了零星的个别研究，例如孙旭花［12］以“分数除法”为例，通过对中美教科书的比较，发现中国教科书比美国教科书更注重利用“一题多变”（一个问题包含多个概念之变式的问题组织）与“一题多解”（一个问题包含多个解法之问题组织）来加强新旧概念联系的结论，可以说没有什么系统研究。
变式教学作为一种传统和经典的中国教学方式，是中国自古以来提倡的启发式教学思想的直接体现，不仅有着广泛的经验基础，经过了长期的实践检验，而且还上升为一种理论。作为教科书的编者，我们非常重视利用教师的教学经验，包括利用变式教学的实践成果，改进教科书中的学习素材选择、数学活动设计以及习题的设计等，教科书中应用变式素材已经成为一种常态，而且也积累了较多的变式素材的使用经验，但在教科书中运用变式素材的理论研究几乎是一个空白。
本研究试图对教科书中使用变式素材的途径和方法展开较系统的理论研究。我们将在建立教科书理论分析框架的基础上，针对教科书中的几个核心内容，以人民教育出版社出版的中学数学教科书为分析对象，展开相应的具体分析。
3 教科书分析的理论框架
本研究的目标是分析教科书使用变式素材的途径和方法，属于教科书分析范畴。我们认为，数学教科书分析应围绕数学教科书结构来展开。
3.1 数学教科书的结构
教科书是一门课程的核心教学材料，具有全面性、系统性、准确性等特征。教科书的结构指明了教科书内部各要素、各成分之间的组织方式［15］，给出了教学结构。数学教科书是以数学课标所确定的教学目标、教学内容和教学要求为依据，选取适当的数学学习素材编制而成的，它的要素主要包括数学基础知识、基本技能以及蕴含于双基要素之中的数学思维方式、数学能力、数学观和价值观（核心是理性精神），同时还包括一定的数学教学心理要素；它的成分包括教科书的目标、内容和数学活动方式，它们是由数学教科书中各要素分化、组合而成的［4］。因此，对数学教科书结构的分析可以具体化为对教科书的各要素及各成分之间组合方式的分析。
3.2 数学教科书分析的要素维度从认知心理学观点看，数学教科书的要素实际上是各类数学知识组成的有机整体。因此，我们可以在知识分类理论指导下，构建数学教科书要素分析的维度。
心理学对知识分类问题进行了大量研究，提出了众多理论。知识的种类众多，而描述知识的术语则更多。本研究采用文献［16］中给出的知识分类，只在某些内容的名称、解释上进行了改动，对各类知识给出了数学的例子，具体如表1所示［4：145-146］。
根据本文的研究目的，考虑到教科书是一种经过教学法加工的静态的、显性的数学教学素材的事实，我们抽取上表中的如下数学知识类别作为分析对象：
（1）数学概念；
（2）数学原理，包括数学的性质、法则、公式、定理等；
（3）数学技能，包括按一定程序与步骤进行运算，按逻辑规则进行推理，以及作图、绘制图表、处理数据等；
（4）由内容所反映的数学思想方法。
其中，数学概念和数学原理是概念性知识，数学技能是程序性知识，数学思想方法是一种策略性知识。
由此我们给出的教科书分析的要素维度为：数学概念，数学原理，数学技能，数学思想方法。这四个要素涵盖了数学教科书中的所有核心知识类型，由此而展开的教科书分析具有较强的说服力。
3.3 数学教科书分析的成分维度
数学教科书的成分，即教科书的目标、内容和数学活动方式，必须以一种显性的方式呈现出来，它是数学的学科逻辑与学生的心理逻辑有机融合的结果。一般而言，针对某一数学对象，教科书的成分按如下方式呈现［4：209-210］：
（1）引入，通过一定的事例阐明学习这一数学知识的必要性，并对学习方法作简要说明。引入阶段使用变式素材可以有效地激发学生的兴趣和动机。
（2）课文，教科书结构以数学家已建立的“数学知识结构”为基本依据，这种“知识结构”主要通过课文的结构来反映。数学课文的结构反映了数学家在数学研究中的基本思维方法：观察与实验，归纳与演绎，比较（特别是类比）与分类，分析与综合，抽象与概括，一般化与特殊化，等等。数学课文的结构还反映了人们思考问题的基本模式：条件与结论，原因与结果，问题—解决方法，等等。作为逻辑严谨、结论准确、功能完备的数学课文，一般要以典型而丰富的具体素材为载体，构建一个最能传达数学思想和方法的论述结构，使数学的概念、原理和思想方法之间形成一个水到渠成、浑然天成的逻辑链，这样才能使学生循序渐进地学习。课文中，使用变式素材是使学生有效理解数学概念、原理、思想方法的常用手段。
（3）练习题。要使学生能用数学概念、原理、思想方法加工外在信息（解决问题），并调控自己内在的认知加工活动，就必须使学生在理解数学概念和原理的基础上，通过变式训练，让学生在变化的问题情境中应用知识，以促使陈述性知识转化为程序性知识（技能）。所以，练习题是教科书的重要组成部分，是教科书所蕴含的使学生有效习得知识并使之内化为学生的数学认知结构的“训练系统”，是使学生理解概念、巩固知识、学会应用的必备构件。
由此我们得到教科书分析的成分维度为：引入，课文，练习题。上述三个维度，因为处于同一数学对象的不同学习阶段，因此可能需要使用不同类型的变式素材，从这三个维度入手分析将能比较全面地反映教科书使用变式素材的情况。
3.4 数学教科书使用变式素材特点的分析框架
基于上述分析，结合认知心理学关于概念性知识、程序性知识和元认知知识学习过程与条件的研究，我们可以得出数学教科书中使用变式素材特点的分析框架，如图3所示。
4 教科书中使用变式材料的主要特点
显然，教科书中的变式材料，都是各种类型数学知识学习的外部条件。下面我们将根据上述分析框架，结合不同类型知识学习的条件，以一些核心数学内容为例，对教科书中使用变式材料的特点进行分析。
4.1 变式材料用于数学概念的建构
4.1.1 概念学习的过程和条件
数学概念一般包含四个方面：概念名称、概念属性、概念例证和概念定义，其中概念属性是指概念的一切正例的共同本质属性，概念定义是指同类事物共同本质特征的概括。奥苏伯尔［19］区分了概念学习的两种基本形式，即概念形成和概念同化。（1）概念形成及其条件
用概念形成的方式学习概念，大致要经历如下过程：
辨别→假设→检验假设→概括
