说课课题：曲线与方程的概念
使用教材：人教版中等职业教育国家规划教材（提高版）
课时：1课时
一、教学设计理念
1.通过情境领悟，激活原知，引领学生在数学活动中探究知识的整合重构。
2.师生互动，力求在思维的碰撞中使学生对问题的认识走向合理与成熟。
3.积极关注学生情感体验，为学生个性发展提供平台。
二、教材分析
（一）教材的地位与作用
1.从知识体系方面说，曲线与方程的概念是解析几何的基本概念，解析几何的两个基本问题：建立曲线方程和利用曲线方程研究曲线的性质，都是以这个概念为基础的。
2.从能力形成方面说，由于学生在前面学习了直线与直线方程，对直线与直线方程的关系有了初步的认识，本节曲线与方程概念的学习，有助于提升学生的认知迁移能力、逻辑思维能力和合情推理能力，确立“数形结合”“运动变化”“等价转换”思想。
（二）教学重点
用集合、对应、变量的观点，阐述曲线上点集与方程解集的一一对应关系，探究构建“曲线与方程”的概念。
（三）教学难点
1.理解“曲线的方程”与“方程的曲线”定义下的曲线C 与方程F（x,y)=0的两个关系。
2.领会并内化“曲线C 的方程是F(x,y)=0”中存在的一个等价关系，即若曲线C 的方程是F（x,y)=0，则点P（x,y)在曲线C上
点P的坐标（x,y)满足方程F（x,y)=0。
三、教学目标
（一）知识目标
理解曲线上点与方程解之间的一一对应关系，构建“曲线的方程”与“方程的曲线”概念，从而为求曲线的方程奠定理论基础。
（二）能力目标
在构建曲线和方程概念的过程中，培养学生分析、判断、归纳的逻辑思维能力、知识迁移能力、合情推理能力，同时强化“形”与“数”结合并相互转化的思想方法。
（三）情感目标
在任务驱动下探究学习，获得知识的迁移重构，让主体形成良好的学习习惯，建立积极的数学学习情感体验。
四、教法与学法
1.本节属于概念教学，可采用以语言传递信息、分析概念的讲授法。
2.为充分调动学生的感官，节省时间，提高效率，可辅以多媒体技术的演示法。
3.为获得定义，采用通过例子揭示内涵、分析归纳、构建概念的讨论法。
4.用举反例的方法来突破难点，引导学生对概念表述的严密性进行探索的探究教学法。
五、教学程序
（一）任务驱动，引出课题
1.若直线l的方程为Ax+By+C=0，那么直线上的点与直线方程的解具有什么样的关系？
2.平面上的曲线可以看成动点按某种规律运动而成的轨迹，比如平面上一动点到一定点保持等距离运动而形成的轨迹是圆。试问：这样的圆是否也能得到其相应的方程？任意给定一条曲线C呢？
（二）运用例子，揭示内涵
例1 下列方程中哪个表示如图1所示的直线l，为什么？
(1) x-y=0
(2) 
(3) x2-y2=0
(4) |x|-y=0
图1
该题供学生思考、口答。方程（1）是表示直线l的方程，而（2）（3）（4）都不是表示直线l的方程。
（2）中直线上的点的坐标不全是方程的解，如（-1，-1）等，即不符合“直线上的点的坐标都是方程的解”这一结论。
（3）中虽然“直线l上的点的坐标都是方程的解“，但以方程x2-y2=0的解为坐标的点不全在直线l上，如点（2，-2）等，即不符合“以方程的解为坐标的点都在直线上”这一结论。
（4）中类似（2）（3）得出不符合“直线上的点的坐标都是方程的解”，“以方程的解为坐标的点都在直线上”。事实上，（2）（3）（4）中各方程表示的图形应该是图2～4的三种情况。
图2
图3
图4
通过观察、分析以上方程与图形，学生既接触了方程能完整严密地表示直线的例子，又遭遇了方程与直线不能一一对应的情况：以方程的解为坐标的点不全在直线上或直线上点的坐标不一定满足方程。这时学生已经具备了理解方程（1）这种能完整地表示直线的方程称为“直线的方程”的特质的认知心理，若趁热打铁，把直线方程问题及时迁移到曲线方程，有利于让学生形成“最近发展区”。
