探究直线左右平移后的函数解析式

大家知道,在平面直角坐标系中,一条直线向上或向下平移n个单位长度后,其对应的函数解析式分别为ykx+bnykx+bnkb为常数且k0n0).那么,你知道当一条直线向左或向右平移n个单位长度后,其对应的函数解析式怎样求吗?

 

我们先不妨以直线y2x3为例来作一探索:

 

将函数解析式y2x3变形为x,当直线y2x3向左平移2个单位长度时,直线上各点的纵坐标(y)不变,横坐标(x)都相应减少2个单位长度,所以x2,变形得y2x7,即y2x32×2;当直线y2x3向右平移2个单位长度时,直线上各点的纵标(y)不变,横坐标(x)都相应增加2个单位长度,就有x2,变形得y2x1,即y2x32×2

 

那么,对于任一直线ykx+b(kb为常数且k0) ,如果该直线向左或向右平移 nn0)个单位长度,仿上,先将ykx+b变形为x,当直线ykxb向左平移n个单位长度时,所得函数解析式为xn,变形得ykx+bk n;当直线ykxb向右平移n个单位长度时,所得函数解析式为xn,变形得ykx+bk n

 

于是,得到以下两个结论:

 

⑴如果直线ykx+b向左平移n n0个单位长度,那么所得直线的解析式为ykx+bkn

 

⑵如果直线ykx+b向右平移nn0个单位长度,那么所得直线的解析式为ykx+bkn

 

将直线左右平移与直线上下平移对比一下,还不难发现以下四个规律

 

⑴直线ykx+bk0)向左平移n个单位长度所得到的函数解析式ykx+bkn,相当于把该直线向上平移n个单位长度后所得函数解析式ykx+bn中的“n”改写为“k n

 

如,求直线y3x1向左平移2(这里k =3n=2)个单位长度后所得到的解析式,可先计算kn =3×2 = 6,于是,直线y3x1向左平移2个单位长度得到的解析式,就是该直线向上平移6个单位长度(k0时,记 k n0表示向上平移)得到的解析式y3x16,即y3x7

 

⑵直线ykx+bk0)向右平移n个单位长度所得到的函数解析式ykx+bkn,相当于把该直线向下平移n个单位长度后所得到函数解析式ykx+bn中的“-n”改写为“-k n”.

 

如,将直线y3x1向右平移2(这里k =3n=2)个单位长度后所得到的解析式,可先计算-k n =3×2=-6,于是,直线y3x1向右平移2个单位长度所得到的解析式,就是该直线向下平移6个单位长度(k0时,记k n0表示向下平移)所得到的解析式y3x16,即y3x5

 

⑶直线ykx+bk0)向左平移n个单位长度所得到的函数解析式ykx+bkn,相当于把该直线向下平移n个单位长度后所得到的函数解析式ykx+bn中的“-n”改写为“+k n

 

如,将直线y=-3x4向左平移2(这里k =3n=2)个单位长度后所得到的解析式,可先计算k n = 3×2=-6,于是,直线y=-3x1向左平移2个单位长度所得到的解析式,就是该直线向下平移6个单位长度(k0时,记 k n0表示向下平移)所得到的解析式y=-3x46,即y=-3x2

 

⑷直线ykx+bk0)向右平移n个单位长度所得到的函数解析式ykx+bkn,相当于把该直线向上平移n个单位长度后所得到函数解析式ykx+bn中的“+n”改写为“-k n”.

 

如,将直线y=-3x1向右平移2(这里k =3n=2)个单位长度后所得到的解析式,可先计算-k n -(-3)×26,于是,直线y=-3x1向右平移2个单位长度所得到的解析式,就是该直线向上平移6个单位长度(k0时,记k n0表示向上平移)所得到的解析式y=-3x1+6,即y=-3x+7

 

 

 

例题 在平面直角坐标系中,将直线y=-3x2

 

⑴向左平移2个单位长度,所得直线的解析式为_______________

 

⑵向右平移3个单位长度,所得直线的解析式为_______________

 

⑶先向右平移1个单位长度,再向下平移2个单位长度,所得直线的解析式为__________

 

⑷先将直线向左平移2个单位长度,再向上平移3个单位长度,所得直线的解析式为__________

 

解法1(运用结论解答):

 

y=-3x2+(-3)×2    y=-3x8

 

y=-3x2-(-3)×3   y=-3x7

 

y=-3x2-(-3)×12,即y=-3x1

 

y=-3x2+(-3)×2+3 y=-3x5

 

解法2(利用规律解答):

 

      因为k =30k n=-3×2=-6,所以直线向左平移2个单位长度所得到的解析式,就是该直线向下平移6个单位长度所得到的解析式y=-3x26,即y=-3x8

 

      因为k =30,-k n3×39,所以直线向右平移3个单位长度所得到的解析式,就是该直线向上平移9个单位长度所得到的解析式y=-3x2+9,即y=-3x+7

 

      因为k =30,-k n3×13,所以直线向右平移1个单位长度所得到的解析式,就是该直线向上平移3个单位长度所得到的解析式y=-3x2+3,即y=-3x+1;再将直线y=-3x+1向下平移2个单位,所得直线的解析式为y=-3x+12,即y=-3x1

 

      因为k =30k n=-3×2=-6,所以直线向左平移2个单位长度所得到的解析式,就是该直线向下平移6个单位长度所得到的解析式y=-3x26,即y=-3x8;再将直线y=-3x8向上平移3个单位,所得直线的解析式为y=-3x8+3,即y=-3x5

 

练习:在平面直角坐标系中,将直线y=-x4作如下平移,写出平移后直线的解析式:  先向左平移2个单位长度,再向上平移2个单位长度;

 

                先向右平移1个单位长度,再向下平移3个单位长度.

 

答案: y=-x +5     y=-x1


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