数学史的小学课程形态：现状、问题与优化
摘要：国际数学教育界倡导将数学史融入数学教育以促进学生发展，将数学史由史学形态转化为教育形态有利于培养和提升人的核心素养。课程是实现教育目的的重要载体，将数学史转化为课程形态成为必要前提。探析了数学课程标准、小学数学教材、数学读本等小学数学课程中的数学史。研究发现：课程标准要求将数学史编入教材并作为课程资源，但未对教学要求作硬性规定；大多数教材从小学低段开始渗透数学史，素材丰富、图文并茂，但分布不均、编排方式单一；适合小学生阅读的数学史读本偏少，且课程资源角色不足。建议明确课程标准对数学史的教学要求，优化数学史在教材中的分布并灵活编排，开发儿童化的连环画式的数学史读本。
关键词：数学史；小学课程形态；课程优化
数学史研究数学概念、数学方法和数学思想的起源与发展，及其与社会政治、经济和一般文化的联系。[1]早在19世纪，欧美学者就认识到数学史对数学教育的意义，[2]国际数学教育界也倡导用数学史促进学生发展。泰尔凯、卡约黎、M.克莱因、弗莱登塔儿等著名数学家、数学史家、数学教育家均重视数学史的教育功能。在数学教育特别是中小学的数学教学中，运用数学史是进行素质教育的重要方面，[3]其有利于激发学生的数学兴趣和情感，使学生更好地认识、理解和学习数学，发展学生学习、实践和创新能力，养成数学精神，提升核心素养。[4]课程是实现教育目的的重要载体，数学课程的实施应充分发挥数学史的教育功能，把数学史的史学形态转化为教育形态，[5]而其前提是先转化为课程形态。由于研究视角、应用情境等不同，学界对课程的看法并不一致。本文主要从教学内容载体的角度出发，所指课程包括课程标准、教材和读本。课程标准是课程的顶层设计，教材是课程标准中教育理念、教学内容以及教学要求等的物化载体，读本是教与学的重要课程资源。为此，笔者探析了数学史在数学课程标准、小学数学教材、数学读本等课程中的现状及问题，进而提出优化建议，以期完善数学史的小学课程形态，促进数学史教育功能的发挥。
一、数学史的小学课程形态现状
（一）数学课程标准
课程标准是教材编写、教师教学及教育评价的依据。因此，数学课程标准是否有数学史内容的要求、有哪些要求至关重要。早在1949年之前，数学史料便已在我国数学课程标准中有体现，如，1923年《小学算术课程纲要》中第三学年教学内容提出“罗马数字的认识”[6]，而现在对此更加强调。《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》（以下简称《实验稿》）、《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《修订稿》），均给出了数学史有关要求，体现在如下三方面。
1. 内容表述：显性方式和隐性方式
两种表述方式在《实验稿》和《修订稿》中均有体现。显性方式指直接写明“数学史”，表现为数学史料、数学史的知识、数学史、数学发展史、史料等用语；隐性方式指体现数学史包含的内容及数学文化价值的表述，如数学家的故事、有关背景知识、数学趣闻、数学发现、数学在生活中的应用、数学在自然与社会中的应用等用语。
2. 功能定位：编入教材和作为课程资源
《实验稿》和《修订稿》都明确要求将数学史编入教材，并利用图书馆、博物馆等社会教育资源中的数学史素材。“数学文化作为教材的组成部分，应渗透到整套教材中” [7]，数学史是数学文化的重要组成部分，两者有机结合、相互交融，[8]为此，数学史应在小学数学教材各个年级有所体现。同时，二者建议将数学史作为课外活动小组的阅读材料，作为学校充分利用图书馆、少年宫、博物馆及科技馆等寻找的学习素材。因此，数学史不仅是数学教材的必备要素，而且应作为拓展学生视野的课程资源。
3. 教育价值：体现在情感态度价值观、数学观、知识领域三个维度
