作为学校中的一门重要学科，数学教学应当遵循学校教育的一般规律。但是，数学教学又必须反映数学学科的特殊性，也就是说，在数学教学中，对于“怎么教”这个问题应该有反映数学自身特点的回答。
现代数学教学的基本特征是要确立和尊重学生的主体地位，强调发挥学生的主动性，引导学生通过自己的活动来获取知识，从而达到培养能力、发展智力的目的，使教学促进学生全面、和谐地发展。但是，由于学生处在身心发展阶段，他们的数学知识水平不高，认识能力不强，对数学学习的规律也掌握得不够，学习中的自我调节、自我控制能力也比较弱，因此，教学中学生主体作用的发挥并不能成为学生自己的自觉行动，而更多地需要通过教师切实有效的诱导启发。下面我们根据数学接受学习的基本要求，谈谈在数学中实施接受学习的教学时应该注意的几个关键问题。
（一）帮助学生构建良好的数学认知结构
从认知角度而言，数学教学的中心任务就是要促进学生良好的数学认知结构的形成，使之具备不断吸收新数学知识的能力和知识的自我更新能力。我们在学习过程中可以充分体会到，认识了的知识需要加以组织整理，存贮在记忆中，才能有效地加以利用。正如布鲁纳所言，获得的知识如果没有完满的结构把它联系在一起，那是一种多半会被遗忘的知识。一串不连贯的论据在记忆中仅有短促得可怜的寿命。因此，从这个意义上来说，数学教师的首要任务应该是帮助学生创造一个良好的数学认知结构，而不是仅仅传播一些数学的概念和知识。这就好像我们让孩子去学游泳，重要的是应该给他提供一个适宜的场所，而不是急着在他身边灌上水。有了好的场所，水自然就会有的。
根据奥苏伯尔的观点，良好的认知结构应该具有三个特征：（1）可利用性，当学生面对新的学习时，他的认知结构中具有适当的、能够起固定作用的观念可以利用；（2）可辨别性，当已有的认知结构同化新知识时，新旧观念的区别和联系可以清晰地辨别；（3）稳定性，已有的起固定作用的观念在认知结构中是牢固稳定的。由于学生的认知结构是由数学知识结构“内化”而来的，因此，塑造良好的数学认知结构的“物质基础”就是有效的数学知识结构。
教师在组织数学知识结构时应该注意以下几个方面。
1.重视揭示数学知识的本质特征及内在的逻辑联系，使知识具有整体性和系统性
我们知道，学生的数学学习过程是以已有的数学认知结构为基础、通过同化或顺应把新知识纳入到自己头脑中的数学认知结构中去的过程。在这一过程中必须使新的数学知识与已有的数学认知结构中的有关观念建立起非人为的和实质性的联系，也就是要使学生真正理解数学知识的本质特征，掌握数学知识的内在逻辑联系性，从而使学得的知识具有整体性和系统性。当前的数学教学中存在着学生能够背诵数学定义、定理、法则、公式，能在熟悉的情境中应用相应的知识，但灵活、综合应用知识的能力不强，存在着只要问题背景稍有变化、学生就会感到束手无策的情况，究其原因就是学生还没有理解数学知识的本质特征和知识之间的内在联系性，因而就不懂得不同的术语实际上代表了本质上相同的概念，也看不清有关的课题或隐蔽的重要特征之间的共性，同样也不能区分相似概念之间的差异性，把不同概念当成相同概念来掌握。因此，启发式数学教学中，教师必须重视揭示数学知识的本质特征及其内在的逻辑联系，使知识具有整体性和系统性。
2.以基本概念、基本原理为核心，“螺旋式”地安排知识，使学生能够反复地接触重要的基本概念和基本原理
布鲁纳指出，用基本的、一般的观念来不断扩大和加深知识应当成为教育过程的核心。一个人学到的观念越基本，越接近定义，则这些观念对新问题的适用性就越宽广。因此，一门课程在它的教学过程中，应反复地回到这些基本观念，以这些基本观念为基础，直至学生掌握了与这些观念相适应的完全形式的体系。所以数学的基本概念、基本原理应当成为数学知识的核心。“螺旋式”地安排知识结构，是因为学生在数学学习过程中，对基本概念、基本原理的理解和掌握是一个从感性到理性、从具体到抽象、从模糊到清晰的逐渐过渡的过程，这种理解不可能一次完成，需要不断地在新的高度上进行理解，并逐渐地把这种理解推向深入。