辨别是在知觉水平上对概念例证的分析、辨认；假设是在辨别基础上对共同本质属性的猜想；检验假设是在变式情境中验证猜想，确认本质属性；概括是给出概念的准确定义。概念越复杂，检验和假设之间需要往复的次数越多。在这个过程中，外界必须为学习者提供概念的正例和反例。其中，正例要有变化性，以有效地防止学习者把非本质属性当成本质属性来概括；反例要有辨别性，以有效地排除非本质特征的干扰，使概念的概括精确化。同时，外界还必须给予学习者反馈信息，说明他的假设是否正确。
（2）概念同化及其条件
概念同化是指通过直接下定义的方式来揭示某类事物的共同特征，大致要经历如下过程：
下定义→分类→同化→分化
概念同化的心理机制是下位学习。其中，下定义是直接呈现概念的本质特征，并用典型例子证实定义中涉及的那些本质特征；分类是用概念的内涵区分概念的外延，明确共性中的差异性，特别是各种特例；同化是将概念纳入已有认知结构，建立相关概念的联系；分化是通过概念的肯定例证和否定例证的辨析，使学生辨别新学习的概念与认知结构中原有相关概念的异同。概念同化的最终结果是将概念组成按层次排列的网络系统。概念同化的学习条件是学生认知结构中必须具有同化新概念的上位概念。
从上所述可见，针对不同的概念学习方式，教科书所提供的变式素材的功能应有所不同。下面我们通过例子说明。
4.1.2针对不同概念学习方式的不同变式材料
（1）用于概念形成的概念性变式材料
用概念形成的方式学习概念，主要是从具体例证（即变式材料）中抽象出概念的本质属性，所以应以概念性变式材料为主。由于这些本质属性往往是在比较中发现和认识的，因此变式材料要有典型性和丰富性，这样才能有利于学生展开比较。典型性是指变式材料所蕴含的概念本质特征较突出，容易被发现；丰富性是指变式材料要涵盖概念本质属性的各种表现形式。下面以函数概念为例来说明。
函数概念是中学最重要的概念。中国的《义务教育数学课程标准（2011年版）》中要求：“结合实例，了解函数的概念和三种表示法，能举出函数的实例。”［33：29］这里的“实例”可以理解为概念变式。教科书首先呈现了如下材料（图4）：
它们都是能写出函数表达式的实际例子，涉及到匀速运动、生活问题、几何图形的数量关系等，学生可以利用已有经验，自己给出其中的数量关系。教科书通过问题“同一个问题中的两个变量之间有什么关系？”要求学生对这些材料进行逐个分析，发现并归纳出它们的共同属性：
每一个问题中的变量相互联系，当其中一个变量取定一个值时，另一个变量就有唯一的值与其对应。
接着教科书再一次给出其他类型的变式材料（图5），并要求学生模仿上述过程思考：
最后，归纳上述所有例子的共同特征，得出函数概念。
上述过程中使用的都是概念性变式，也就是函数概念的正例。这里的“变”体现在两个方面：一是背景变化（variationcontext），但它们的本质特征，即两个变量之间的共变（co-variation）关系保持不变；二是概念表征方式的变化，常用的函数概念表征方式有解析式、图形和表格，这里提供的变式材料既以解析式为重点，同时又包含图形、表格。
如此使用变式材料，是为了给学生提供归纳概念本质特征的素材。因为在学生的经验中，只有关于运动变化的直观感受，他们想不到从变量之间的对应关系入手，通过建立数量关系来描述变化规律，也就是学生还没有“函数的观点”，所以采取这样的变式材料，并通过适当的问题引导，把学生的思维引到“用变量之间的对应关系”刻画变化规律上来，进而发现这些实例的共性。
（2）用于概念同化的非概念性变式材料
在概念形成中使用概念性变式，可以对学生形成强烈的认知刺激，有利于学生先入为主地把握概念的内涵。但在概念同化中，如果在定义概念之后的概念理解活动（分类、同化、分化）中，给出的正面刺激太强，由此掩盖了某些无关特征的干扰，则会导致概念认知上的偏差。这时，教科书在直接揭示概念并用正例证实定义中所揭示的本质属性后，会使用一些非概念性变式，引导学生对概念的关键词进行辨析，排除非本质特征，形成概念的正确理解。下面以“三角形的高”的教科书为例进行说明。
三角形是平面几何中最重要的图形之一。三角形的高是三角形中的重要线段，其内涵有两个，一是以三角形的一个顶点为端点，二是“与该顶点的对边垂直”，最关键的是“垂直”。而“垂直”的感性经验基础是日常生活中建立的“与地平线（面）垂直”，即关于“垂直”的直觉经验是以地平线（地面）为参照系的，这种经验与几何中的“垂直”概念有本质区别。两条直线相互垂直，是以其中的任意一条直线为参照系，看另一条直线与它的交角是否为90°。几何学习之初，学生往往会以日常生活中对“垂直”的感性经验为基础，把“与地平线垂直”作为“互相垂直”。研究表明［20］，让初二年级学生作钝角三角形的三条高（如图6（1）），被试中有一半学生不知怎样画，有35%的学生作出如图6（2）所示的错误图形。这样的表现显然是受了垂直的感性经验影响。
教科书在处理这一概念时，首先开发学生感性经验的概念认知基础作用，通过图7给出三角形的高的概念，利用这个“标准图形”突出概念的基本特征：从顶点向对边引垂线。同时，教科书利用“贴士”，提出“用同样的方法，你能画出△ABC另两边上的高吗？”的学习任务，要求学生模仿画图。
为了防止学生的感性经验与“标准图形”结合而产生错误理解，引入概念之后，教科书采用多种变式，特别是非标准变式，对概念本质进行辨析。
如图8，教科书安排了一个“三角形的高”的随堂练习。虽然其中的（2）、（3）和（1）（标准形式）都是等价的，但它们可以起到辨析概念、排除无关特征的干扰的作用，从而有效地防止人为缩小概念外延。
接着，在课后训练中安排如下练习题：如图9，
作出△ABC的三条高。
这个题目的变化在于它是钝角三角形，而且三条边都不与水平线平行。
教科书安排的这些非标准形式的变式图形将三角形高的外延作为变异空间，将不同类型、不同位置摆放的三角形的高作为变式，在类比不同变式的共同属性中突出概念的本质属性，最终要使学生认识到，三角形的高在本质上是两条直线（线段）之间的相互关系，而与直线是否水平没有关系。
（3）用于概念多角度理解的变式材料
