2003年，我接受了学校课题的子课题──“数学建模能力培养对学生发展的作用”的研究，经过两年时间艰苦的实践，研究工作有了一定的进展，下面做阶段性的总结。

 

一、数学建模的一般原理与数学建模教学的必要性

 

（一）数学建模的概念与原理

 

所谓“数学建模”，指的是当人们面对一个实际情境问题时，经过一番必要的而且合理的假设和简化，变成现实的模型，从而提出问题；然后，翻译成数学模型，再恰当地运用数学方法和计算工具，求得数学模型的解；最后将求得的结果与实际情况相检验，若不符合实际，则再加以修改假设，重新提出问题，直到求得的数学结果合乎实际。其基本程序如下：

 

 

 

解题步骤是：

 

（1）阅读审题：简缩问题，理解关键句，处理数据，寻找数量关系；

 

（2）建模：将问题简单化、符号化，建立数学关系式；

 

（3）合理求解纯数学问题；

 

（4）解释并回答实际问题。

 

（二）数学建模教学的必要性

 

“数学是模式的科学”，学习数学必须具有建模的能力，通过学建模而学习数学，乃是一种返璞归真的学习方法。《普通高中数学课程标准（实验）》^①明确将数学建模纳入了课程内容。数学建模作为一种教学活动的主要目的是体会数学的应用价值，培养学生的数学应用意识，增强数学学习兴趣，学会团结合作，提高分析和解决问题的能力。^[1]

 

通过教学实践，让学生掌握数学建模的方法，可以使他们了解数学知识的发生过程，从而发展数学创造能力，为将来的工作打下坚实的基础。

 

二、数学建模的教学尝试

 

（一）数学建模的尝试

 

第一学期，我在数学兴趣小组进行尝试，有意识地选拔了一部分基础较好、对数学有兴趣的学生，把他们分成几个小组，以小组为单位，在课外活动中实行。

 

记得刚开始上第一节课时，我提出了一个常见的生活案例：穿高跟鞋真的使人觉得更美吗？为什么女士们多数喜欢穿高跟鞋？试从数学的角度分析。

 

学生很奇怪：这跟数学也有关？他们精神集中，默默思考，同样习惯地等待着老师的答案。因为是刚开始，所以我还是帮学生复习黄金分割的概念，然后让学生在人身上，找出最佳的黄金分割点，当然肚脐是理想的黄金分割点。换言之，若此比值愈接近0.618，就愈给别人一种美的感觉，很可惜，一般人由脚底至肚脐的长度与身高比都低于此数值，大约只有0.58至0.60（腿长的人会有较高的比值）。

 

假设某女士由脚底至肚脐的长度x与身高h的比为0.60，即x∶h=0.60，若穿的高跟鞋的高度为d，则新比值为：（x+d）∶(h+d)。

 

如果该女士身高为1.60米，则下表显示出高跟鞋怎样改变了以上的比值：

 

 

由此可见，女士们穿高跟鞋使她们觉得更美是有数学根据的。

 

学生接触这道题以后，发现数学对他们有了别样的吸引力，并不如想象中困难。我于是趁热打铁，问学生还想不想知道更多的数学与生活有联系的题目。学生当然是跃跃欲试，想自己解决有关的题目。于是，我出了另一个与学生密切联系的问题：

 

《中华人民共和国个人所得税法》规定，公民月工资、薪金所得不超过800元的部分不必纳税，超过800元部分为全月应纳税所得额，此项税款按下表分段累计计算：

 

 

①如果你的母亲月工资收入是1 250元，应纳税多少元？

 

②某人三月份缴纳此项税款26.78元，他当月工资、薪金是多少元？

 

③假设某人月工资、薪金x元，所缴此项税款为f(x)，写出f(x)与x之间的函数关系式。

 

④试计算你的父亲当月工资应缴税款多少元。

 

