可以避免讨论的简单方法

  在圆锥曲线这一部分由于建立直角坐标系的方法不同使得曲线的标准方程是多种多样的,但这样会对我们的计算带来困难,而在有这样的一些情况下是可以避免讨论的,下面有这样两个例子.

 

1 求焦点在轴上且截得直线的弦长为的双曲线的标准方程

 

分析:如果分两种情况来讨论要计算两次.若直接设,当,当,但只用计算一次减小了计算量避免了讨论.

 

解:设双曲线的标准方程是为双曲线与直线交点的横坐标

 

联立 消,得,由根与系数的关系可得:

 

由弦长公式

 

代入已知条件,解得,从而双曲线的标准方程为:

 

2 求过点且焦点在坐标轴上的双曲线的标准方程.

 

分析:本题并不明确双曲线的焦点所在的轴线使得在计算的时候要分两种情况进行讨论要计算两次.若直接设代入PQ两点的坐标这样就减少了计算的次数避免了讨论.

 

解:设双曲线的方程为

 

PQ两点在双曲线上,

 

 

解得

 

∴所求的双曲线方程是

 

    这样以来就使得原本需要计算的量大大减少,为我们在考场上赢得了更多的时间.


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