近读胡重光老师“关于分数教学中的科学性问题”一文（发表在2010年第1-2合期《中小学数学（小学版）》上，以下简称胡文）。感触颇多，胡文从五个方面批判了当前小学分数教学方面存在的问题，观点犀利、独到，给众多一线小学数学教师打开一扇反观自我的新窗口。但文中的有些观点还是值得商榷，现就胡文谈谈自己的一些看法。

从所周知，要了解当前小学分数教学是否科学，其核心是要明确分数定义是否科学，有了科学、规范的分数定义，我们的教学才有科学的根本。因而，有必先要厘清分数的基本定义。通过查找资料，发现有两位学者对分数定义的刻画比较全面。

一位是张奠宙先生，他在《小学数学研究》一书中，认为分数定义，按人们认识发展的顺序，一般有四种情况^①：

定义1（份数定义）：分数是把一个单位平均分成若干份之后其中的一份或几份。

定义2（商定义）：分数是两个整数相除（除数不为0）的商。

定义3（比定义）：分数是整数q与整数p（p≠0）之比。

定义4（公理化定义）：有序的整数对（p,q），其中p≠0。

另一位是台湾台北师范学院数学教育学系的吕玉琴先生，她在“国小高年级学童分数概念量表之设计研究”讲座中，认为分数有以下几方面的意义^②：

1.“部分与全部”的概念。

2. 比率：强调两个数量的关系。

3. 比值：用一个量值来代表两个数量的关系。

4. 商：两数相除的结果。

5. 操作：强调分数是一种转换。

6. 线性坐标：强调数线的距离长。

7. 数在线的一点：即实数系的子集合。

从两位学者对分数所下的定义，不难看出，他们均认为分数的定义在不同的学龄阶段有着不同的内涵，也就是，随着人们对分数认识的不断深入，分数定义的内涵是不断拓展，逐渐抽象化。

正是基于以上的认识，结合儿童认识事物的特点，笔者认为数学教育的起始阶段——小学数学教育，应侧重从分数的“份数定义”、“商定义”、“比定义”这三个层次，分阶段引导学生认识分数，学习分数，运用分数。

在明确分数基本定义的基础之后，再来看胡文中提到的五个问题，可以发现，文中所提的当前分数教学是否科学，不论是观点，还是一些论据，均带有一定的片面性。

一、 漠视“平均分”上的自相矛盾

胡文提出的第一个问题就是“一定要是平均分才能用分数表示”吗？为了证明这一点，文中举例说明（如图1）：“EF是△ABC的中位线，它将△ABC分成不相等的两部分，因此不是平均分，但是△AEF的面积恰好是△ABC的四分之一，因此它的面积可以用分数1/4来表示”。

虽然，上述例子显性的表现是分成了两部分，但这并不影响实质的比较，通过具体比较我们不难发现，△AEF的面积只是△ABC的面积中的一部分，要了解部分与整体之间的关系，必须要让部分与整体之间有可比条件，而这个可以的条件就是要把整体均分成若干个部分。针对本题就是要把△ABC的面积平均分成相等4份，△AEF的面积只是其中的一份，这样很直观地看出△AEF的面积是△ABC的1/4。因而，这个例子不仅无法证明胡文关于分数是否需要平均分的观点，还从另一个侧面证明了部分与整体之间的比较一定要建立在平均分的基础之上，才能用分数表示。

至于小学阶段判断某个图中阴影部分能否用分数表示，不论是现行的教材还是多年来形成的数学事实，都以是否把整个图形均分为基点，在这基础上才能知道其中阴影占整个图形的几分之几。如果离开这个基点而谈分数，就会让小学生陷入不可知论的陷阱。