教科书经常利用概念的多元联系表示，以及相近概念之间的联系设计变式素材。例如，在给出三角形的高的图形变式的基础上，教科书再利用相近概念“中线”、“角平分线”，并从数量关系角度让学生认识三角形高的数量特征。图10是教科书在讲解“与三角形有关的线段”之后安排的一个习题，它将三角形的中线、角平分线和高置于同一三角形中，要求学生分析、比较这些概念的数量特征，认识它们之间的位置关系和大小关系。
（4）用概念作判断的变式训练材料
无论是概念形成还是概念同化，必须在概念学习过程中安排一定的用概念作判断的训练活动，其目的是实现概念的精致（elabora-tion）［21］。教科书在这里安排的活动载体往往是概念的多种变式，而且尽量做到有结构的连续变化。例如，教科书对圆周角概念的处理采取了概念同化方式，在讲解圆心角概念的基础上，直接引入圆周角概念（图11）：
接着，对圆周角概念的关键词进行辨析，对圆周角与圆心角之间的关系进行讨论。在接下来的概念应用环节，教科书安排了如下用概念作判断的变式材料（图12）：
上述5个图形围绕圆周角概念的两个内涵（顶点在圆上，两边都与圆相交）作变式处理，让学生通过非概念变式和概念变式的比较，进一步理解概念的内涵。其中，（1）的顶点在圆外，（2）的顶点在圆内；（4）两边都不和圆相交，（5）只有一边和圆相交；（3）是一个概念变式（特例），圆周角的一条边是直径。
这个变式材料的设计方法是：对概念内涵做连续变化而得到不同类型的变式，这些变式既有概念变式又有非概念变式，同时又尽量组织成过程性变式，将它们整体呈现在教科书中，然后让学生用概念进行判断。
这样的变式有多方面的功能：一是推进概念理解的深化，用概念作判断的过程就是概念的具体化过程，而每一次概念的具体化都会使概念进一步丰富和深化，对概念的理解更完全、深刻［22］；二是促进概念的记忆，因为在用概念作判断的过程中，学生对概念的细节方面有了更加精准的把握，这对概念的记忆将产生积极影响，对概念的精致越充分，越能导致良好的记忆［21］；三是具有学习效果的评估功能，如果学生能准确地进行判断，并能用概念给予解释，那就说明他已经理解了概念。
4.2变式材料用于数学原理的发现与理解
数学的法则、公式和性质，我们把它们统称为数学原理，也是数学对象的本质、变化规律的概括。与概念内涵的发现一样，变式材料的使用有利于学生发现“变化中的不变性”、“变化中的规律性”，而这些“不变性”、“规律性”就是数学原理。
4.2.1数学原理的获得机制和条件
关于原理性知识的获得过程和条件，认知心理学家进行过大量研究，并给出了理论解释。例如，根据奥苏伯尔的有意义学习理论，心理学家把知识掌握过程划分为知识的领会、巩固和应用三个环节。知识掌握过程中的心智动作是实现这三个环节的核心，而心智动作包括认知活动和记忆活动两个方面。认知活动通过对教科书的直观、概括和具体化这三种心智活动实现，记忆活动包括对教科书的识记、保持、再认和重现［23］。又如，D。A。诺曼（1978）和D。E。鲁梅哈特（1980）根据图式理论提出了知识学习三阶段理论，即知识的增生、重建和融会贯通三阶段，据此我们给数学原理的获得机制以如下描述［24］：
（1）增生阶段。由数学学科的高度抽象性、系统性以及数学抽象的层次性所决定，在增生阶段，学生对接触到的数学材料会产生认识上的疑问，这种疑问会引导学生的认识从一个层次走向下一个层次。就某一层次的数学学习来说，在增生阶段首先需要学生自己的亲身实践。例如，在学习几何知识的过程中，学生首先是从具体材料的操作活动（如折纸、剪纸、制作模型、画图、测量等）中获得关于几何的直观感觉，借助于手、眼等感觉器官来发现空间形状，形成关于空间形状的表象。
（2）重建阶段。重建阶段是增生阶段发展的一个自然结果（有时这两个阶段的划分是非常困难的），是把增生阶段获得的相对孤立、零碎的事实或命题等联系起来，并形成精确化的理性认识。例如，在几何学习中，通过上述试验过程而获得的笼统印象，必然要进入到对几何元素（点、线、面）及几何图形的相互关系的演绎推理层次，通过对图形关系的考察，获得相应的理性认识，得到几何图形的性质，并建立起几何空间结构。
（3）融会贯通阶段。本阶段主要是利用数学知识的多元联系表示，建立新学会的数学原理与相关数学知识之间的广泛联系，构建知识网络，并在这个过程中形成相应的数学技能和数学思想方法，进而获得结构功能良好的数学认知结构。这里，联系的广泛性、清晰性、牢固性等是衡量数学原理获得水平的基本标准。如果学生在当前学习的数学原理与已有认知结构之间建立了广泛、清晰和牢固的联系，那么就可以认为他已经很好地掌握了所学的数学原理。另外，数学的逻辑性为建立数学知识间的联系提供了重要线索，使数学知识网络中的节点及其关系表述得清晰、自然。因此，以数学知识的逻辑关系为线索，引导学生通过数学推理活动而不断扩张数学原理的联系域限，是实现数学原理的融会贯通的主要手段。
上述三个阶段实际上是数学原理从发现到掌握的连续过程。相应地，教科书从引入开始，到数学原理的发现、证明，再到例题解答、习题训练，通过提供合适的学习素材，为学生构建起学习数学原理的线索。在每一个阶段的学习素材中，都需要使用变式材料。
4.2.2增生阶段用于学生操作活动的变式材料
在增生阶段，教科书提供变式材料，主要是为了有效地激发学生的疑问，使学生通过操作获得直观感知，从而为数学原理的发现提供条件。数学原理反映了数学对象某一方面的规律，这种规律的发现有不同的途径，有时通过具体事例共性的概括，有时通过类比而得出猜想，有时通过推广、特殊化等进行归纳等。教科书会根据课程内容的不同特点而相应地采用概念性变式或过程性变式。
例如，各种各样代数运算法则，都是由具体到抽象逐步归纳组合而成的。教科书一般采取给出具体数字的运算变式，再通过观察运算结果的形式、类比数的运算、归纳各算式的共性而概括出运算法则。例如，关于二次根式的乘法法则的教科书（图13）：
“探究”中的三组式子，“变”的是具体数字，“不变”的是它们的结构。这些材料引导着学生通过动手计算、观察计算结果而发现“变化中的不变性”，给出符号表示，从而得出运算法则。这里的问题“观察计算结果，你能发现什么规律？”可以启发学生的思维从具体数字运算走向一般规律表达。
4.2.3重建阶段用于推进思维活动的变式问题