值得指出的是，新的教学内容中所包含的基本原理在很多情况下是比较隐蔽的，学生自己一般不太容易发现，因此需要教师有意识地引导学生进行认识。这种引导可以在把特殊问题赋予一般意义的过程中进行，也可以在从一般原理的高度来认识新问题的过程中完成（实际上是认识的两个基本过程，即从特殊到一般和从一般到特殊）。因此，在数学接受学习的教学中，教师应当时刻注意引导学生从一般原理的高度去认识新知识（根据特殊问题推论一般原理），要引导学生找出新旧知识在一般原理上的一致性，指导学生将具体知识归纳为一般原理，使知识具有广泛的迁移性。
3.置数学的观念、思想和方法于数学知识结构的中心地位
数学观念、思想和方法是数学科学的重要组成成分，是数学科学的“灵魂”，在促进学生的发展中具有决定性作用。（1）数学观念、思想和方法是学生获得数学知识的主观手段，学生掌握了它们便能更加透彻地理解数学知识，并能自我生成数学知识；（2）数学思想和方法作为思维方式和行为方式，具有很大的智力价值，学生一旦把它们内化为自己的思维和行为方式，就能获得智力发展；（3）数学观念、思想和方法的学习是培养学生的创造精神和创造力的有效途径。
4.应有意识地设置问题情境，以帮助学生从旧的认知平衡状态过渡到新的更高的平衡状态
所谓问题情境，是指一种具有一定困难、需要学生努力克服，而又是力所能及的学习情境。教学实践表明，只有那些与学生最近发展区相适应的问题情境，才具有强大的吸引力，才能激发学生数学学习的兴趣。任务的难度是形成问题情境的重要因素之一。不需经过努力就能完成的任务，或经过再大努力也不能完成的任务，都不能引起学生的兴趣。只有那些“半生不熟”“似懂非懂”“似会非会”的内容，才能引起学生的兴趣并迫切希望掌握之。所以，问题情境的形成表明了学习任务与学生数学认知结构之间的一种特定关系：既适应又不适应。完全适应或完全不适应的状态都不构成问题情境。
问题情境的创设，首先需要教师准确把握教学要求，熟悉教学内容，掌握教材结构，把握新旧数学知识间的内在联系；其次要求教师充分了解学生，了解学生已有数学认知结构和智能发展状况。在此基础上，按照数学知识发展的逻辑顺序、学生数学思维规律，从已知到未知、由现象到本质、由简单到复杂、由容易到困难地安排内容。
（二）全面、准确地把握学生现有的数学认知结构
教师开展有针对性教学的一个重要前提就是要了解学生已经知道了什么。全面准确地把握学生现有的数学认知结构，是进行有效的数学接受学习的出发点。
认知心理学研究发现，知识的学习过程是以文字或其他符号表征的意义与个体已有认知结构中的相关观念（包括表象、概念和命题等）相联系，并产生相互作用后转化为个体意义的过程。由于学生的认知结构各不相同，因此，不同学生对于同样的知识理解的深度和广度都是不一样的。因此，教学的成功与否，就在于教师如何利用各种手段，将知识的传授与学生已有的认知结构更好地结合。
那么，对于教师而言，应该从哪些方面来了解学生已有的数学认知结构呢？
1.了解学生现有的数学认知结构中是否具有足够的、学习新材料所需要的相关观念
教师首先要了解学生现有的数学认知结构中是否具有足够的、学习新材料所需要的相关观念，没有的要补充，学过但可能遗忘的要复习。值得注意的是，教师应该重视了解学生习得的日常概念和非正规学习的概念，因为学生往往利用这些概念来理解新概念。例如，学习“垂直”这一概念，由于受“与地面垂直”这一日常概念的影响，学生往往认为“