《实验稿》和《修订稿》在阐述数学史内容要求时，也提出了其希望的教育价值。一是在情感态度价值观上，期望数学史能“激发学生学习数学的兴趣”，帮助学生“感受数学家治学的严谨，欣赏数学的优美”等；二是在数学观上，旨在让学生了解数学知识的产生与发展源于人类生活的需要，以及数学在人类文明发展中的作用；三是在知识领域上，旨在开阔学生的视野，丰富教师的教学资源。
（二）小学数学教材
根据数学课程标准的要求，各版本教材纷纷将数学史纳入其中。教材是教学的主要载体，教材中选用了哪些数学史料？数量安排和分布是否合理？呈现方式是否能吸引学生？对此进行研究，有助于完善数学史的课程形态，深化教师对教材中数学史的认识从而更好地教学。以学校使用较广的人教版、苏教版、西师版小学数学教材1为对象，分析其数学史编写现状，有如下特点，详见表1、表2和表3。
1. 从低段开始，一至六年级均有渗透
三套教材均从小学一年级开始融入数学史，且一至六年级均有渗透，人教版最多（41处），其次是西师版（34处）、苏教版（31处）。除苏教版一年级上册外，三套教材每册均有不同数量的数学史内容。一年级是学生进入学校系统学习数学等学科知识的始端，从一年级开始让学生学习数学史，感受数学的发生发展，了解数学家的逸闻趣事，体会数学在生活中的应用等，可从小培养学生对数学的兴趣。
2. 素材类型多样，贯穿古今，横跨东西
三套教材的数学史类型均比较丰富，包括数学知识的由来与发展、数学家的故事、经典数学著作、数学名题、数学猜想和数学思想方法等。
数学史主要研究数学的发生、发展及其规律，为此，数学知识的由来与发展常常是数学史料的首选。如，关于数字的由来与发展，人教版一年级上册介绍了我国古代的算筹、古埃及的象形数字，苏教版二年级下册介绍了甲骨文数字、用算筹表示的数字、早期的阿拉伯数字，西师版一年级上册介绍了阿拉伯数字的由来，此外，还介绍了数学运算符号、数学关系符号、括号、小数点、长度单位、面积单位等的由来与发展。此类数学史料能让学生知道数学知识、思想及方法等背后的原因“为什么”和过程“怎么样”，而不是被灌输式地接受既定事实“是什么”，使学生逐渐形成问题意识，提升其发现问题和提出问题的能力。
数学的发展离不开数学家的贡献，三套教材在多则数学史料中提及或介绍了古今中外著名的数学家，如古希腊的欧几里得、阿基米德、毕达哥拉斯、尼克马修斯，英国的奥特雷德、瓦里士、雷科德、哈利奥特，德国的高斯、狄利克雷、哥德巴赫、莱布尼茨，荷兰的吉拉特，法国的韦达、笛卡尔、吉拉尔，瑞士的欧拉、拉恩、拉哈，以及中国的数学家祖冲之、刘徽、朱世杰、李冶、杨辉、王元、潘承洞、陈景润等。
此外，三套教材融入了《几何原本》《代数》《九章算术》《孙子算经》《周脾算经》《算法统宗》《七巧新谱》等国内外数学名著，鸡兔同笼、田忌赛马、七桥问题、哥德巴赫猜想等中外数学名题和猜想。数学思想方法的介绍，一是直接呈现，如人教版“抽屉原理”、苏教版“双倍法”、西师版“巧用借‘1’法”；二是在数学名题、数学猜想、数学家的故事、数学应用等内容中体现。
3. 图文并茂的呈现方式
数学史在教材中主要有三种呈现方式：纯文字、文字加图画、连环画。“连环画”指通过多幅连续的图画讲述一个小故事或事件发展过程，具有连续性和故事性，通常标有阅读顺序。如，人教版“阿拉伯数字的由来”（图1），用4幅图画描述了阿拉伯数字由印度人发明，因被阿拉伯人广泛传播而得名。西师版“阿基米德巧辨皇冠真假”（图2），用连环画描绘了阿基米德沐浴时突发灵感想到利用排水法辨别皇冠是否掺杂白银的故事。“文字加图画”中的图画一般不具有连续性，主要是帮助读者更好地理解文字内容，有时只起到衬托作用。如苏教版“负数的表示方法”（图3），在文字叙述的同时，用红色和黑色算筹的图画让学生更好地理解“正算赤，负算黑”，并辅以《九章算术》图和刘徽的画像使其更加生动、形象。三套教材中的呈现方式各有侧重，人教版以文字加图画的形式为主（51%），其次是纯文字（37%）、连环画（12%）。苏教版主要为文字加图画（65%），无连环画。西师版呈现方式高度统一，几乎均为连环画（94%），且随年级的增加图画减少、文字增加，一至三年级为5~6幅图，四至六年级为3~4幅图。