从前面的论述可知，重建阶段是对数学对象形成联系的、精确的认识。实现这一目标，需要学生通过对学习材料的分解与组合、分析与综合、组织和再组织等，发现概念中各要素之间的联系方式、概念之间的关系（如部分与整体、上位与下位、条件与结论等）而获得数学原理，并能通过逻辑推理给出证明。
数学原理反映了数学对象的某种性质。在定义数学对象的基础上研究它的性质，主要是对数学对象组成要素之间关系的研究。代数的性质主要体现在运算上，看“运算中的不变性、规律性”；函数的性质主要体现在“变化规律”上，看“变化中的不变性、规律性”；几何的性质主要体现在几何图形的形状、大小关系和位置关系上；等等。因此，使用变式材料可以有力地帮助学生发现性质。这里，变式的“变”既体现在数学对象具体事例表现形式的变化上，也体现在一个数学对象变化过程中出现的各种状态，其中的“特例”往往具有特殊意义。教科书充分利用数学性质的这些特征设计变式材料，以促使学生独立发现和理解性质。
例如，关于平行四边形性质的研究，教科书的安排如下：
显然，教科书使用了过程性变式来处理平行四边形内容。在探究平行四边形的一般性质时（图14），先让学生“根据定义画一个平行四边形”，由于这个平行四边形是“随意”画的，因此是可变的。在“观察它的边之间的关系、角之间的关系，并度量验证”的指导语下，学生就比较容易发现性质。然后，教科书再提出问题：“反过来，对边相等……的四边形是平行四边形吗？”引导思考角度的变化而得出判定定理（图15）。接着，在引导语“通过平行四边形角、边的特殊化，研究特殊的平行四边形”的指引下，通过“一个角为直角”、“一组邻边相等”和“一个角为直角且一组邻边相等”而获得特殊的平行四边形，并研究性质（图16）。最后，在“小结”中给出“本章知识结构图”（图17）：
在上述过程性变式材料的引导下，学生首先要通过对平行四边形的边、角、对角线等要素的分解、分析、组织和重新组织等，发现它们的联系方式，得出有关性质并进行推理证明。接着，通过平行四边形要素的特殊化，进一步认识长方形、菱形、正方形的特殊性质，从而把握平行四边形与这些图形之间的整体与部分、上位与下位等关系，从而使学生对平行四边形的认识精细化。
另外，这个例子还表明，教科书借助于过程性变式，不仅可以使学生学习怎样发现数学新对象，而且可以启发解决问题的方法（其实，这些方法往往是一脉相承的）。教科书的这种处理方式，不仅保证了逻辑的严谨性，而且具有教学内容的简洁性，知识发生发展过程的自然性，思想方法的前后一致性，从而也就使教科书易学、好懂，学生也确实能懂、会用。
4.2.4融会贯通阶段用于建立知识联系的变式材料
学生对知识的融会贯通，实质上是建立了相关知识的纵横联系，达到了知识的全面透彻理解。这一阶段，学生不但掌握了数学概念的抽象定义，而且还掌握了丰富的概念例证；不但掌握了数学原理的形式化表述，而且有大量具体背景为支撑。这一阶段的数学概念和原理都存在于一个数学知识系统结构中，它们之间具有非常紧密的联系性。达到融会贯通的知识能做到举一反三、闻一知十，迁移能力很强，可以在新情境中灵活、自动地与其他知识一起发挥作用。
但是，知识的融会贯通并不容易，其原因是许多相关知识往往处于不同知识模块内，例如“代数式的值”与“函数值”、“方程的解”与“函数的零点”，它们具有高度的相关性，但前者在“代数”中，后者在“分析”中，因此在教科书中常常不能连续呈现；同样，“函数解析式”与“曲线的方程”、“函数的图象”与“方程的曲线”，虽然有高度的相关性，但前者在“函数”中，后者在“解析几何”中。而对不同位置出现的高相关知识，学生又很难独立完成对它们之间联系与区别的认识。为了克服这些困难，教科书经常采用“综合贯通”策略［19］，借助于数学原理的多元表达设计变式，引导学生的探究与发现，通过对相关知识的联系与区别、相互解释与印证等分析、辨别活动，促使学生深入理解原理。例如，下面是“完全平方公式”的一段教科书（图18）：
这段教科书中，首先利用代数公式的“归纳”特点，通过若干具体例子概括出（a±b）2的形式，再通过多项式乘法运算法则证明公式，并在边空“贴士”中指出“完全平方公式是多项式乘法（a+b）（p+q）中，p=a，q=±b的特殊情形”（这是“一般到特殊”的观点渗透），然后再用日常文字语言、图形语言说明公式。从整体上看，公式的发现过程采用了过程性变式，而且还利用符号语言、图形语言和日常语言给出概念性变式，从而建立了数与形的联系，实现了公式的融会贯通。
4.3变式材料用于数学技能的训练
4.3.1对数学技能的认识
我们［24］曾经对数学技能及其组成因素进行过系统分析，发现数学技能和数学知识是以一种相互作用、相互促进的方式被习得的。数学技能本质上是运用已经掌握的数学知识理解并解决问题的心智动作经验，这种经验的进一步概括化和系统化就可以上升为数学能力。
按加涅［17］的观点，程序性知识可以区分为认知技能和动作技能，而认知技能又可区分为智慧技能和认知策略。数学技能也可以区分为动作技能和智慧技能，但主要是智慧技能。数学技能在任何数学活动中都会得到训练和培养，也会在数学活动中发挥作用，因此我们可以通过考察数学的基本活动过程来认识数学技能。
运算、作图和推理是三种基本的数学活动，因此，“能算、会作图和会推理”是三种基本的数学技能。其实，学会运算和学会推理是最基本且重要的数学训练。
运算技能是指能正确运用各种概念、公式、法则进行数学运算，作代数式的变形，包括对算法的选择及合理性的判断，还包括达到一定的运算速度。运算包含根据法则进行的精确计算、心算和估算。
作图技能是指根据数学语言和题意，能准确、直观地作出几何图形。需要指出，作图技能不仅是一种动作技能，更重要的是在头脑中按一定的方式来合理、完善地组织作图步骤，考虑图形中各元素（点、线和面）的位置、大小及其关系。显然，这些都属于智慧技能的范畴。
推理技能是指根据规定的程序与步骤进行逻辑推理。另外，推理技能中还包含了正确、简捷地表述思想，其中，在推理过程中适当地使用数学符号来帮助推理是反映数学学科特点的技能。
