摘要：百年来，高中代数教科书的发展在民国时期和新中国成立后呈现出迥然不同的特点。民国时期，高中代数以式和方程为主，知识数量不断增加；新中国成立后，高中代数逐步删减，式和方程的知识几乎消失殆尽。民国时期，高中代数教科书个性鲜明；新中国成立后六十多年，高中代数教科书形成了堪称经典的“蓝本”。时至今日，高中代数需要现代化，这种现代化设计需要在各数学分支平衡中寻找出路，并且以最基本、最本质的数学观念来组织越来越多的数学对象。

　　关键词：代数；教科书；百年发展

　　从1902年我国具有现代意义的学校开始教授数学至今，中学代数教科书已经走过了一百多年，在其自身不断发展的同时，为提高我国民众的数学素养和培养专业的数学人才起到了巨大的作用。以高中代数教科书为例，我们纵观其百年发展和变迁特点，以启示未来教科书的编写。

　　一、高中代数教科书百年变迁的特点

　　我们共选取了从1923年到2012年13套具有代表性的教科书。其中，新中国成立前选取与当时课程标准配套的、使用较为广泛的５套高中数学教科书，之后选取人民教育出版社出版的全国第1套至第10套通用中学数学课本中的8套。①纵观这些高中代数教科书，可以划分为两种：一种是分科编排，书名为“代数”“几何”“三角”等；另一种是混合编排，书名为“数学”。在名为“代数”的教科书中，大致分为数、式、方程、不等式、函数、概率统计等领域，从代数学角度，函数和概率统计并不属于这个范畴，故本文所言高中代数，一是从代数学角度界定，二是以必修和必选内容为主。

　　（一）教科书内容：从增到减

　　百年来，高中代数教科书的内容不断变革。作为起点的1923年，以何鲁所编《新学制高级中学教科书·代数学》为例，属于代数学范畴的内容占全书的6５％；作为终点的2004年，以人教版《普通高中数学课程标准实验教科书·数学》为例，属于代数学范畴的内容占全套书的17％。前者的主要内容是数、代数式及其运算，方程及方程组的理论和解法；后者的主要内容是复数、不等式和排列组合。无论是知识点数量还是知识选择，高中代数都发生了巨大的变化。

　　图1为13套教科书中代数知识点数量的折线趋势图。民国时期，知识点数量呈单调递增趋势，知识以式和方程为主；新中国成立后，知识点数量呈单调递减趋势，逐步删减的正是式和方程，2004年的教科书已几乎无方程内容。

　　那么，对于式和方程，删减的是哪些知识？对于百年来相对稳定的数和不等式，是否知识选择也基本没变？为此，我们标记出每个时期较上一时期变化的知识内容，实线框为增加的知识，虚线框为减少的内容，分领域梳理知识选择上的变化，如图2为方程知识选择的变迁情况。

　　百年来，“数”内容保持不变的有复数及其运算、复数的几何表示，变化的是无理数和复数的三角形式及运算。无理数在不同时期有所反复，复数的三角形式在2004年教科书中删去。“不等式”中，不等式的性质始终是重点，新中国成立后至21世纪前，不等式的证明和解法又是一个重点。21世纪，一元二次不等式和不等式的应用又是一个重点。对于“式与方程”，19５2年是“式”内容选择的节点，除了解方程需要的余数定理和综合除法，多项式的其他内容都删除了；1979年和1996年是“方程”内容选择的节点，1979年删去28课时的高次方程，1996年删去指数方程、对数方程和三角方程。

　　于是，高中代数中基本没有初等代数的核心知识了。那么，是否增加了近世代数知识？1979年，增加了线性方程组、逻辑代数等，但只是昙花一现。既然初等代数知识保留甚少，近世代数知识增加甚少，那么原因何在？主要有三点：一是19５2年以苏联十年制学校大纲为蓝本，将苏联十年的教学内容搬到我国十二年的中小学学习，整个中学少学的内容约一学年，所以知识大幅删减；二是从1979年开始，函数成为高中数学课程的主线，如1963年，函数内容分散在代数、三角等中，而1979年，代数内容归入相应函数内容中；三是其他数学分支内容不断增加，如1996年增加了向量，2004年加重了概率统计的分量。

　　综上，高中代数教科书知识内容的演变可划分为三个阶段：20世纪上半叶，以式和方程为主，重点是多项式理论和方程理论；20世纪下半叶，式和方程大幅度删减，无多项式理论，方程类型和理论也逐步减少至无；21世纪，必修和必选中只有复数、不等式和排列组合的系统知识。

