──关于三年级上册“数学广角”两则教学案例的分析与思考

浙江省杭州市江干区教育局教研室　　潘红娟

“数学广角”是人教版小学数学实验教材新增加的内容，从二年级开始每册教材都安排了“数学广角”的内容，其中，“排列与组合”是安排在三年级上册的内容之一。由于不少教师对“数学广角”这一内容的教学价值还不甚理解，因此在目标把握、内容处理、过程展开等方面都还存在一些偏差。笔者前不久连续听了这一内容的两节课，由此也引发了一些思考。下面撷取几个片段进行描述、比较与分析。

教学环节一：新知探究

【案例一】

1.师：周末到了，小红的班上要组织一次游乐活动，她想邀请大家去参加，你们愿意吗？不过小红有一个小小的请求，当她遇到困难的时候，希望大家能够帮助她。

师：既然是参加游乐活动，就要穿得漂亮一些，小红遇到的第一个问题就是穿什么衣服。

小红的衣柜里放着六件衣服（出示衣服图片：三件上装、三件下装），她可以怎样搭配？一共有几种不同的穿法？

（1）教师请同学们拿出课前发的衣服卡片，自己摆一摆。

（2）引导讨论：有多少种不同的穿法？

学生演示搭配方法，其中不少学生方法无序。

师：怎样才能做到不遗漏、不重复呢？

生：第一件衣服与三件下装搭配，第二件衣服与三件下装搭配，第三件衣服与三件下装搭配。

师：是的，你说的是这个意思吗？（教师结合课件演示，介绍连线法。）

（3）组织学生讨论：上装的件数和下装的件数，与有多少种搭配方法有什么关系？

生：上装有3件，下装有3件，3×3=9（种）。

生：只要用上装的件数乘下装的件数就可以算出总数。

得出：上装的件数×下装的件数=一共的种数。

2.妈妈为小红准备了丰盛的早餐。

饮料：牛奶、豆浆。

点心：蛋糕、油条、饼干。

如果饮料和点心只能各选一种，小红的早餐一共有多少种不同的搭配方法？

教师让学生以小组为单位，用连线的方法自己找出不同的搭配方法。

【案例二】

1.提出问题。

师：下周，小红要去参加秋游，她有很多漂亮的衣服，该怎样搭配呢？小红的衣橱里有这样一些服装。

图片出示：白色上衣，蓝色上衣，蓝色裙子，白色长裤，黑色长裤。

提出问题：这些衣服一共有多少种搭配方法？

2. 解决问题。

（1）任务布置。

师：想一想，怎样搭配才能不重复也不遗漏？

再想一想，你能用什么巧妙的方法把搭配的结果记下来？

（2）学生活动。

（3）反馈交流。

生：我们是这样搭配的，（利用图片演示搭配的过程：白上衣依次分别与三件下装搭配，蓝上衣依次分别与三件下装搭配）我们是这样记录搭配过程的：

师：你们觉得他们搭配得怎样？

生：他们的方法很有规律。

师：还有不同的方法吗？

生：我们搭配的方法和刚才的同学一样，只是记录的方法不一样，是这样的：

师：对这个组的成果有什么想说的？

生：他们记录的方法很简洁。

生：我们的搭配方法和他们不一样，（生利用图片演示搭配的过程：蓝裙依次分别与两件上装搭配，白裤依次与两件上装搭配，黑裤依次与两件上装搭配），是这样记录的：

师：这种方法你们觉得怎样？

生：其实和第一种方法是一样的，刚才是用衣服去搭配裤子，现在是用裤子去搭配衣服，不过两种方法都要有规律，才能不重复不遗漏。

生：我们有更简单的方法，可以用△代表上装，用□代表下装，我们是这样记录的：

生：我们记录的方法也很简单，出示：

师：对这两个同学的发言有什么想说的？

生：用符号来代替图片或文字更简单了。

师：是的，用符号来表示更简单了，不过这两种记录方法也没有区别，△□和1、2、3表示的意思其实是一样的。

生（迫不及待）：我们还可以用字母来代替，比如：a、b、c。

生：老师，我们想到了，不管哪一种方法，其实就是2个3，一件上衣可以跟三件下装搭配，另外一件上衣也跟三件下装搭配，所以可以用乘法计算：3×2=6（种）。

【分析与思考】

两个案例新课展开采用的教学素材基本是一致的，均是衣服的搭配问题，但其教学价值与教学效果却明显不同。