中小学数学尤其是代数中的技能性知识占有重要的地位。比如，有理数或整式的运算法则，解方程或不等式的步骤，分析函数性质的基本步骤，收集和处理数据的基本规则，画几何图的基本规则，推理证明的基本方法等。必须通过适当的训练，把这些知识转化成技能，否则它们既不能巩固也不能应用。只有在这些知识转化成技能后，其他的知识如有理数的性质、运算定律，方程同解原理，几何图形的性质等才能变得有用；只有在前面的知识转化成技能后，才能比较容易地理解新知识，比如，推导一元二次方程的解的公式，就要有整式运算的一系列基本技能，包括因式分解、分式运算、根式运算等，其中任何一项技能不过关，就会使推导产生困难。数学技能的重要性，越是在基础部分越是显著。所以，中小学数学教科书一定要重视基本技能的训练。
4.3.2数学技能的获得机制
数学技能在数学知识习得和解决数学问题的实践中形成，同时又反作用于知识的学习和问题解决。根据认知心理学的观点［18］，在学生习得数学知识、理解有关操作或运算步骤，即数学知识、原理进入学生已有数学认知结构后，需要设计一定的变式练习，以促使数学概念、原理转化为数学技能，使学生掌握按逻辑规则或运算程序顺利完成数学问题解决的能力。
在我们对数学基本技能训练的研究中证实，获得数学技能需要经历认知、联系和自动化三个阶段［24］：
（1）认知阶段学生能对某一技能作出陈述性解释，对相应的需要执行的行为形成最初的陈述性编码（先干什么后干什么）。这一阶段的技能具有陈述性知识的特征。这时，学生在宏观上了解了相应的技能，但对其细节并不熟悉，因此，在使用的时候既要密切关注如何执行其中的每个步骤，又要关注执行各步骤的先后顺序及中间结果。学生要想到一步才能执行一步，对每一步都有相当清晰的意识，需要付出大量努力，需要对整个过程进行有意识监控。
（2）联系阶段将陈述性表征转化为程序性知识；构成该程序各部分的产生式的连结，即条件与行为的一系列配对得以增强。由于一连串关于条件与行动的步骤被不断重复执行，错误被逐渐排除，通过建立一种程序性表征过程，从而使这种指导行动的知识被有效“编辑”，使之能被快速、流畅地执行。
这里有两个子过程，一是合成，二是程序化。“合成”是将一系列个别的产生式汇编成一个程序。这样，个别的产生式将被依次组合起来，相互之间的联系会得到加强，形成一个前后连贯的程序。程序化，即在执行程序时逐渐摆脱对陈述性知识的依赖，使得技能的执行变得更加迅速、精确和无意识，步骤与步骤之间可以实现自动匹配。
变式训练在这个阶段是非常重要的。因为人对一个程序的编辑需要逐渐适应，通过变式训练才能使有意识的陈述性提示逐步减少，技能才会达到驾轻就熟的自动化水平。有意识监控的减少必须以程序在不同背景下成功使用为前提，否则，会使许多错误的产生式程序化。另外，新技能的获得必须以相应的前提技能为基础。
（3）自动化阶段整个程序得到进一步完善与协调。这个阶段，个体会变得越来越善于识别条件以及它们之间的细微差别，从而使行动变得越来越适宜和精确。
4.3.3变式材料用于数学技能训练
认知心理学的研究表明［18］，以命题表征的概括性命题（概念、原理等）向以产生式表征的智慧技能和认知策略转化的关键条件，是概念、原理在变化的情境中练习和运用，我们的研究也证实这一点。因此，这里我们着重分析技能获得的第二个阶段即联系阶段的变式训练问题。
为了使学生掌握的那些关于“先干什么，后干什么”的产生式联系起来，并逐步减少有意识监控而达到自动化执行，教科书会以基本概念、公式、图形等为基础，从设置与原先学习情境相似的问题情境开始，逐渐变化问题类型，最终变为与原先学习情境完全不同的新情境，引导学生在变化中（例如条件变化、结论发散、适时引申、背景复杂化等）形成运用数学概念、原理解决问题的技能。同时，通过适时穿插反省认知的提示，引导学生领悟相应的数学思想方法，体会数学思想方法对于解题活动的指导意义。这里所使用的变式材料，其关键特征是连续性，展示了与“数学的发现”相类似的研究过程。
例如，在平面几何中，各色各样的图形往往是从一些“基本图形”演变而来的，掌握了这些基本图形，就能抓住变化中的不变性，由此就能有效地解决问题。下面就是教科书在“三角形”中安排的由一个基本图形变化而来的各种问题。
在“三角形”和“全等三角形”这两章，表2中的图形（1）是一个“基本图形”，由它的变化衍生出不同的“变式图形”，相应地产生了针对这些变式的问题。表2罗列了教科书中与之相关的问题，共有18个问题，有例题也有习题。
上述图（2）～（17）都是“基本图形”的变式。这些变式被安排在三角形的定义，三角形的基本性质，三角形的高、中线和角平分线，全等三角形，三角形的角平分线等相关内容中。在保持两个三角形有一条公共边的前提下，其变化的途径是：
（1）另两边的特殊关系———相等、共线、共点；
（2）某些角之间的特殊关系———相等、直角等；
（3）与当前学习内容相结合的变式图形，如（6）（15）等；（4）与相关内容综合的变式图形，如（2）；
（5）经过几何变换（对称、平移、旋转）得出的变异图形，如（8）（9）（10）（14）等；
（6）与“基本图形”有关联但完全不同的问题，如（16）（17）。
教科书根据对三角形研究的逐步深入的要求，对变式图形作出有层次的安排。“基本图形”（1）对应于三角形定义，让学生通过识别三角形来了解这种图形的结构；“变式图形”（2）～（5）对应于三角形的基本性质，“变式图形”（6）是针对三角形性质的综合题。
“变式图形”（7）～（15）是全等三角形中的题目，其中（7）是“基本图形”的边、角同时特殊化的结果，这时又产生等腰三角形，于是可以从不同角度看待和解决这个问题；“变式图形”（8）（9）是“基本图形”边的特殊化后再加上平移运动的结果，（10）是旋转运动的结果；（11）～（13）是“基本图形”边、角特殊化的结果，可以让学生了解特殊化的图形中角之间的关系。
总之，“变式图形”与“基础图形”的关系是“万变不离其宗”。上述问题的设计，目的是为了图19现上述变式图形，没有体现连续而有结构地变化的要求，可能会使这些变式图形的推理技能训练训练学生利用从“变式图形”中辨认“基本图形”，抓住“基本图形”及其变化途径（边、角的位置关系、大小关系的变化）解决问题的技能。
不过，遗憾的是教科书以一种零散的方式呈功能大大削弱。实际上，我们可以从基本图形出发，针对图形的要素（边、角及其关系）进行连续变化得出有结构的变式图形（如图19所示）。