”是垂直关系，而“
”与“
”都不是垂直关系。日常概念和非正规学习概念与教学内容一致时可以利用，不一致时就应该纠正。
2.了解学生是否具备有关的操作方式
操作方式不具备，或者只有一些不能建立起相互联系的数学知识要素，也不能用来同化新知识。因此，教师在检查学生的认知结构时，最好采用“……为什么”的问题来提问（或通过解答有关数学题），而不要用“……是什么”或“什么叫……”之类的方式提问。
3.分析新材料与已有数学认知结构中相关观念间的关系
分析新材料与已有数学认知结构中相关观念间的关系是非常重要的。因为关系不同，其同化模式也不同，而教师必须根据不同的同化模式采取不同的教学策略。按照奥苏伯尔的观点，这两者的关系主要有以下三种。
（1）下位关系。当新学习的知识从属于学生数学认知结构中已有的、包含较广的知识时，构成下位关系。下位关系又可以分为派生下位关系和相关下位关系。
派生下位关系是指新的知识仅仅是学生已有、包含较广的知识的一个例证，或是能从已有命题中直接派生出来。相应于派生下位关系，出现派生下位学习，其一般模式如图10－1。
图10－1派生下位学习模式
其中，a1，a2，a3，…表示已有知识，a4表示要学习的新知识。例如，当学生学习了“不在同一直线上的三个点确定一个平面”这一公理以后，接着学习“两个相交直线确定一个平面”“一条直线和直线外的一个点确定一个平面”“两条平行直线确定一个平面”三条推论，就属于派生下位学习。这些推论可以直接从公理和学生已有的知识中派生而来，因此，学习起来就会比较容易。
在派生下位关系知识的教学中，教学目的是使学生获得a4。从认知因素看，学习的内部条件是学生已经具备同化a4的上位观念A（A是概括a1，a2，a3，…以后获得的），并且A本身是牢固而清晰的。在派生下位学习中，要学习的新规则整合到原有认知结构的有关内容中去，新规则对原有知识只起支持或证实的作用，新规则通过新旧内容的相互作用而获得意义，原有认知结构不发生质的变化。如学生学习圆柱体的体积计算方法，由于他们在前面学习长方体的体积计算方法中已经知道了长方体的体积等于底面积乘高，并且掌握了其计算公式V＝sh，所以学习时就可以将它作为前面已有计算方法的一种特例，通过派生下位学习的形式加以掌握。
相关下位学习是指将要学习的新规则整合到原有认知结构中的有关内容中去，新旧内容整合的结果不但使新规则获得意义，并且原有认知结构被扩充或修改，使原有认知结构发生变化。如梯形面积计算公式虽然不能直接由平行四边形面积计算公式派生出来，但是它可以通过割补、拼合转化成平行四边形，从而得出其面积计算公式S＝（a＋b）h÷2。很明显，梯形面积计算方法就可以通过相关下位学习的形式去掌握。
（2）上位关系。当要学习的新知识比已有知识的概括程度更高、包容范围更广，可以把一系列已有知识包容其中时，新旧知识之间便构成了一种上位关系。而通过对原有认知结构中有关内容的归纳和综合，概括成新的数学规则的学习形式叫做上位学习。其一般模式如图10－2所示。其中，a1，a2，a3，…分别表示下位观念，可以是一个类别或一条原理的具体例子。虚线上方的字母A表示上位观念，可以是一个概念、一条原理或一个公式等。左边的字母A表示外部条件，可以是书本上的结论或教师的概括。
图10－2上位学习模式
例如，根据长方体的体积计算公式V＝abh、正方体的体积计算公式V＝a3、圆柱的体积计算公式V＝πr2h等概括出计算公式V＝Sh的学习过程，就属于上位学习。上位学习所采用的思维方法主要是概括与综合，由于它主要通过归纳和综合原有认知结构中的有关内容而建立新的认知结构，因此上位学习必须具备两个基本条件：一是所学习的数学规则在概括层次上一定要高于原有认知结构中的已有知识；二是原有认知结构中一定要有可供归纳和概括的内容，即头脑里必须具有比新的数学规则层次低的相关内容。如要概括加法交换律a＋b＝b＋a时，学生头脑里必须有3＋5＝5＋3，25＋75＝75＋25，500＋400＝400＋500……可供概括的内容。