二、确定“整体”上的偷换概念

胡文质疑“分数产生于平分整体”这一说法，用了“分乒乓球”和“分苹果”两个例子来证明，看似有理有据，但根据分数的定义仔细推敲，漏洞却很多。

先说“分乒乓球”。胡文认为“一盒乒乓球可以看成一个整体，假设12个，把它们平均分成4份，每份是3个，并没有产生分数”。其实，作者在论证的过程中偷换了最重要的概念——“整体”，他把原来一盒看成一个整体，转化为每一个乒乓球看成一个整体了。以“一盒乒乓球”为整体，平均分成4份，每一份不足一盒，只能用四分之一盒表示；而如果“1个乒乓球”为整体，12个乒乓球平均分成4份，每一份当然用3个表示。

再说“分苹果”，胡文认为“把一个苹果平分成两半，表示其中的一份也不一定要用分数”。他说，“学生提出的表示方法是：一个苹果是2，半个苹果是1；一个苹果是4，半个苹果是2；……”从胡文中不难看出，他眼中的苹果只是一个符号，可以看成任何数，这与原来“一个苹果”内涵不符，转移了数的概念内涵。同时，胡文不了解当前教材编排特点，小学“分数的初步认识”大部分版本的教材都安排在除法运算之后，以人民教育出版社教材为例，“分数的初步认识”是学生学完了有余数除法后进行的，此时，学生已有了初步的平均分概念，面对一个苹果平分成两半，他们一定会写出运算式，却无法用一个自然数描述商，正因为有这样的认知冲突，才引出一个新的数——分数。至于胡文提到的把苹果看成几，一半表示几的情况，不论是自己的课堂，还是他人的课堂，从来没有听说过。

胡文上述两个例子的最终目的就是要把“整体”与“单位”对立起来，这是不妥的。根据分数的份数定义：分数是把一个单位平均分成若干份之后其中的一份或几份，把一个“单位”作为均分的标准，是大家都认同的。但在具体的教学中，特别是小学数学教学过程中，为了直观形象地向小学生介绍抽象的“单位”，往往很多时候都用“一个整体”来形容“一个单位”，这样的表述可以帮助学生建立起数与形之间的联系，为他们过渡到抽象认识分数奠定思维基础。因而，把“整体”与“单位”对立起来，不仅不科学，更不符合分数定义形成、发展的需要。

三、分数表述上的文字游戏

胡文认为“1/2与二分之一”表示的意义不同。并用“比10多1/2的数是几”来证明“1/2与二分之一”的意义是不一样的，认为“比10多1/2的数是”，这里的1/2只是一个数，而“比10多二分之一的数是15”，这里的“二分之一”是分率。

分析胡文以上的观点，不难看出，胡文缺乏对分数定义全面理解，从分数的“份数定义”和“商定义”来看，“比10多1/2的数是几”中的1/2，只是一个具体的数值，计算的结果当然可以用表示；如果从分数的“比定义”来看，“比10多1/2的数是几”中的1/2又是一个表示两数之间关系的分率，计算的结果就是15。造成这样的分歧，不是“1/2”与“二分之一”表示的意义有什么不同，实质上是分数的定义不断拓展与变化的结果。因而，纠结于“1/2”与“二分之一”之间的文字游戏没有科学性可言。

同时，胡文举出的一道华罗庚金杯赛竞赛题：“有一块菜地和一块麦地。菜地的一半和麦地的三分之一放在一起是13亩。麦地的一半和菜地的三分之一放在一起是12亩。那么菜地是几亩？”。认为题中的两个“三分之一”都不能换成“1/3”。而实际上，不论是“三分之一”，还是“1/3”，表达的都是菜地或麦地中部分与整体之间的关系，用那种表示都一样，要说区别，只能说一种是用文字表示，一种是用数字表示而已。因而，单纯的用表述上的差异来区别分数不同的意义，不仅不科学，还可能给学生正确地理解分数知识制造人为的障碍。

四、对待单位“1”上的以偏概全

我国的小学数学教材长期以来为什么采用单位“1”作为解释分数定义中“单位或整体”，这即有历史原因，也有客观事实。

首先，通过查询得知，“‘单位’系指给定的某一基础量，单位的给定皆属人为。常伴随着某种表示法，例如公尺、秒、公斤等，以方便人们在沟通某一量时有共通的概念”。^③从中不难发现，“单位”只是人们为了便于交流而产生的一个工具。

