案例：有余数的除法
　（一）揭示矛盾，了解余数
　　老师 ：请根据要求放学具，再写出算式（要求写出竖式）。
　　1．有6个○，平均分成2份
　　2．有7个□，平均分成2份
　　学生做第一题时非常熟练，放学具，写算式，一气呵成，但在操作第二题时，发现最后剩下一个□，有的想了想，放在了第一份里，有的想了想，放在了第二份里，也有的学生放下又拿起，有的迟迟没有放下，拿不定主意。
　　老师：（问手上还拿着一个的同学）为什么不分了？
　　学生：不够分了。
　　老师：那最后一个可以放在第一份或者第二份里吗？
　　学生：不行。
　　老师：为什么？
　　学生：那样就不是平均分了。
　　老师：说得对极了，那就先拿着，一会再说吧。下面请同学们按你分的结果，写出算式吧。（有的学生经教师指点列出算式，有的不知横式上怎样写）。
　　老师：算式中哪个数是表示你手上拿着的1个□？
　　学生：（指竖式中的1）就是这个数。
　　老师：对，谁知道这个数叫什么呢？
　　学生：余数（一个叫张树的学生是转学过来的，已学过此内容）。
　　老师：今天我们就来研究“余数”。
　　（二）自主学习，理解余数
　　老师：同学们先自己按要求放学具，然后根据操作写出算式。
　　1．有10个○，平均分成3份
　　2．有14个□，平均分成4份
　　老师：说说余数是多少？
　　学生一：第一题余数是1。
　　学生二：第二题余数是2。
　　（三）自主体验，应用余数。
　　老师：下面请同学们用竖式做几道练习。
　　9÷2=　　　　　　　13÷3= 　　　　　　12÷5=
　　教师巡回指导时发现，有的学生还要借助学具，才能知道商是多少，余数是多少，再写出竖式，有的学生边想边在课桌上比划放学具的结果，然后写竖式。
　　老师：做上面的题，可以不分学具，想一个办法。想一个什么办法呢？
　　学生：可以想2×（）＜9，2乘以4小于9，所以可以商4。
　　老师：非常好。做有余数的除法，如果我们一下子想不到商几，就用这种办法。下面我们就用这种办法再做几题。
　　37÷6= 　　　　　　38÷9= 　　　　　　44÷8=
　　老师：我们来看看这些题目，比较一下它们的余数和除数（边说边指算式），发现什么规律？
　　学生：余数总比除数小。
　　老师：为什么呢？我们回想一下分学具的时候，当余数比除数大时……
　　学生：还可以再分。
　　老师：对。所以有余数的除法，余数总比除数小。
　　自主学习相对于他主学习，是指学生自己主宰自己的学习，他可以分为三个方面：一是对自己的学习活动有事先的计划；二是对自己实际学习活动的检查、评价、反馈；三是对自己学习活动进行调节、修正和控制。在学校教学中，纯自主学习是没有的，我们所说的自主学习，都是指在教师的指导下进行的。
　　那么教师在学生自主学习的过程中充当什么角色呢？我认为教师是学生学习的服务者，是学生平等的首席，同时也是学生学习的引导者。
　　教师作为服务者，要为学生的学习、发展提供平台，教学预设要围绕学生的最近发展区进行。如开始学生的现有发展区是已有了一位数除法的学具摆放，并能进行竖式计算的知识，这时学生就能模仿着，较顺利地过渡到有余数的除法的学具摆放和竖式的列式；学生能通过摆放学具“做”有余数的除法了，又不能让学生一直停留在通过摆放学具学习，又要以此为现有发展区，及时抽象，因此教师及时让学生“想一个办法”，不摆放学具，也能计算有余数的除法。因为学生有了一定的基础，在教师的指点下，自主建构有余数的除法的知识，也就是水到渠成了。
　　教师作为学生平等的首席，学生学习的引导者,不能把知识告诉学生，而是要引导学生学习，引导时做到：指而不明，开而不达，引而不发：和学生一起自主学习──摆放学具、相互交流──说说是怎样放的、结果怎样、进行探究──和学生一起总结有余数的除法的规律，即求有余数的除法，可以先想括号里最大能填几，然后再计算，而且余数总比除数小。本案例的教学过程中，教师始终没有以知识的拥有者的身份，把知识告知学生，而是和学生一起摆放学具，和学生交流摆放的结果，并在交流中引导，使学生都对余数有了一定的认识；学生再通过探究、交流、建构，进一步知道，余数还不能比除数大，对“余数”有了进一步的认识。作为平等的首席和学习的引导者，要能帮助学生制订学习计划──何时摆放学具、何时抽象，帮助学生检查──怎样做才是正确的，帮助学生调节──怎样摆放学具、摆放几次学具为宜。如学生通过摆放学具，对“余数”有了初步的认识，练习时部分学生还要通过学具才能计算，这时教师及时调节，让学生想一个办法──不摆放学具也能很快计算；在最后的练习中教师还发现，有一位同学有的题会做，有的题不会做，如21÷5，31÷6会做，而22÷5，33÷6就不会做，老师和这位同学交流，发现这位同学在从直观──摆学具到抽象时认识产生了偏差，我们思考22÷5时，是这样想的：5×（4）＜22，所以就商4，余数是2，而他是这样思考的：他误以为两个数的积要接近被除数，但又不能比被除数大，因此只想21接近22，而口诀中有句三七二十一，所以想商是7，或是3，这在竖式计算中都算不对，于是就不会计算了。这时，老师仍不是告知方法，而是与学生交流自己是怎么想的，并让学生试着和老师一样想一想，及时调节后学生一会儿就掌握了这一方法。