　　（二）教科书的编排：从个性鲜明到蓝本传承

　　高中代数教科书的编排在民国时期和新中国成立后呈现出截然不同的特点。

　　民国时期，代数教科书以方程为核心，多项式、根式等为基础，序列、级数等为延展。方程的编排遵循两个方向：一是以未知数的“次”为方向展开，一次、二次……高次；二是以未知数的“元”为方向展开，一元、二元……多元。这个时期教科书个性鲜明，即编排体系多样、呈现方式各异。究其原因，主要源于编者对代数学和代数教育认识的差异。例如，对同是根据1923年课程标准编写的两本教科书———《新学制高级中学教科书·代数学》和《新中学代数学》，前者编者认为“读者以见篇名而知代数之意义。至何处为算术之推广；何处为代数之推广；何处为分析之起始”，故全书按照代数的运算、方法、分析以及代数本身问题组织内容，后者编者认为“以初中所习者为根据，引之充之，探数之原，索式之变，明数式关系；联络三角，详论方程；从初等到高等，论行列式和级数”，故全书按照数—式—方程—行列式—级数的主线组织内容。

　　新中国成立后，代数教科书的编排是一种继承上的创新。继承的多是结构体系，创新的多是呈现方式。因此，形成了堪称经典的“蓝本”。例如，对复数，1979年的《全日制十年制学校高中课本（试用本）数学》构建了百年来最为完整、逻辑性最强的复数结构体系：数概念的发展—虚数单位及其性质—复数及相关概念—复数的几何表示—复数的向量表示—复数的运算—复数的三角形式及其运算—复数的应用。而且，在呈现知识时，这套教科书既关注思想性，如用集合与对应、向量思想阐述复数知识，又关注应用性，用复数解决几何、方程问题等。因此，这种结构体系和呈现特点一直沿用至今。

　　虽然“蓝本”在教科书变迁中起到重要的作用，但并非一成不变。后继教科书会根据内容的变化、时代的需求、教育理念的转变作相应调整，如1983年甲种本在19５6年教科书结构体系基础上，明确了不等式证明的三种方法（表1）。

　　（三）教科书的元素：从单一到多元

　　从1922年到2012年，高中代数教科书不仅语言表述越来越生动，教科书元素也越来越丰富。20世纪90年代之前，每章（编）除了正文、习题和小结，基本上没有其他元素；90年代后，教科书的元素开始多元化。

　　1996年的教科书增加了三个元素：一是章引言，从问题或历史角度引入本章所学知识；二是正文中的“旁注”，多是对知识的解释、说明、补充和拓展；三是阅读材料，或是知识拓展或是数学史。2004年的教科书增加了两个元素：一是正文中的“观察”“思考”“探究”栏目，采用设置问题情境或提问的方式引导学生思考，使其经历知识发生发展的过程，如“3.4基本不等式”一节开篇的“探究”，以第24届数学家大会会标为背景，谈到赵爽弦图，引导学生发现其中的相等关系和不等关系；二是实习作业，重在综合实践。而且，“旁注”和“阅读材料”数量和选材类型增加。以“旁注”为例，2004年的数量是1996年的12倍，选材类型也从知识、历史拓展到方法、思想（想法）。特别是“思想（想法）”，或是这段知识发展中数学家的灵感和疑惑，或是编者编写时的深刻感受，如介绍组合数公式时，有一个旁注：“等式”的两边是对同一个问题作出的两个等价解释……“从另一个角度解释问题”是很重要的思想方法。这样的话语更能让学生有认同感，激发学习的热情。

　　因此，百年来，教科书不仅元素从单一到多元，而且这些元素的素材选择也不断多样化，从偏重代数的知识和历史，拓展到注重代数的教育价值，如代数是什么和如何学代数。这种特点正反映了数学教育的时代发展，即从关注学科逻辑到关注学生认知，从关注学科知识到关注学科思想方法、文化及其所内含的教育价值。正如2004年《普通高中课程标准实验教科书·数学》的“主编的话”中所说：看过问题三百个，不会解题也会问。又如以上思想（想法）类型的“旁注”，建立了编者和读者之间交流的桥梁，由这类元素，学生能了解到数学发展中数学家的想法，体会到编者对数学和学习的认识，从而为学生打开了全面认识代数的一扇门。但是，这种类型的旁注数量很少，2004年只有两个。我们也希望未来教科书能在这些元素上深度开发，或分散，以旁注穿插正文，或集中，以概述给出一段学科思想和方法的介绍。如此，教科书才能从知识、思想、方法、文化、历史等多种角度，带领学生走进代数的世界，领悟代数的魅力。