（三）数学读本
关于数学史的数学读本大致可分为两类：著作类和科普类。
著作类多用成人的语言表述，注重学术性、史学性及数学本身的严谨性和逻辑性，对读者的阅读素养和认知水平等有一定的要求，一般不适合小学生。如，西方数学史巨作《数学史》（J. F. Scott）、《数学史概论》（H. Eves），中国优秀数学史著作《中国数学源流考略》（李俨）、《中国算学史》（钱宝琮）等。
科普类可分为纯粹的数学史读本和数学文化读本。数学史是数学文化的一部分，为此，数学文化读本中也包含了大量的数学史内容。美、英、法、德、韩、日等发达国家编写了大量的数学文化读本，且几乎都以连环画方式呈现，从幼儿园到中学连续编写，[9]通常由多册构成，多被指定为教材的辅助读物。在中国，适合小学生阅读的纯粹的数学史读本较少，数学文化读本相对丰富。纯粹的数学史读本有如下特点：选材主要围绕数学家的故事、经典数学问题，多采用讲故事的形式，几乎为单册图书。影响较大的数学文化读本包括李大潜院士主编的《数学文化小丛书》，“中国数学科普三驾马车”张景中院士、李毓佩教授、谈详柏教授分别撰写的《数学家的眼光》《奇妙的数学王国》《好玩的数学》等。然而，国内数学文化读本多为文字图书，没有形成系列读物，未能结合教材。为弥补此不足，有学者在借鉴国外读本编写方式的基础上出版了“小学数学文化丛书”，由《数学家与数学》[10]《历史与数学》[11]等10本书构成，张恭庆院士称其“既是学校数学课堂教学和教科书的补充，也是家长帮助孩子学习数学的良师益友，是真正为孩子进入数学的五彩世界修桥铺路，是一套很值得认真一读的科普读物” [12]，刘应明院士称赞“这套科普读物是推动我国小学数学素质教育发展的催化剂” [13]。
二、数学史的小学课程形态的问题
（一）数学课程标准：未对教学要求作硬性规定
《实验稿》和《修订稿》都明确提出数学史应渗透在教材之中，并作为课程资源辅助教学，但均出现在第四部分“（课程）实施建议”中。二者将课程内容划分为数与代数、图形与几何（空间与图形）、统计与概率、综合与实践等四个领域，并给出各学段各领域的主要内容。然而，细细阅读易知这些课程内容并没有包括数学史。即尽管要求在教材、教学中融入数学史，但又认为并非人人都需要学习，只是供学生选择性阅读。一言以蔽之，课程标准要求数学史进入课程和教材，但未对教学要求作硬性规定。
（二）数学教材：分布不均，且编排方式单一
其一，数学史的数量、篇幅及所属知识领域等分布不均。以三套教材各册数学史数量为据，计算其标准差分别为：δ人教版＝1.65，δ苏教版＝1.38，δ西师版＝1.69。即西师版较有规律，数量分布波动最弱，其次是苏教版，人教版中数学史最少时仅1处，最多时达7处。从数学史内容篇幅来看，西师版最多（共34面），每则数学史均占一面，人教版、苏教版中并无固定规律，人教版共约17.5面，各则内容为1/4面至1面，少于1/2面的占69%，1/2至1面的占21%，一面的占10%；苏教版共约14.5面，各则内容为1/5面至1.25面，少于1/2面的占55%，1/2至1面的占35%，一面及以上占10%。从数学史料所属知识领域来看，均为数与代数居多，其次是图形与几何，统计与概率最少（人教版、西师版均只有1处，苏教版无）。
其二，数学家素材重复率较高。一是教材间的重复，如，哥德巴赫、阿基米德、刘徽、朱世杰、陈景润等在三个版本中均有出现，笛卡尔、瓦里士、杨辉、李冶、祖冲之等在两个版本中出现；二是教材内部的重复，如，人教版、苏教版、西师版分别在4处、3处、3处提及刘徽。此外，大多关于数学家的史料只是用一两句话简要地叙述某某数学家首次提出了某某，很少属于真正意义上的数学家的轶闻趣事，也少有讲述数学家的潜心探究过程及其研究的应用等。