⑤利用电脑为税务部门编制一套计算机程序，用于个人所得税（这是针对我们学校的电脑设备和电脑教学较为先进而提出的）。

 

学生兴趣很浓，课堂气氛活跃，可以用学到的数学为父母算工资收入和缴纳的税款了啦！他们觉得好自豪，也很认真思考，以求独立完成这个问题。

 

后来，针对课外活动小组个别学生家里存钱和旅游的生活实际，我出了几道比较简单的与他们紧密联系的题目让他们初步尝试：

 

（1）某家长于1998年2月23日存入1万元，5年期存本取息，每月所得利息银行代为零存整取，月利率均为1.02%。这位家长于2003年3月23日去银行取款，本息和应为多少？^[2]

 

（2）某单位用分期付款的方式为职工购买40套住房，共需1 150万元，购买当天先付150万元，以后每月这一天都交付50万元，并加付欠款利息，月利率为0.1%。若交付150万元后的第一个月开始算分期付款的第一个月，问：分期付款的第10个月应付多少钱？全部货款付清后，买这40套住房实际花了多少钱？

 

（3）一家庭（父母和孩子们）去某地旅游，甲旅行社说：“如果父亲买全票一张，其余人可享受半票优待”；乙旅行社说：“家庭旅行算集体票，按的原价优惠”。这两家旅行社的原价是一样的，试就家庭里不同的孩子数，分别计算两家旅行社的收费情况（建立表达式），并讨论哪家旅行社更优惠。

 

学生每接到题目，都愿意思考、动手做，还比赛哪个小组做得快，哪个小组的设计方案最佳。积极性调动起来了。不过，每次我都没有要求他们当堂完成，而是给他们充裕的时间，允许他们回家继续思考，反复修改比较，直到拿出自己认为最佳的方案。

 

第二学期，我也试着在个别课程时间较松的课后留一道有关数学建模的题目让学生思考，几个星期后才分析答案。两年来给的题目比较零散，也比较简单（从照顾学生的水平考虑），大概有：收入增长、分期付款、抽奖几率、体育比赛、最佳效益、设计美观等学生较关注并感兴趣的应用问题。这些素材来自生活，学生可运用学过的知识分析问题，构建数学模型，探究解题的途径。

 

期末回收学生小结，发现40%的学生对数学建模很感兴趣，50%的学生对数学建模比较感兴趣，并不同程度地促进了他们对数学及其他课程的学习。有的学生说：“我从来都不知道数学原来可以这样用，以为学数学是为了考试”；有的学生说：“数学建模使我深切地感受到数学与实际的联系，感受到数学问题的广泛，使我们对学习数学的重要性理解得更为深刻，也使我们更加重视实际应用”。的确，数学建模把课堂上的数学知识延伸到实际生活中，呈现给学生一个五彩缤纷的数学世界。数学建模问题贴近生活，有较强的趣味性，应用性较强，学生容易对其产生兴趣，这种兴趣又能激发学生更努力地学习数学。本届我所教的学生经过两年数学建模的训练，效果很明显，今年职三年级在升大学分流的考试中，绝大多数学生的成绩都排在全级的前面，且最高分都在我班。

 

成绩如下：

 

 

（二）数学建模的优越性

 

1.数学建模可以激发学生的创造欲望，促进人的全面发展

 

通过两年数学建模的训练，有65.67%的学生认为数学建模能够激发他们的创造欲望。有的学生说：“平时做习题，由于受到知识的限制比较多，不易发挥创造性，而数学建模问题灵活性强，能够开发我们的智力”；有的学生说：“数学建模往往一个问题有很多种思路，假设不同，得到的数学模型也不同，可谓‘条条大路通罗马’”。我曾问学生：装啤酒的易拉罐为什么要做成目前这个样子？学生就从用料、美观、安全、黄金分割、方便携带等各方面去分析探究，虽然答案不一，但具有创新性。其实我们的学生并不缺乏创造力，而是我们的数学教育没有为他们提供充分展示创造力的机会和空间，数学建模教学恰恰可以弥补以往数学教学的不足，为中学生提供展示其创造才华的机会。数学建模过程的多样性、灵活性和多层次性可以触发不同水平的学生在不同层次上的创造性，使他们有各自的收获和成功的体验。^[3]