　　二、高中代数教科书百年变迁的启示

　　当我们直观或量化地梳理高中代数百年变迁脉络、分析其成因、概括其特点时，既为教科书百年编写中的经典所赞叹，也在思考随着时代的发展，如何创造新的智慧和经典。

　　（一）知识内容现代化的设计与实施

　　代数学大致可划分为初等代数学和近世代数学，初等代数学的中心问题是实或复系数的多项式方程和方程组解的求法及其分布，近世代数学是在初等代数基础上发生发展并形成于20世纪，主要研究各种代数结构性质。民国时期，高中代数属于初等代数学范畴；新中国成立后六十多年，高中代数逐渐删减，至21世纪已无初等代数学的中心问题———方程论了，同时，必修和必选课程中也没有选取近世代数学的知识。

　　21世纪的重要特征是各种信息技术工具的使用，而它们的实现需要代数，因为代数本身就是一个计算系统；在现今数学研究中，代数化也是一种重要方法。因此，随着数学和时代的发展，高中代数需要现代化。如何现代化？新中国成立后，其他数学分支的发展在高中数学教科书中都有不同程度的反映。如1978年后，函数逐渐成为高中数学的核心。再如概率统计，1963年10课时，1996年30课时，2004年46课时。所以，进入中学的数学各分支之间有一个博弈，于是，考虑高中代数现代化时，非常重要的是在各数学分支平衡中寻找更新高中代数的支点。对此，我们认为至少有两点可以尝试。其一，强化代数方法，培养学生的代数思维。数学家Ｈ.Ｗｅｙｌ曾用“坐标化”描述代数的作用，他说：“任何一些作为数学研究对象的条件，如曲线和曲面、映射、对称、晶体、量子力学等，是能够‘被坐标化’或‘被度量’的。”［1］所以，无论是解析几何还是向量，都能充分让学生领悟到代数的方法和作用，而教科书所需要做的只是在这些知识的学习中强化这种“代数化”。其二，增加近世代数的知识，或者是基础知识，如行列式和线性方程组；或者是与其他分支有联系的知识，如可以刻画图形变换的矩阵、刻画对称而出现的群等。当把不同分支的知识联系在一起时，不仅对平衡各分支分量有益，也能突出数学的统一性和代数的应用性。

　　此外，如何将高中代数现代化的设计落到实处，这是更需要思考的问题。因为在高中代数的百年发展中，这种经验教训是很深刻的。比如，1983年的甲种本、乙种本中，一些“高考”不考的行列式、线性方程组，在很多学校是少教少学甚至不教不学，完全形同虚设。［2］再如2004年教科书中的任选系列：对称与群、开关电路与布尔代数等，有的教科书就未出版，有的在教学中基本没有人选。当然，原因是复杂的，比如高考问题、师资问题等。因此，高中代数的现代化必须考虑理想和现实之间的关系，综合考虑各方因素，以实现教科书设计和实施的统一。

　　（二）以运算为中心组织教科书

　　20世纪以来，数学迅猛发展，产生大量新分支，并通过相互联系趋于统一。相应地，数学教育也会反映这种特点。一方面，高中数学知识更新，数学对象增加；另一方面，教科书稳定于“混编”方式，打破分支界限，强调统一。在这种趋势下，更需要用一些最基本、最本质的观念为中心来组织内容，形成具有层次性、联系性的知识体系。那么在代数中，这个中心是什么？

　　代数的根本在于数的运算和运算律［3］，而整个代数学所发展的就是有系统、有效地运用这一系列的数系运算律，去解决各种各样的问题。首先解决各种代数方程，所以解方程成了初等代数的一个中心问题；其次运用代数方法研究几何图形的性质，用坐标表示点，用方程表示图形，这就是解析几何；再次是解决几何、物理或实际问题，产生新的数学对象，如矩阵、向量等；最后，代数研究脱离了具体的对象，转向代数结构，即满足某些运算和运算律，如群、环等。

　　因此，我们认为“运算”就是代数中最基本、最本质的观念。以运算为中心组织教科书，至少有两种途径。途径一是以运算为中心组织代数内容，这在百年教科书的发展中曾有很好的范例，如19５6年的教科书，以运算为中心组织“式”的内容，从开方讲到方根和根式，从乘方讲到幂、指数和对数，充分表明知识之间的逻辑关系，能有效地帮助学生建立知识网络。