4.4变式材料用于数学思想方法的领悟和运用
4.4.1数学思想方法的含义
关于数学思想方法，数学家和数学教育工作者有诸多论述。通常，人们从“数学思想”和“数学方法”两个角度对数学思想方法加以阐释，认为数学思想是对数学对象的本质认识，是在探索和认识数学知识的过程中提炼概括的基本观点和根本想法，对数学活动具有普遍的指导意义；数学方法是指数学活动中所采用的途径、方式、手段、策略等。数学思想和数学方法有紧密的联系性。通常，在强调数学活动的指导思想时称数学思想，在强调具体操作过程时则称数学方法。
数学思想方法是关于如何收集和处理数据，如何绘制图表，如何进行数学思考和推理，如何选择和设计算法，如何从实际问题中抽象出数学问题和用数学知识解决实际问题等方面的知识，也就是关于“如何思考”的知识，所以它属于策略性知识范畴［24］。
4.4.2从策略性知识的学习看数学思想方法的获得机制
下面我们从策略性知识学习的特性入手考察数学思想方法的获得机制。
认知心理学在研究人类学习的一般过程时曾给出许多学习模式。信息加工理论认为，学习过程包含加工过程和执行控制过程两个方面。前者如信息的输入、工作记忆、长时记忆、信息的提取和应用等过程；后者指对信息加工的监控过程，如通过复述、精加工和组织等活动，使信息在长时记忆中持久保存［17］。对心理加工过程起控制和调节作用的知识正是策略性知识。
随着学习的深入，学生在获得概念、原理的同时，也发展了用以自我调控学习过程的方式，即他们学会了如何学习、如何记忆、如何进行反思和优化思维。也就是说，学生在掌握概念、原理的过程中逐渐习得了策略性知识。区别于反映具体事物本质的概念和原理的学习，策略性知识的学习具有如下特殊性［25］：
（1）策略性知识学习的内隐性。根据加涅的学习结果分类，支配智慧技能的规则是对外的，而支配认知策略的规则是对内的。对外办事的规则易于通过实物或其他媒体进行演示，而由于人的认知活动潜藏人脑内部，无法直接观察到，所以难以把支配人的认知活动的规则用演示的方法告诉学生。这样，策略性知识的学习具有更多的意会成分，内省、反思等是更常用的方法。
（2）策略性知识学习的高度概括性、模糊性。策略性知识主要是如何思考、如何解决问题的知识，一般都有高度的概括性和应用的广泛性；同时，它又常常是“可以意会不可言传”的，因此又有模糊性。例如，从小学数学开始学生就学习“分类讨论”的策略，但因为这类策略的应用必须适合于变化的情境，因此不可能短期见效。事实上，大量学生到中学毕业也未能熟练地应用分类讨论。
（3）策略性知识多数是启发式的。例如，在发现数学性质时，联想的策略很奏效。运用“联想图”（图20）
可以有效地促进联想的开展［26］：
我们可以在中间放入当前最感兴趣的事，而上下左右的类比、一般化、特殊化等没有确切定义，可以随心所欲地去解释。例如，把定理“三角形的三条中线必相交于一点，称之为该三角形的重心”放在中间。类比“重心”可以想到什么？联想到三角形的内心、外心、垂心是最自然的。什么是它的“特殊化”？等腰三角形的重心如何？不难发现，对于等腰三角形，上述四心共线。再特殊一点，等边三角形的情形如何？可以容易地发现，“四心”合一。反过来，四心合一的三角形是等边三角形吗？四心共线的三角形是等腰三角形吗？……还有，三角形的四个心可能共圆吗？再来试试“一般化”，平面到立体是一种推广，什么立体图形相当于平面上的三角形呢？三角形是最简单的平面直线封闭图形，对应于最简单的空间平面封闭图形———空间四面体。四面体中哪个点或哪条线相当于三角形的重心呢？如何找出这个重心呢？是四面体的顶点和其对面三角形的重心连线（共四条）的公共交点吗？同样还可以问：四面体有相当于三角形的垂心那样的东西吗？……还有另外角度的“一般化”吗？……
这个例子说明，“联想图”这一“一般策略”具有很强的启发性。如果学生有较好的几何知识基础，那么在“联想图”的指引下，从当前内容出发，使用类比、特殊化、一般化等一般性逻辑思考方法，可以获得非常丰富的数学研究成果。同时，“联想图”也为我们提供了一种很好的编制变式问题的思路。实际上，教科书中也常常利用这种策略设置变式性问题，以使教科书变得更有启发性。
由于这些特点，策略性知识的学习一般比智慧技能的学习更困难，需要接触的例子更多，需要变式练习的机会更多，需要从外界得到更具体的反馈和纠正，需要反省认知（元认知）的参与。
4.4.3用于渗透数学思想方法的变式素材
认知心理学的研究表明［21］，一般地传授问题解决策略对学生帮助不大，因为学生实际上是知道这些策略但又不会用，原因主要是缺乏使用这些策略所需要的特定领域的知识；同样地，一般地传授一些推理策略对学生也没有多少帮助。能否成功地使用一般的问题解决策略和一般的推理规则，关键在于学生是否掌握了特定领域的相关知识。由此，掌握数学知识是学会数学思想方法的基础，数学思想方法的学习一定要落实在数学知识的学习过程中。
数学教科书是用数学语言表述数学知识的一种逻辑体系，是数学内容的一种形式化表达，而数学思想方法则是对这种形式的认识，是一种关于如何认识数学对象的知识。因此，数学教科书是数学的内容与思想方法的统一体。这样，数学教科书的设计需要贯彻“利用数学内容的表现形式反映它的实质和思想方法”的理念。一般来说，首先是形式所反映的内容是什么，然后是形式的变化、变换的方式（即“变式”），在此过程中渗透数学思想方法。这里，“变式”是为更深刻地认识内容所反映的数学思想方法服务的，而且，由于数学思想方法被内容的形式所掩盖着，因此“变式”对于揭露数学知识的本质和思想方法具有重要意义，可以使“再发现”的过程既简约又有效，使数学知识各侧面的本质特征更加显露突出，有利于学生“透过现象看本质”，使学生更容易地发现“变化中的不变性”“变化中的规律性”，在形式的运动变化过程中认识内容，体验数学研究的过程、数学思想方法的真谛。
例如，下面是“不等式的性质”教科书（图21）：