在小学数学学习中，上位学习有着非常广泛的运用，概括运算定律和运算性质、总结运算法则、建立概括层次较高的计算公式通常都要采用上位学习。由于小学数学教材在内容安排上反映为一种连续扩充和深化的过程，因此某些知识体系要通过多次的上位学习过程才能获得。如整数乘法的计算方法中，乘数是一位数的乘法法则是表内乘法的扩充，乘数是两位数的乘法法则是乘数是一位数乘法法则的扩充。
从学习的认知方式来看，下位学习依靠的是同化，上位学习依靠的是顺应，它要通过改造原有认知结构才能获得新规则的意义，因此一般来讲，上位学习比下位学习困难。
（3）并列结合关系。如果新旧知识之间既不产生下位关系，又不产生上位关系，但新知识是由已有认知结构中某些观念的合理组合而构成的，那么新旧知识之间会产生并列组合关系。这时的学习称为并列结合学习。其一般模式如图10－3所示。其中，A表示新知识，B、C、D表示学生认知结构中已有的知识。例如，数学中数与形之间的关系，一般数学思想方法与具体问题的解决，就常常表现为并列结合关系。通过并列结合学习，学生能够从貌似无关的两个事物中发现它们某些共同的关键特征，从而获得对知识的一种全新理解，有时甚至能开辟一个新的研究领域。因此，并列结合学习需要学生有较强的创造力。
图10－3并列结合学习模式
（三）提高学生数学接受学习的主动性
在开展接受学习的教学过程中，不少一线的教师常常有类似的困惑：我明明把概念、定义、方法都讲得很清楚，层次也很合理，同时也是学生认知结构所能容纳的，那么，为什么在许多情况下，我的教学还会不成功呢？我们认为，一个主要的原因就在于没有调动起学生学习的主动性。
接受学习由于其固有的教学方式的单向性，导致不少教师在教学过程中预设太多，以教为中心。以教师为中心，教师就极易绝对化处理——把学习书本知识直接变成让学生接受、记忆书本知识。长此以往，学生学习的主动性越来越丧失，学生越学越不爱学，越来越不会学，完全跟教师走，一旦“掉队”，学生就有可能成为“学困生”而不能自拔。
接受学习虽然在新课改中没有被人们特别“垂青”，但毋庸置疑，今后在我们的课堂中还将大量存在，在推进素质教育实施和基础教育改革的背景下，我们要深刻领会学习方式转变的含义，用新课程理念来改造接受学习，注入新内涵，提升其品质。
提升接受学习的品质，关键是提高学生在接受学习中的学习主动性。主动性是现代学习方式的首要特征。激发学生的学习动机和兴趣，让学生对学习活动产生内在的需要，是提高接受学习品质和效率的根本。一旦他对学习活动本身充满激情和好奇，那么这种体验就是积极愉快的，而不是一种负担，也就是说，如果学生对学习活动本身或结果产生了浓厚的兴趣，学习的主动性就能得到提升。
德国数学家魏尔施特拉斯（Weierstrass）说：不带点诗人味的数学家，绝不是一个完美的数学家。（曹才俊、章建跃：《数学教育心理学》，北京，北京师范大学出版社，2002。）著名的英国童话《爱丽丝奇遇记》虽然写的都是荒诞的经历，但因为它的作者是英国牛津大学的数学家，其中蕴涵着许多数学的“理趣”，至今还被许多数学方面的专业论文引用。其实，只要我们的教师能够勤于动脑，那么同样也会发现在数学里许多知识都是十分有趣的。比如数字9,凡是9的倍数，它的各个数位上的数字加起来也必是9的倍数。你看，18，27，36，54，…，嘿，好像真是那么回事儿！秩序里的错位，复杂里又寻求秩序。