　　途径二是以运算为中心组织所有使用代数方法的知识。这种想法在2004年教科书中有所体现。如介绍“平面向量的线性运算”时，开篇提到：“数能进行运算，因为有了运算而使数的威力无穷。与数的运算类比，向量是否也能进行运算呢？”这是一种渗透式的组织方式，更重要的是设计一种整体上的，由代数内向代数外的组织方式。如图3，以运算（律）为中心，纵向表示代数内，向上为初等代数内容，运算对象有数和式，以及以实系数为主的解方程，向下为近世代数内容，运算对象有行列式和矩阵，以及以此为解决工具的线性方程组。横向表示代数外，向左为在几何中的应用，有运用“坐标法”的解析几何，主要是研究曲线问题，有方向和大小的向量，向右为在分析中的应用，包括函数、导数和积分。如此，具有中心的知识由零散走向统一，由封闭走向应用，由孤立走向联系。对于学生，既能领悟学科精神，又能联系性地掌握知识，从一个领域应用到另一个领域。

　　（三）以代数化方式呈现教科书

　　代数学的基本方法，就是先从某些具有公共性质的对象抽象出最基本的几条性质作为定义，然后从定义出发进行逻辑推理，揭示出这类对象新的性质。［4］这是一种公理化的方法，特点是抽象度高、逻辑性强。对中学生来说，是很难理解和接受的，因此需要关注数学对象的背景，从哪里来，关注数学对象的产生，如何抽象，关注数学对象的应用，如何解决问题，关注数学对象背后的思想，甚至是代数思想等。如负数、无理数、虚数，教科书只有设置丰富的背景，让学生经历抽象共同特征的过程，才能理解它们的意义，才能体会伽利略所说的“度量所有能度量的，把所有尚未能度量的东西都弄成可度量的”这句话的含义，也即初步体会代数的思想。

　　因此，我们认为，教科书的呈现应该遵循代数思维的方式，从客观现象一步步“代数化”，即：首先，观察客观现象，分析主要特征，抽象出概念；其次，进行探索，探索时运用直觉判断、归纳、类比和联想等；再次，作出某种猜想并证明，这需要进一步的深入分析、逻辑推理和计算；最后，揭示事物的内在规律。简而言之，就是“观察—抽象—猜想—论证”。相应地，教科书呈现的关键在于：一是精选例子，即概念产生的背景问题；二是适时提问，即在概念发展的关节点上提出问题，引导学生抽象和探索；三是表明想法，即将抽象、探索和猜想过程中思维的困惑和闪光点娓娓道来，让学生感同身受；四是明确道理，即在论证中，既要清晰严密，又要通俗易懂。图4表明了思维方式和教科书呈现要素的关系。

　　在百年高中代数教科书中，经典例子众多，逻辑证明充分，但直到2004年，教科书才通过设置栏目提出问题，引导学生数学探究，才在引言、旁注、小结中表述想法，引导学生感受代数的思想、方法等。作为一个起点，未来教科书特别需要在提“问题”和讲“想法”上更进一步。对于所提“问题”，目标是精致。如果是一串问题，那么需要考虑其层次性；如果是一个问题，那么需要目标指向明确，避免空泛，如“你能说说这个问题的特征吗”之类，就不够明确具体。对于所讲“想法”，目标是贴切。首要是选择恰当之处多讲想法，“有了体会，推导、计算、定理、方法等就有了灵魂”［５］；然后是表述想法时能够语奇意确，给学生以深刻的印象，如关于公理体系，傅种孙先生曾说：“公理体系就相当于一个国家的宪法，要入境随俗，到了那个国家（一个公理体系）就要按照那个国家的法律办事，否则就要犯错误”。好的问题、“醒耳”的想法，当学生思考或记住它们时，才能对数学不仅知其然，还能知其所以然。

　　三、结束语

　　在高中数学教科书的百年历程中，20世纪上半叶，高中代数始终处于主体地位，核心知识是方程；下半叶，高中代数让位于函数；21世纪初期，选取了一些近世代数初步的知识。这种变革既和历史因素有关，也和数学的发展以及各数学分支之间的博弈有关。因此，对于未来教科书，已不是单一数学分支，而是在数学大统一背景下，考虑融合各分支的大观念，并以这些观念组织知识。这种组织方式并非单一的，未来教科书需要学习民国时期教科书的多元性，充分反映编者对数学和数学教育的认识，充分考虑学生数学学习的差异性，创造出有个性、有特色的组织方式，以真正实现教科书的多样化。

　　参考文献：

　　［1］刘绍学.谈谈“近世代数”这门课［J］.高等数学研究，2000（9）：8.

　　［2］李润泉，等.中小学数学教材五十年［M］.北京：人民教育出版社，2008：416.

　　［3］项武义.基础代数学［M］.北京：人民教育出版社，2004：ｖｉ.

　　［4］丘维声.怎样学习线性代数［J］.电视大学，1981（1）：8.

　　［５］刘绍学.谈谈教学方法［J］.数学通报，1997（1）：1.