教科书利用类比策略发现问题，提出研究不等式的性质的任务，然后给出4个具体例子（概念性变式），让学生进行具体运算并总结其中的规律；接着通过“填空”引导学生进行归纳，并在“边空”中提出“换一些其他的数，验证这个发现”的任务，这是一个过程性变式。这段教科书中，类比策略引导了发现和提出问题，而“运算中的不变性、规律性”引导了不等式性质的发现过程，体现了使用变式材料渗透数学思想方法的要求。
下面再以“三角形内角和定理”证明方法的发现过程为例，看看教科书是如何利用变式渗透数学思想方法的。
学生在小学阶段通过度量、剪拼已经知道“三角形内角和等于180°”，中学阶段要学会证明和应用。显然，这里的关键是如何使学生发现证明方法，特别是辅助线的添加。为此，教科书设置了四个台阶，帮助学生逐步形成证明思路，并最终给出严格的证明。
第一步：回顾剪拼方法，探究证明思路
首先，教科书设置了一个“探究”（图22），让学生回顾小学用过的剪拼三角形的方法：
当时，学生曾尝试过多种剪拼方法，图23就是其中的两种。
这个“探究”的目的是通过回顾操作过程，自然地引出拼接三个角的变式，从而发现不同的证明思路。
第二步：精选方法，寻找辅助线
如何才能发现证明思路呢？因为“三角形内角和等于180°”等价于三个内角拼接成一个平角，形成一条过三角形一个顶点的直线，所以“发现”的关键是联想平行线的知识，把“平角”转化为“直线”，从而把问题化归为这条直线与这个顶点的对边是否平行。如何实现这个转化呢？困难在于从“拼接图形”（实物图）到“几何图形”（抽象图）的抽象。为此，教科书选取了两种拼接方法，并将其抽象为“线条图”，如图24所示。
上述两个“线条图”可看成是两种典型的图形变式，它们都保留了原有的三角形，并且呈现了最后的拼接结果。与此同时，教科书给出启发性语言，引导学生观察“线条图”的结构，从中发现拼接后出现了一条“过点A的直线l”，进而把思维聚焦到“直线l与边BC的关系”的分析上，从而发现证明的关键是添加辅助线“直线l”。
第三步：获得启发，严格证明
在第二步的基础上，教科书给出了抽象图形（图25中的图11.2-2）。在这个图形中，没有任何剪拼的痕迹，纯粹是几何图形：三角形，平行线，内错角。同时，教科书给出了完整、规范的几何证明过程。
至此，教科书完成了从直观操作到严格推理论证的全过程。其中，“线条图”起到了从“实物图形”到“抽象图形”的桥梁作用。
第四步：一题多解，独立证明
教科书安排了一个边空栏目，提出“你能想出这个定理的其他证明方法吗？”的思考任务，要求学生自己给出其他证明方法。
以上是在数学定理证明过程中，借助变式发现不同证明方法。教科书通过向学生展示变化的直观背景和抽象过程来激活学生的思维，使他们在发现证明方法的过程中受到数学思想方法的熏陶。另外，在数学的一般观念（策略性知识）指导下，利用过程性变式引导学生发现和提出问题、分析和解决问题，进而使学生体验数学中研究问题的“基本套路”，也是教科书经常采用的。例如，前面介绍的平行四边形教科书，就是在“几何学是研究几何图形的形状、大小、位置关系的科学”以及“几何图形的要素之间的相互关系就是几何性质”等一般观念指导下，提出研究平行四边形的边与边、角与角以及对角线的位置关系和大小关系的研究目标并发现有关结论；而后续的矩形、菱形和正方形的研究，从获得研究对象到得出有关性质，都是在“特殊化”策略引导下形成的。由此也可发现，过程性变式素材的使用往往与数学思想方法的渗透有直接的关系。
除了在学习的开始阶段给学生提供使用数学思想方法的机会，教科书还注重提供具有变化性条件的问题解决练习，培养学生根据具体情境做出判断和规划的能力，这也是使学生学会数学策略的重要措施。限于篇幅我们不再举例。
不过，真正有效的数学策略性知识往往很难诉诸于语言文字，“只可意会不可言传”，只有在实践的过程中亲自动脑、动手去做，获得体验，产生领悟，才能达到学会的目的。因此，教师选择恰当的“探究点”，创设问题情境，使学生有机会亲身经历选择、判断、规划的过程，这是使学生掌握数学思想方法的主要途径。当然，这个过程会比较漫长。
5 总结和讨论
5.1中国数学教科书使用变式素材的几个特点
变式教学是中国数学教学的经典方式，中国自古以来注重启发式教学，而变式材料是用于启发学生思维的重要载体，课堂中的变式教学研究已有丰富实践和理论成果。数学教科书中使用变式材料一直受到中国数学教材编写者的重视，但与变式教学研究相比，教科书中使用变式素材的理论研究尚处于起步阶段。
本研究认为，教科书分析要以教科书结构为依据。教科书结构是教科书内部各要素、成分之间的组织方式，实际上也给出了教学结构。我们在分析数学教科书要素和成分的基础上，结合认知心理学的知识分类理论，构建了数学教科书中使用变式素材特点的分析框架。这一框架包含两个维度，一是教材分析对象（数学课程的核心内容），二是教材分析线索（反映学生数学学习过程的教材成分）。因此，在具体分析过程中，既要体现数学活动的过程和规律，又要应用相应的认知心理学理论。
本研究选取数学的概念、原理、技能和思想方法等四类核心知识，以认知心理学关于不同类型知识学习的特征、条件和过程为理论依据，以人教版初中数学教科书为研究对象，对教科书中使用变式素材的途径和方法进行了逐类分析。发现：
1.针对概念学习的不同方式（概念形成、概念同化），在概念学习的不同环节，教科书使用了不同的变式素材。
（1）概念形成中以使用概念性变式为主，目的是帮助学生发现具体事例的共同属性，并进一步概括出概念的本质属性；
（2）概念同化中，为了防止无关特征的干扰，在概念理解活动中，教科书注重使用非概念形变式以引导学生辨析概念的关键词，排除非本质特征；
（3）概念的巩固和应用环节，教科书注重利用数学概念的多元表示方式，提供过程性变式以帮助学生建立概念的多元联系表示，这对灵活应用概念解决问题很重要。
2.根据认知心理学关于原理性知识的获得机制，数学原理的获得需要经历增生、重建和融会贯通三个阶段，这也是数学原理从发现到掌握的连续过程。教科书根据数学原理发现的不同途径，在不同学习阶段提供相应的变式素材：
（1）增生阶段的主要任务是数学原理的发现，可以通过具体事例共性的归纳、相近相似事物的类比或推广、特殊化等不同途径，教科书会根据发现途径使用相应的变式素材，但以使用概念性变式为主，目的是促使学生发现“变化中的不变性”；