其次，根据前面的叙述不难发现，小学分数教学起步于分数的份数定义：分数是把一个单位平均分成若干份之后其中的一份或几份。这里的“单位”是一个抽象的词，对于小学生来说，理解起来很困难，同时，宽泛的概念外延很难让小学生把握住分数概念的内在本质。而引入单位“1”这样一个相对具体的数量模型，便于学生准确地理解分数概念中“整体与部分”之间的关系。

再次，单位“1”中的“1”不是现实中具体数量的简单反映，而是某一类相同量的一个集合，它相当于代数式中的x，能形象地把一本书、一个班级、一群人………这些不同类的单位用抽象“1”表达出来，同时，这里的单位“1”表达不是某一个体，而是一类事物共同的数学模型，如用单位“1”表示一群人，则这里的“1”代表就是“一群”，而不是单纯的数字1。这也是为什么用双引号“1”表示的原由，这种简洁表达方式体现了很多前辈学者们的智慧，更是学生学习分数的好抓手。

而胡文认为单位“1”只能是自然数的单位，完全否定了单位“1”在小学分数教学中特定的作用，是片面的，同时，也没有深入领会为什么使用单位“1”进行分数教学的内涵。而文中举出关于阴影部分表示法（如下图），教学中由于语言表述上的歧义，有时会出现不同的结果，这很正常，这就要求我们教师在教学过程中要有明确的表述与说明，避免给学生产生不必要的麻烦。同时，随着分数定义内涵的不断扩展，在没有前提条件要求下，对于图中阴影部分的有不同的表述，不仅是正常的，更是人们数学思维发展的方向。

五、解决问题上的以点代面

胡文提出为什么可以把整个工程看作“1”的问题，认为确定单位“1”不是重要的，重要的是“选单位”。这种观点有一定的道理，但也存在一些不符合教学实际的情况。

首先，小学数学教育面对的是一群心智水平处在发育阶段的未成年人，而根据人们认识事物的一般规律，我们总是从特殊现象中发现规律，再运用发现的规律来认识普遍现象。把一些工程看作单位“1”，就是人们在长期的学习实践中总结出的规律，借助它可以简洁、明了地用算术语言表达出自己思想，由于它特殊，简单，因而，成为了一种很好地学习工具，适合儿童运用。

其次，为什么只选单位“1”，而不选单位“2”甚至其他数呢？其实，这也是长期实践总结的结果，由于单位“1”的数字特殊，简单，便于计算，所以，人们都喜欢用它。至于能不能用其他数？答案当然是肯定的，当然可以使用任何一个数来表示，只要你不怕麻烦。同时，随着学习的不断深入，面对一些特殊的题型，需要学生根据需要选用一些特殊的数来充当单位“1”。

再次，“选单位”与单位“1”是互为统一的一个整体，“选单位”是一种隐性的数学思考，单位“1”是一种显性的数学表达，这两者不仅不矛盾，而且互相支持。胡文中所举“园林规划图”与“分财产”的例子，就是根据分数比的定义，根据解题的需要，确定其中某一部分量为标准——单位“1”，其他的量再与它进行比较，从中找出不同量之间的关系，从而，最终确定相关量的大小。

综上所述，我们不难发现，小学阶段的分数教学，首先要明确分数定义的具体内涵，明确不同阶段对分数定义的不同要求，实施有针对性的教学措施，这样，才有可以确保分数教学的科学性。

那些大而统之，不按照小学生心智发展的特点，一味强调所谓的科学性的教学，不仅不能让学生逐步掌握分数的本质内涵，更容易把教师的教学引上歧途。

主要参考文献：

①“分数定义”，2010年第1期《小学教学（数学）》第48页，作者：张奠宙；

②“国小高年级学童分数概念量表之设计研究”讲座PPT，作者：吕玉琴、詹婉华；

③ 维基百科网站

注：本文已发表在2010年第9期《中小学数学（小学版）》