数学里的黄金分割造就了无数美丽的建筑和艺术，比如维纳斯、蒙娜丽莎，无限不循环小数造就了奇幻的金字塔……这就是数学的好玩儿和奇妙，你觉得控制不了它，可它时时刻刻就在你身边儿转悠，而且你会发现自己也在不自觉地应用着它。爱因斯坦就对代数下过这样一个定义：“代数嘛，就像打猎一样有趣。那藏在树林里的野兽，你叫它做X，然后就一步步地逼近它，直到把它逮住！”但是，我们的孩子每天面对的是什么呢？上来就是一道例题，或者一个公式，教师讲怎么做，做完了又出几道，让孩子们照葫芦画瓢地做，然后再留几道作业题，这就是数学课。你能从中感到什么有趣的东西呢？每天都是这样的内容和程式，你怎么会喜欢它呢？不喜欢它又怎么能学好呢？
首都师范大学李毓佩在这方面就很有造诣，他写的数学童话都非常受学生们的欢迎。
例如，刚开始学除法和分数时，很多孩子都记不住“0”不能作除数或者分母。李老师就此写了一篇童话，叫《梦游0王国》。
“0王国里所有的床铺都是上下铺，但下铺都没有人住。主人公小毅很好奇。为什么没有人住啊？0王国公民解释说，因为0不能躺在分数线下。小毅不懂。大家就帮他设想，如果分数线上的数是2,而存在
这个数，比如说a吧，那么2＝0×a，可是0和任何数相乘都得0，所以不可能存在a这个数。如果分数线上是0，那么这个等式就变成0＝0×a，同样的道理，a就是个不能确定的数，所以0就不能待在分数线下面。
也许后面的道理孩子们还是不懂，但至少他们能很快地记住0不能住在‘下铺’——不能做分母和除数。
在0王国里，没有男人和女人，因为0既不是正数，也不是负数；
外人只能和0王国的人握手，却不能拥抱，因为握手相当于加法，拥抱却是乘法，和0一拥抱，自己也变成了0，回不去了；
0王国的居民都很轻，不对，应该说它们都没有重量，但是只要往其他数字身后一站，就可以让他们重上10倍，如果站在小数点后面，又能让这个数轻上10倍……
把这些0的特性，用孩子们能喜欢的方式和语言说出来，他们就会觉得有趣，好玩儿，可能还会自己顺着思路思考些东西，甚至会想出些稀奇古怪的问题，那就是他产生兴趣的时候！——而只要对一门学科有了兴趣，学好它难道还是困难的吗？”（李毓佩：《梦游“零王国”》，北京，科学普及出版社，1997。）
提高接受学习的主动性，还要让学生亲身去经历知识获得的过程。例如让学生在数学课前充分地预习，掌握常见工具书的使用方法，通过查字典，去认识陌生的公式、字母，了解其含义；利用现代信息技术，在网络上收集有关信息并进行阅读。这些学习方式从本质上来说还是接受学习，但在这个学习过程中，呈现在他们面前的知识，是他们通过自己查字典、网络收集等手段而得来的，学生经历了知识获得的过程，经历了艰难的收集、发现、筛选、处理、加工的过程，这种情感体验是真切的，印象是深刻的，因此这种接受学习往往是有效、主动的，是高品质的。
提高接受学习的主动性，更要充分利用动机与学习间的互惠关系，组织好学习的内容，创设有利条件，让学生产生成功的学习经验，使他们期望在随后的学习中获得进一步的满足，产生更强烈的动机，提高学习的主动性。
教师可以充分地利用故事来创设愉快的教学情境，使学生愉快地接受教育。这不仅符合学生的年龄特征，起到将学生的注意凝聚在一起的作用，而且有利于引发学生对数学的兴趣。
例如，在教学“商中间有零的除法”时，以西游记故事引入学习的内容：“话说唐僧师徒到西天取经，走到半路饥渴难忍，这时发现不远处有一片野桃林。八戒馋得口水直流。唐僧说：‘要吃桃可以，不过要先回答师父的问题：有408只桃，分给我们四人，平均每人分得几只桃？’八戒流着口水说：‘我要12只桃。’孙悟空不慌不忙地说：‘师父请给我102只桃。’八戒傻了眼。教师话题一转：‘究竟谁对谁错呢？同学们，学习了今天的内容，你们就能判断了。’”