（2）重建阶段的主要任务是对数学对象形成联系的、精确的认识，以逻辑推理、运算为主要的数学活动，教科书会以数学原理发展的内在逻辑线索为依据，通过使用过程性变式，帮助学生发现数学原理的证明方法、相互之间的逻辑关系，建立知识的纵向联系；
（3）融会贯通阶段的主要任务是对知识的全面深入理解，建立能够灵活迁移的数学认知结构。教科书常常利用数学概念、原理的多元联系，提供过程性变式素材，帮助学生发现不同表征方式的内在一致性，以建立知识的纵横联系。
3.数学技能是一种程序性知识，在任何数学活动中都能得到培养，运算、推理和作图是三项基本的数学技能。获得数学技能需要经历认知、联系和自动化等三个阶段，变式练习是使数学概念、原理转化为数学技能必要途径。在获得数学技能的不同阶段，教科书会相应地设置变式练习。这些变式大都以基本概念、公式、图形等为基础，从设置与原先学习情境相似的问题情境开始，逐渐变化问题类型，最终变为与原先学习情境完全不同的新情境，引导学生在变化中形成运用数学概念、原理解决问题的技能。研究发现，教科书提供的变式素材比较零散，没有形成连续变化的结构性变式，由此可能会削弱技能训练效果。
4.数学思想方法是一种策略性知识，因为策略性知识具有内隐性、概括性、模糊性和启发性等特征，所以针对数学思想方法的教材往往采取渗透、提示的方法，用以引导学生的内省、反思等活动。数学教科书以“利用数学内容的表现形式反映它的实质和思想方法”为设计理念，通过变化、变换数学知识表现形式的方式渗透数学思想方法。其中，在数学的一般观念（策略性知识）指导下，利用过程性变式引导学生发现和提出问题、分析和解决问题，进而使学生体验数学中研究问题的“基本套路”，是教科书采用的重要方法；另外，教科书还注重提供具有变化性条件的问题解决练习，培养学生根据具体情境做出判断和规划的能力。
5.2讨论
5.2.1教科书中的变式素材对学生数学学习的可能影响
以上从数学概念、原理、技能以及数学思想方法等几个角度，分析了中国数学教科书（人民教育出版社出版）中变式材料使用的基本途径。从中可以看到，数学教科书中使用变式材料，首先是在数学概念由具体向抽象过渡的过程中，为排除一些由具体对象本身的非本质特征带来的干扰，为了让学生能更有效地发现数学对象的本质特征而设置的概念性变式和非概念性变式。我们在分析过程中运用了认知心理学理论，实际上包含了变式材料对学生学习的可能影响分析。我们认为，这种影响主要是正面的。例如，概念性变式为学生提供了概念具体例证的本质特征和非本质特征的比较载体，能使学生比较容易地发现“变化中的不变性”。
另外，中国教科书在其他方面所使用的变式材料对学生学习的影响也是正面的。例如，在背景引入中使用与将要学习的数学知识紧密相关的变式材料，可以激发学生的兴趣，使学生明确即将学习的知识所要解决的是哪一类问题；在变式情境中运用概念分析和解决问题，可以有效地促进概念理解；通过变式建立概念的多元联系，为形成概念的系统性认识从而建立结构功能良好的认知结构奠定了基础；在性质的发现过程中使用变式，不仅可以更容易地发现变化中的规律性，而且对学生掌握发现数学规律的方法也大有好处；概念、原理的变式应用，不仅可以更有效地训练数学技能，而且可以使学生体会数学地思维的方式。
5.2.2需要继续研究的一些问题
本研究基于我们自己的教科书研究、编写的实践经验，文中提供的每一个具体例子，以及对教科书采用这些例子的意图的解释，都可以在我们的教科书和相应的教师教学用书中查到。同时我们试图从数学科学、学习理论、教学理论和教材编制理论等多个方面给出教科书中变式素材使用方式的理论分析，但这些分析主要是在思辨层面的。特别是对教科书中变式素材的实际效果，需要进一步的实证研究。另外，还有一些与本研究直接相关的问题需要进一步研究。例如：
（1）代数、几何学习所需要的变式素材有差异吗？
代数、几何有各自的特点，存在本质差异。例如对几何学中的许多现象和基本性质，我们可以凭借丰富的感性认识和可靠的直观，看到、想象到它们的正确性，而代数所研讨的数系的结构和各种公式，它们在本质上是逐步归纳、复合而构造的。这种差异性会造成对变式素材需求的差异性吗？如何根据代数、几何的整体特点设计教科书中的变式素材？
（2）怎样做到“变式有度”？
到底怎样的变式材料才是学生理解数学所需要的？有时，教科书会因为提供的变式材料太浅显而受到批评；有时，因为变化的形式可以很多，而这些变化对于理解数学知识、发展学生的技能和思维能力并没有太大的帮助（或者说不需要那么多的变式，例如，上述从“基本图形”出发的变式还可以有许多）。这表明使用变式应做到适度。那么“度”在哪里？
（3）“元认知知识”的变式该如何表达？
数学思想方法这类元认知知识，“默会”的成分是主要的，“可以意会不可言传”的特征使它们很难用明确的语言予以表达，但教科书又只能明明白白地写出来。这种“写出来的思想方法”能对学生产生效果吗？
（4）变式如何体现“生成性”？
变式的要义在于“变”，更多与学生的数学学习过程相关，具有明显的“生成性”。教科书只能“白纸黑字”地呈现学习材料，如何使这种形式的材料更好地反映“动态生成”的学习需要？
（5）到底哪些材料才能称为“变式”？
这是更基本的问题。本研究中所举的例子，其中有的我们感到很自信，确实体现了“变换非本质特征，突出本质特征”的效果，但有一些我们心里没底。例如从具体数字到字母表示的运算规律，是由一系列具体的事实概括出一般原理，如果把具体数字的运算作为变式材料，那么是不是类似过程中都需要使用变式材料？这样的话，就有将大部分教学措施都作为变式的危险。同样的，过程性变式也需要考虑是否有泛化的倾向。另外，教科书中呈现的“一题多解”是否能作为变式？显然，与概念变式对概念学习的重要性完全不同，不同解题方法中的“形式的变化”并不重要，重要的是“实质性的变化”。不同解法应反映知识的不同联系方式，否则多一种解法对于深化知识理解就没有意义了。（全文完）注：本文是全国教育科学规划2012年度教育部重点课题“中小学数学课程核心内容及其教学的研究”（课题批准号：G107010）的阶段成果。
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