其三，编排方式较单一，几乎都在“你知道吗？”版块呈现，且多位于课堂练习、小节习题或整个单元的末尾。相较而言，人教版的编排较为灵活，其中，“神奇的莫比乌斯带”设在“数学游戏”版块、“古人对‘鸡兔同笼’问题的解法”设在“阅读资料”版块，还有几则数学史料穿插于正文和习题中；西师版“韩信点兵”在正文情境图中，“狄多公主圈地”设在“综合与实践”版块，其余均在“你知道吗？”版块；苏教版均在“你知道吗？”版块。
（三）数学读本：适合小学生阅读的数学史读本偏少，且课程资源角色不足
关于数学史的读本中，著作类较多，科普类偏少，适合小学生阅读的尤为不足，且数学文化读本多为从国外引进版权的翻译本。引进优秀作品“借他山之石”固然重要，但我们更期望能达到“琢自身之玉”之效，希望能有中国人自己编著的、优秀的、反映中国数学成就或具有中国特色的数学史读本。同时，数学课程标准要求利用图书馆等数学史素材辅助教学。数学史读本是数学史内容的集中体现，具有较好的系统性和完整性，易教利学，是很好的课程资源，可作为教材的补充，作为学生自主学习和家庭教育的重要素材，但在一线教学中并未受到重视。诸多小学的图书室有即便此类书籍，但也多为摆设，未能与数学教学相结合发挥其教育价值。
三、数学史的小学课程形态的优化
（一）数学课程标准：明确教学要求
数学史与数学知识相互交融，相辅相成，要想真正做到“为教育而史”，应切实将其作为教学内容，从课程设计、课程目标和课程内容等方面提出明确的要求，促进其在数学课程中实施。如，“课程设计思路”可要求将数学史融入数与代数、图形与几何、统计与概率、综合与实践等四个领域的课程内容中。“课程目标”分学段从知识与技能、数学思考、问题解决、情感态度四个方面给出相应要求，体现数学史内容要求的层次性。[14]“课程内容”分学段、分领域给出相关要求。例如，第一学段数与代数中“数的认识”可要求介绍数的概念的起源和表示方法的演变等，其实大多教材已编有此内容，故可将此数学史料作为课程内容提出。至于各学段、各知识领域应编入哪些数学史，需要数学家和数学教育家、数学史家的通力合作来研究。
（二）数学教材：优化分布，扩充素材，灵活编排，多连环画
第一，在教材编写前对数学史内容的数量分布、篇幅设计作总体规划。数量分布上，可根据教材内容单元数或小节数而定，如，每一小节一处，每单元末一处；也可按学段规定数量范围，如，小学低段每册教材安排7~8处、中段5~6处、高段3~4处。篇幅设计上，因国家对教材篇幅有严格规定，在规划时可设定各年级或各学段数学史内容篇幅所占比例。
第二，扩充数学家、统计与概率领域的史料。增加对数学家研究历程、成就、逸闻趣事等的介绍，并扩充对中外其他数学家，特别是近现代数学家的介绍，如陈省身、丘成桐、苏步青、吴文俊等。另外，统计与概率领域的数学史料极少，可能是因为此领域在教材中占比较小且发展较晚。但是，随着信息化大数据时代的到来，统计素养成为公民必备的素养之一，数学课程应该重新审视统计与概率内容及其史料的安排，使其符合新时代的要求。
第三，让数学史有机地融于课程内容。数学史料几乎均设在“你知道吗？”版块，虽易于师生查找，但因其常位于正文末尾，容易让师生形成这些内容是补充材料不必教学的印象。一些教师由于教学任务的紧迫、考试压力以及班级竞争等，常常牺牲了这些数学史料在数学课上应有的地位和价值。[15]因此，可将数学史嵌入正文、例题、习题及其他特色栏目中，[16]不拘一格。
第四，适当增加连环画的呈现方式。学生的喜闻乐见除了内容的趣味性，还在于呈现方式的形象性。有调查发现，小学生对连环画呈现方式的接受度高于情景图和纯文本。[17]连环画因直观性、生动性及故事连续性等特点更能吸引儿童的注意，而现行教材中除西师版外，其余教材连环画呈现方式占比较小，为此，可适当增加连环画。
（三）数学读本：儿童化、特色化、国际化，加强课程资源角色