 

数学建模综合性程度高，它不仅要求学生掌握有关的数学知识，还要求有一定的相关学科知识和相应的社会实践能力、良好的意志品质等。通过数学建模，学生各方面的素质都提高了。现在大学，因为没有中考、高考的指挥棒，各级数学建模竞赛都在轰轰烈烈地展开，全国大学生数学建模竞赛一般以3人为一个竞赛小组，这也加强了学生的合作精神。

 

2.数学建模符合“教师为主导，学生为主体”的教学理念

 

数学建模教学与其他教学方式相比，具有更强的问题性、实践性、参与性与开放性，它能使学生处于一种类似于学术研究的情境中，通过自主、独立地发现问题、实验、操作、收集与处理信息、表达与交流等探索活动，获得知识、技能、情感态度的发展，特别是探索精神和创新能力的发展。

 

我校对面有一间面包店，听卖面包的伙计说：面包有时不够卖，有时又卖不完，而面包又不能隔天存放，如果当天没人要，就会赔钱。我让学生利用数学统计的方法，到面包店做了一个月调查，把一个月面包店进货与出货的数量做记录，并把记录的数据进行统计分析，然后拿出一个进货的方案。一个月后，面包店按学生所做的方案进货，问题得到了解决。这样，学生不但体验了数学源于生活，用于生活，而且感受了自己可以自主、独立地解决实际问题的成功喜悦。这种通过学生自己实验操作、收集处理数据，解决生活实际问题的方法，符合“教师为主导，学生为主体”的教学理念。

 

（三）数学建模在实际操作上的一些困难

 

数学建模在实际操作上的困难主要有以下两点。

 

首先是来自教师的问题。目前我国教师的数学观主要是静止的、绝对主义的数学观，他们更多地把数学看成是与逻辑有关的、具有严谨体系的，关于图形和数量关系的精确运算的学科，导致学生体会到的数学乃是一堆法则的集合，看不到或很少看到活生生的数学问题。因此必须加强教师数学观念的教育，帮助教师形成现代数学观。

 

其次是学生的问题。由于数学建模对学生各方面素质要求较高，所以高中（职中）阶段学生数学建模能力的培养亟待加强。人们常见的数学应用题往往条件不多不少、清楚准确，结论唯一确定，原始问题数学化的过程简单明了，解出的结论也很少需要学生思考是否符合实际、是否需要进一步调整和修改已有的模型。而这些正是数学建模过程的“重头戏”。数学建模问题常常是非数学领域中的问题，数学建模过程更加突出地表现为对原始问题的分析、假设、抽象的数学加工过程，数学工具、方法、模型的选择和使用过程，模型的求解、验证、再分析、修改假设、再求解的迭代过程，等等，这些对学生在各方面的能力要求较高，学生在仔细研读问题材料的同时，必须进行紧张的思维活动，参与集体的交流，而这些都是学生的弱点，尤其是职中生的难点。职中生在数学建模过程中普遍感到“繁”，不知用什么来解答，对数据的感悟能力比较差，缺少数学建模意识。部分学生还对数学建模产生恐惧心理，产生一种外在压力，现阶段数学建模活动实际操作起来较困难。^[4]

 

不过，从数学建模教学活动中，我们可以领略到数学教育改革的必要性，数学建模在教学中的实施势在必行，而要在数学建模教学方面取得突破还需做艰辛、长期的努力，现在职中学习数学建模只是学非常简单的问题，应该说是处于较低级的阶段。

 

三、数学建模的评价方式探讨

 

数学建模评价学生的方式是鼓励与赞赏，代替了传统教学以成绩为唯一标准的方式，对学生进行多元化评价。

 