（三）合情推理，获得定义
有了直线方程的经验，给出曲线方程的定义似乎呼之欲出，但是基于概念的严谨性，切不可掉以轻心。因此，必须给学生充分的讨论时间与空间（一论二究三定义）。
让学生讨论：在给曲线方程下定义时，针对例1中（2）“直线上有的点的坐标不是方程的解”以及（3）“以方程的解为坐标的点不都在直线上”的情况，对曲线的方程应做何规定，或者说我们应该寻求怎样的语言表述概念才不失概念的严谨性。
有前车之鉴，我们可以对“曲线的方程”和“方程的曲线”这样下定义：在直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程F（x,y)=0的实数解建立了如下关系：
（1）曲线上的点的坐标都是这个方程的解；
（2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点。
那么，这条曲线C叫做方程F（x,y)=0的曲线；这个方程F（x,y)=0叫做曲线C的方程。
（四）变换表达，强化理解
点动成线，曲线也可以看作是由具有某种规律的点组成的集合，记作C；一个二元方程的解可以作为点的坐标，因而二元方程的解也描述了一个点集，记作F。此时可以引导学生思考：如何用点集C和点集F间的关系来表达“曲线的方程”和“方程的曲线”定义中的两个关系，进而重新表述以上定义呢？关系（1）指点集C是点集F的子集，关系（2）指点集F是点集C的子集。这样根据集合的性质，可以用集合相等的概念来定义“曲线的方程”与“方程的曲线”，这就是说：
若曲线C的方程是F（x,y)=0,那么P（x,y)∈C←→F(x,y)=0，即曲线C是这样的点集：
C={P(x,y)|F(x,y)=0}。
（五）初步运用，巩固提高
例2（1）判断点M1（3，-4），M2（-2
，2）是否在方程x2+y2=25表示的曲线上。
（2）用曲线方程的定义说明以坐标原点为圆心、半径等于5的圆的方程是x2+y2=25。
分析：问题（1）训练学生理解并掌握点在曲线上的本质是点的坐标满足曲线方程，使知识转化为技能。
问题（2）要求用定义说明一个方程是一条曲线的方程，既要说明曲线上的任意一点的坐标满足方程，又要说明以方程的解为坐标的点都在曲线上。因此我们需要寻找合理可行的解答方案，题目给出后，最好引导学生讨论解答，把理由讨论清楚的过程就是理解曲线与方程概念的过程。
值得说明的是，虽然课本选用对应观点下的曲线与方程定义进行解答，但是，我们更要给予学生展示个性的空间。一方面，尊重学生的经验，预测学生在问题解决中可能出现的困惑；另一方面，尊重学生的选择，使各种观点下曲线与方程的定义都有用武之地。
（六）小结归纳
本次课通过对实例的研究，构建了“曲线的方程”“方程的曲线”的定义。在领会定义时，要牢记关系（1）（2）两者缺一不可，它们都是“曲线的方程”和“方程的曲线”的必要条件。两者满足了，“曲线的方程”和“方程的曲线”才具备完备性。只有符合关系（1）（2），才能将曲线的研究转化为方程来研究，即几何问题的研究转化为代数问题。这种“以数论形”的思想是解析几何的基本思想和基本方法──解析法。
如果说，教学程序的任务驱动是一个目标展示，那么课堂小结归纳是一个目标回扣。根据Melton教学目标有效性的研究，目标展示与目标回扣相结合效果最佳。因此，课堂小结不可或缺。
（七）布置作业：第29页A3、B2。
（八）板书设计（略）
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