作为语言来学习,发展数学抽象和逻辑推理素养

——人教A版《普通高中教科书·数学》第一章“集合与常用逻辑用语”介绍

来源:广东电视台/触电新闻 2019-09-26

  集合是刻画一类事物的语言和工具,使用集合语言可以简洁、准确地表述数学的研究对象,提升数学抽象素养.常用逻辑用语是数学语言的重要组成部分,是数学表达和交流的工具,是逻辑思维的基本语言,使用常用逻辑用语表达数学对象、进行数学推理,可以提高交流的严谨性与准确性,提升逻辑推理素养.

  《普通高中数学课程标准(2017年版)》将集合与常用逻辑用语作为高中数学课程的预备知识,要求学生用集合语言和常用逻辑用语梳理、表达学过的数学内容,实现从具体的初中数学知识向较为抽象的高中数学知识的过渡,为高中数学学习做好知识与技能、方法与习惯、能力与态度方面的准备。

  一、内容与学习要求

  学生在小学和初中已经接触过一些集合,如各种数集、不等式的解集、点集等.以此为基础,高中阶段系统安排了集合的初步知识,包括集合的含义、关系与运算,帮助学生使用集合的语言简洁、准确地表述数学的研究对象.

  常用逻辑用语也是基于初中学习过的命题等知识,在高中阶段继续学习充分条件、必要条件、充要条件和量词,并将它们相联系,加强“如何严谨准确地进行数学表述”,让学生逐渐习惯用数学的思维和符号表述和研究数学结论.

  下图展示了集合与常用逻辑用语的内容结构。

  二、选取典型数学实例和命题,回顾旧知、学习新知

  在初中,学生接触的集合与常用逻辑用语知识较为零散;在高中,学生首次系统学习这些表述数学内容的语言和工具。数学语言虽然简洁、准确,但是也相对抽象,教科书的任务就是需要通过这些抽象的数学语言的学习,提升学生数学表达的抽象层次,从而做好初高中数学学习的过渡.

  具体来说,集合的学习起点是之前学习过的数集、解集、点集等,如今要从直观到抽象,系统学习集合的初步知识;逻辑用语的学习起点是之前学习过的命题,如今要从特殊到一般,学习一些逻辑用语的形式化表达.如何从直观到抽象,从特殊到一般?教科书通过选取典型数学实例和命题,搭建初高中过渡的桥梁,从回顾旧知到学习新知.

  在集合中,教科书选取了丰富的实例,既涵盖了数、方程、不等式、函数、几何图形等数学领域,也包含了贴近学生生活的实际问题,例如引入元素与集合概念的6个实例,既有偶数集、正方形集、二次方程解集,又有学生集、四大洋集等.针对不同知识的特点,选取典型的实例帮助学生理解相关知识,例如集合中元素的“确定性”,教科书选取了实例“较小的数”“高中学生中的游泳能手”;再如描述法,通过表示不等式x-7<3的解集来体现引入的必要性等.

  在常用逻辑用语中,无论是充分条件与必要条件,还是全称量词与存在量词,都是在回顾命题的基础上,选取初中典型的数学命题,学习新知识.特别是充分条件、必要条件、充要条件和判定定理、性质定理、数学定义之间的关系,例题中选取了三角形相似、四边形为菱形、四边形是平行四边形,习题中选取了三角形全等、勾股定理等典型命题,并用“四边形是平行四边形”设置三个探究栏目,详细分析、说明这种关系.

  三、类比数的研究,学习集合,提升数学抽象素养

  数学知识包括数学的概念、公式、法则、定义、定理等及由其内容所反映的数学思想方法.在集合中,教科书除了介绍集合的基本知识,还特别注意指引学生“如何研究一个数学对象”,即引入一个新的数学对象后,需要研究些什么,研究方法是什么等.事实上,这是整套教科书贯穿始终的编写理念之一.集合的研究方法,主要是“类比”,类比的对象是学生非常熟悉的“数”,遵循数的研究路径:定义—关系—运算,就获得了集合需要研究的内容:关系和运算.因此,教科书在1.2节和1.3节,通过提出引导性的问题,指引学生发现和提出研究问题;通过设置观察栏目,指引学生类比数的大小关系和运算,联想集合的基本关系和运算.由此,让学生在运用数学思维方法,如概括、类比、联想等的过程中,提高数学思维能力,初步掌握数学研究方法。

  集合语言是数学的基本语言,它能简洁、准确地表述数学的研究对象,表达和交流数学问题.掌握语言的最好的方法就是使用,因此,教科书在本章分三个层次安排集合语言的使用:一是读懂问题中的集合概念和符号;二是在处理问题时,根据需要,运用集合语言进行表述;三是创设情境,根据情境需求进行三种语言(自然语言、图形语言、符号语言)的转换.通过这样进阶式的安排,让学生逐渐熟悉集合语言的抽象性,积累数学抽象的经验,从而提升数学抽象素养.在教学中,也建议教师多选取一些例子,创设使用语言的情境,同时让学生自己举些例子,互相表达和交流.