现实生活中的许多问题并不存在唯一正确的答案，甚至没有最佳答案。数学建模着重于学生探究的过程，因而评价学生的方式不再以最后结果的对错作为个人成绩评定的标准。它采用了教师鼓励与赞赏的方式。在评价过程中，教师与学生一起，学生在建模过程中有机会接触多个教学目标，涉及多个学习水平，教师对学生学习情况进行记录，以评价学生解决问题的策略和水平，也让学生在评价别人的方案时作出比较，进而做到再完善，再提高。

 

例两个赌徒向法国数学家巴斯卡尔提出这样一个问题：两个下赌金之后，约定谁先赢满5局，谁就获得全部赌金。赌了半天，当甲赢了4局 ，乙赢了3局的时候，时间已经很晚了，他们都不想再赌下去了，那么这个钱应该怎么分？

 

方案A：甲乙应该按1∶1分享赌金；

 

方案B：甲乙应该按2∶1分享赌金；

 

方案C：甲乙应该按3∶1分享赌金；

 

方案D：甲乙应该按4∶3分享赌金；

 

方案E：若你认为以上方案都不合理，请提出其他方案。

 

（选自《走进科学》2002年第9期）

 

分析：按甲乙两人最后获胜的可能性大小（概率）分配赌金。

 

针对这个问题，学生把每个方案所有可能发生的情况都做了假设、思考。这个题目，每个学生都可以做。这个问题反而给了平时学习成绩不大好的学生表现的机会，他们对解决这类问题反而挺在行，设计出来的结果也相对合理。得到教师及时的鼓励与赞赏后，他们的心里得到了很大的满足。

 

这种评价方式能激发学生探索知识的兴趣。从教学经验看，平时学习成绩不好的学生设计出来的有些方案往往比成绩好的学生设计的方案更加认真，更有创意，效果更好，对他们及时的表扬，比花时间说教更能增强他们的学习信心。

 

四、开展数学建模活动的建议

 

全国好多大城市都在全面推广数学建模教学活动，但多数在高中推广，而职中只有极少数教师在自己的教学过程中进行零散的探索，缺乏组织性和系统性。职中的数学建模教学是较为落后的。笔者提出如下建议。

 

1.培养学生的数学建模能力，首先要求教师本身具有数学建模能力，否则无法组织学生的数学建模活动。因此，应该对职中数学教师进行数学建模培训，帮助他们树立数学建模的意识，掌握数学建模的知识、方法和教学形式，使他们能够最大限度地利用学校资源开展数学建模活动。^[5]因为是初次接触数学建模，本人在实际操作中遇到了很大的困难，花费了很大的心思和时间，虽然有一定的收获，但事倍功半，非常希望能得到这方面专家的指导，提高自己在这方面的能力。

 

2.定期举办“数学知识应用竞赛”，把数学建模与专业课联系起来，以促进数学建模教学的发展，更好地为专业课服务。

 

3.在各类教育教学刊物上开辟“数学建模栏目”，征集优秀的数学建模活动方案，为广大师生开展数学建模活动提供展示成果的空间，同时也为开展数学建模活动提供可行的范例。

 

①本刊中简称为高中课程标准。如不区分义教课程标准和高中课程标准，则统称为课程标准。

 

参考文献：

 

[1]王工一.数学建模与现代数学教育理念［J］.中学教研（数学），2003,（8）：37.

 

[2]汤炳兴，叶红.把学生带回到现实中去［J］.数学通报，2002,（6）：32.

 

[3]张思明.中学数学建模的实践与探索.北京：北京教育出版社，1998，（9）.

 

[4]连文刚.数学建模与学生数学观念的现代化［J］.中学教研（数学），2003，（12）：39.

 

[5]王媛，苏帆.中法两国中学数学教育内容差异之管窥［J］.中学教研（数学），2004，（5）：1.