提高接受学习的主动性，应该有意识地让数学知识与生活实际相结合。我们可以选取自然、社会与其他学科中的素材。随着学生的不断成熟和发展，他们会逐渐从只关注自我发展到关注来源于自然、社会与其他学科中的更为广泛的现象和问题，对具有一定挑战性的内容表现出更大的兴趣。因此，数学教材所选择的素材应尽量来源于自然、社会与科学中的现象和问题，应当反映一定的数学价值。
例如，对于统计与概率的内容，在内容选择时就应该提供足够的现代社会生活中的实例。既可以从报纸、杂志、电视、广播、计算机网络等方面寻找素材，也可以从学生的生活实际中提取他们感兴趣的问题，例如，在教学内容的引入过程中，我们可以从对学校周围道路交通状况（运输量、车辆数、堵塞情况、交通事故等 ）的调查、对本地资源与环境的调查、对自己所喜爱的体育比赛的研究、讨论歌手大赛中为什么要去掉一个最高分和最低分、讨论有奖销售等问题开始。
这样的素材能引导学生更多地着眼于对实际问题的探索，理解概念的实际意义，让他们切身地体会到：其实，数学就在我们身边，就在我们一点一滴的日常生活当中。这种体验的获得，可以帮助他们在学习数学的同时，也能更好地认识现实世界。“知行合一”，不正是我们教学的最终目标之一吗？
（四）为学生提供思维策略的指导
数学教学是学生在教师的指导下，通过自己的数学思维活动，学习数学家思维活动的成果，发展数学思维能力和创造力的过程。数学家的思维活动蕴涵在数学知识内，渗透在数学教材中，学生要通过自己的思维活动去领悟这些数学家的思维活动往往是比较困难的。因此，教师就有这个义务和必要帮助学生来分析和理解这些思维活动的过程，解决学生思维中的矛盾和冲突，总结思维的规律、方法和技巧，从而达到学习数学的目的。
教师在数学思维策略的指导过程中，一般可以依据以下几个方面来进行。
（1）化特殊为一般。由于事物的一般性是概括了事物的特殊性以后获得的，因而通过一般情形的研究而去处理特殊情形的思考是可行的。例如，把证明不等式的问题化归为考察函数的性质；解析几何中，借助曲线系方程来确定符合某种条件的曲线方程等，都是这种思维策略的体现。
（2）化一般为特殊。由于一般性寓于特殊性之中，特殊性总是包含着一般性的成分，因此，通过分析几个特例，从中来寻求一般性的规律的思维方法也是可行的。而且，特殊的事物往往比较简单、直观和具体，因而也更符合学生的认知结构和水平。例如，多元问题可以化归为一元问题；空间问题化归为平面问题；“任意角”问题化归为“锐角”问题等。这些都是这种思维策略的体现。
（3）关系映射反演原则。这一原则的内涵非常丰富，它可以概括初等数学的许多方法和技巧，例如函数法、解析法、向量法、待定系数法、换元法、参数法等，这些都可以理解为这一原则的应用。
（4）对问题分解、组合。通过分解，学生可以认清处理问题内部的各种制约关系，由这种关系所提供的线索可以找到解决问题的方法；通过分解，可以搞清问题的外延，找到解决问题的突破口。而通过组合，既可以使问题获得最后解决，又可以使我们对问题解决的思维过程进一步深化，从而加深对问题的认识，有时还可能获得新的问题或新的思路。
学生通过对思维方法的反复学习和领会，对数学思想方法的认识也不断提高，并由此逐渐内化为自己的行为方式，这时就可以使他们对数学的学习过程、解决问题的途径形成一系列行之有效的合理性思维。这种自觉的思维模式的出现，标志着学生的思维已经达到了策略的水平。而这种策略一旦形成，就可以提高学生的数学思维品质，并能够广泛地迁移到更多的学习过程中去。因此，我们可以说，思维策略的指导是数学教学中发挥学生学习的主观能动性的重要保证，是每一位数学教师都不应该忽视的。
下载： 