  四、联系典型数学命题,学习逻辑用语,提升逻辑推理素养

  相对于初中的数学知识,常用逻辑用语这部分内容比较抽象,对学生的逻辑推理、数学语言的运用等能力要求较高,是学生高中阶段数学学习的一个难点.为了降低学生的认知难度,教科书先从初中学习过的一些数学命题出发,分析这些命题中条件和结论的关系,由此引入充分条件、必要条件和充要条件的概念.然后,通过一些熟悉的数学实例,让学生辨析哪些条件是充分不必要的,哪些条件是必要不充分的,哪些条件是充分必要的,哪些条件是既不充分又不必要的,加深学生对这三个常用逻辑用语的认识,提升他们的逻辑推理素养.同时,通过联系初中的一些典型数学命题,让学生理解判定定理与充分条件,性质定理与必要条件,以及数学定义和充要条件之间的关系.

  另外,教科书在介绍全称量词和存在量词之前,先回顾命题的概念,然后通过判断一些含有变量的陈述句是否为命题,让学生体会到对一些非命题的陈述句,如果用一个短语对变量的取值范围进行限定,就可以得到一个命题,在此基础上比较自然地引入全称量词和全称量词命题、存在量词和存在量词命题的概念.对一个数学命题进行否定,可以得到一个新的命题,称为原命题的否定,它与原命题一真一假.教科书通过对数学中一些简单的含有一个量词的全称量词命题和存在量词命题进行否定,分析得到的新命题的特点,引导学生归纳出全称量词命题和存在量词命题的否定的一般形式,让学生学会如何正确使用存在量词对全称量词命题进行否定,以及如何正确使用全称量词对存在量词命题进行否定.

  同时,教科书还通过设置拓广探索的习题,让学生根据一些熟知的数学事实,写出给定结论成立的一个充分必要条件或写出一个全称量词命题或存在量词命题,并加以证明,让学生体会逻辑用语在表述和论证中的作用.在教学中,建议教师为学生提供用逻辑用语梳理初中典型命题的机会,让学生在使用语言的过程中突破学习难点,并逐渐习惯于常用逻辑用语表述和交流数学对象。

  五、基于知识学习,关注数学学习心理和方法的过渡

  相对于义务教育阶段的数学知识,高中阶段的数学知识较为抽象,所以学生不仅感到数学知识变难了,而且还会有无从下手、不知如何学习的感觉.因此,初、高中的过渡,一是知识量的增加和知识难度的提高,二是学习心理的调整和学习方法的掌握.

  数学语言虽然简洁、准确,但是符号较多、形式化程度高.在初次接触时,学生难以体会到它们的作用,容易产生为什么要学的困惑.因此,教科书编写时特别关注学生数学学习心理的调整和学习方法的引导.例如为什么要学习集合,教科书设计了章引言中的问题“方程x2=2在不同范围内的解”,其目的是希望学生意识到研究数学问题需要“明确研究对象、确定研究范围”,这就需要使用集合的语言和工具;为什么学习逻辑用语,教科书设计了各种情境的问题,让学生认识到形式化可以克服很多逻辑错误,如根据“x∈M,p(x)”否定的一般形式为“x∈M,p(x)”,可以知道“所有的矩形都是平行四边形”的否定是“存在一个矩形,它不是平行四边形”,而不是“所有的矩形都不是平行四边形”;等等.

  关于学习心理和学习方法,教科书在“主编寄语”“本册导引”“章引言”“节引言”“小结”等处或有明确的论述,或有隐形的提示,建议教学时既能总揽全局,从全套教科书到每一节;也能细致入微,充分利用一篇寄语,一句引言让学生体会数学的作用和学习方法,引领学生以良好的心理状态进入数学学习,以有效的学习方法学习数学.

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