数学读本是重要且利于教学的数学课程资源。目前，我国出版市场上适合小学生阅读的纯粹的数学史读本稀少且素材单一，数学文化读本日益增长但亦不多，且处于“引进来”的势态，加强两类书籍的编写迫在眉睫。首先，可按内容属性编写，除已有的数学家的故事、经典数学问题类以外，还可围绕数学知识的由来与发展、数学思想方法的由来与应用、经典数学著作介绍、数学分支学科历史等进行编写；其次，可以时间为轴，讲述不同文明时期的数学动态；再者，以国别为据，讲述不同国家对世界数学发展的贡献。需注意的是，无论题材如何，须以符合小学生认知水平和阅读喜好为前提，如，用儿童的语言表达、用连环画的方式呈现等，淡化数学史的学术形态和史学形态，强化科普形态和教育形态。
中国的数学成就推动着世界数学的发展，中国数学史是世界数学史的要素。中国正处于由教育大国迈向教育强国时期，编写具有中国特色的优秀数学史、数学文化读本，大踏步“走出去”在世界各国发行，有利于推进数学教育强国的建设。同时，应充分利用数学史读本，将其融入课堂教学、课外活动和家庭教育，扮演好其课程资源角色，发挥教育功效。
教育改革的核心环节是课程改革，[18]探析小学数学课程中的数学史，诊断问题并提出优化建议，是数学课程改革的重要内容之一。数学课程标准对数学史的教学要求、小学数学教材及数学读本中的数学史构成数学史的小学课程形态，是数学史从史学形态转化为教育形态的基础工程。本文所提优化建议仅供参考，不要生搬硬套，形式服务于内容，要根据实际灵活地、创造性地运用。[19]课程改革最终还需落实到课堂教学、课外活动乃至家庭教育，如何根据数学课程标准的要求，将小学数学教材、数学读本中丰富的数学史素材在教育活动中实施，是正在探索且值得深入研究的后续工程。
[注释]
[1] 李文林.数学史概论[M].北京：高等教育出版社，2002：1.
[2] 吴骏，汪晓勤.国外数学史融入数学教学研究述评[J].比较教育研究，2013，（8）.
[3] 张奠宙.要重视科学史在科学教育中的应用[J].国际学术动态，1998，（8）.
[4][9] 付天贵，宋乃庆.数学文化及其在小学素质教育中的价值[J].教育研究与实验，2018，（6）.
[5] 冯振举，杨宝珊.发掘数学史教育功能，促进数学教育发展——第一届全国数学史与数学教育会议综述[J].自然辩证法通讯，2005，（4）.
[6] 代钦，松宫哲夫.数学教育史[M].北京：北京师范大学出版社，2011：220.
[7] 中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2011年版）[S].北京：北京师范大学出版社，2011：63.
[8] 王青建，陈洪鹏.《数学课程标准》中的数学史及数学文化[J].大连教育学院学报，2009，（12）.
[10] 宋乃庆，康世刚.数学家与数学[M].重庆：西南师范大学出版社，2014.
[11] 宋乃庆，张健.历史与数学[M].重庆：西南师范大学出版社，2014.
[12] 张恭庆.为孩子进入数学的五彩世界修桥铺路——评宋乃庆主编《小学数学文化丛书》[J].数学教育学报，2015，（4）.
[13] 刘应明.惠及子孙，功德无量的大胆尝试——评宋乃庆主编《小学数学文化丛书》[J].数学教育学报，2015，（4）.
[14] 陈朝东，李欣莲，王利.义务教育数学课程标准对数学史的定位与思考[J].教育导刊，2016，（4）.
[15] 刘令，徐文彬.我国小学数学教科书中数学史料的分析与批判[J].全球教育展望，2008，（7）.
[16] 蒋秋，刘芳，邝孔秀.数学文化融入小学数学教科书的编写策略探析——基于修订前后西师版的研究[J].数学教育学报，2015，（5）.
[17] 付天贵，宋乃庆.小学生对数学文化呈现方式的接受度研究[J].数学教育学报，2017，（6）.
[18] 钟启泉.“有效教学”研究的价值[J].教育研究，2007，（6）.
[19] 宋乃庆，陈重穆.再谈“淡化形式，注重实质”[J].数学教育学报，1996，（2）.
（来源：公众号 微言国培）