1. 自主建构，尚需有效引领。

两个案例均请学生先摆一摆图片，再讨论有多少种搭配方法，其意图都在于让学生经历探索的过程，自主建构方法，其基本思想是好的，但差异也是相当明显的。

案例一中，教师请学生用图片摆一摆，但并没有提任何要求，这样，显然学生的任务是低层次的，学生随意搭配之后，再来讨论“怎样才能不重复不遗漏”，任务分解后，活动的思考性和挑战性大大降低。而案例二中，因为任务布置时有一定的价值引导，学生不仅要考虑“一共有几种搭配方法”，而且必须考虑“不重复、不遗漏”， 因此也就避免了学生低层次的活动展开，从学生的研究成果看，不再有学生出现随意搭配、没有规律的方法，其“有序思考”的思想相当凸现。显然，这均得益于教师任务布置时的价值引导。其次，较好地发挥交流反馈中评价的引导功能，每一次学生作品反馈后，其评价是十分到位而有效的，“有规律”“全面”“记录简洁”“方法一致”等都是较为具体的、具有一定引导价值的评价语言。可见，自主探究还需要教师的有效引领。

2.关注过程，凸现思想方法。

反观两个案例，也不难看出两种不同的目标定位。

案例一中，教师在演示搭配过程、介绍连线法之后，就提出问题：“上装的件数和下装的件数，与有多少种搭配方法有什么关系？”因而较快地得出计算的方法。在早餐问题中则巩固连线法和计算。由此折射出此案例较明显的目标定位，即让学生掌握连线法和用乘法计算的方法。

案例二则重在渗透思想方法，落实数学思考。教师并不急于提炼方法、得出结论，而是用较重的笔墨充分展开过程，让学生“摆一摆怎样可以不重复不遗漏”“想一想用什么方法巧妙地记录搭配的结果”。由此，培养了学生有顺序地、全面地思考问题的意识，以落实课程标准中提出的要求──“在解决问题的过程中，使学生能进行简单的、有条理的思考”。同时，学生尝试用符号来表达自己的想法，有的用文字表示，有的用图形表示，有的用字母表示……学生通过用图片摆到抽象化的符号，其思考过程经历了从实物到抽象的过程，学生数学化的思考过程非常明显！显然，此案例的目标不仅定位于具体的认知目标（连线法、用乘法计算），而且在数学思考层面有所作为，有序思考、符号感的培养、优化的思想、数学化的过程得到彰显。

教学环节二：巩固应用

【案例三】

智闯五关：

第一关：帮小动物组数。

教师出示三只小动物手拿数字卡片的画面，提问：用数字卡片4、5、6可以摆出多少个不同的三位数？

（1）学生以小组为单位，用数字卡片在数位顺序表中摆一摆，并做好记录。

（2）各小组汇报后，教师指定几名学生汇报自己的想法。进而引导学生发现组数的规律。

第二关：走路中的数学问题。

教师出示情境图，告诉学生：从学校到少年宫有A、B两条路可走，从少年宫到动物园有C、D、E三条路可走。提问：从学校经过少年宫到动物园，一共有几条路可走？

学生拿出课前老师发的线路图，自己用笔画一画。

第三关：足球比赛中的数学问题。

2004年亚洲杯A组有4个球队参赛，每两个球队都要比赛一场，一共要比赛多少场？

教师请学生用字母A、B、C、D表示四个球队，用自己喜欢的方法把比赛场次清楚、形象地表示出来。

第四关：握手中的数学问题。

教师出示画有四个小朋友的图片，提问：每两个人握一次手，四个人一共握几次手？

每个小组选出四个同学实际做一做后回答。

第五关：佳佳的密码箱。

教师出示情境图，告诉学生：佳佳的密码箱中的密码是一个两位数，左边有数字1、2、3，右边有数字4、5、6。可佳佳把提前设好的密码给忘了，她最多试多少次才能把密码箱打开？

学生以小组为单位，写出所有可能的结果。

在此题基础上拓展：

（1）如果左边的数字有1、2、3、4，右边的数字有5、6、7、8，佳佳最多试多少次才能把密码箱打开？

教师引导得出：4×4=16（次）。

（2）如果左边的数字有1、2、3、4、5、6、7、8、9，右边的数字有1、2、3、4、5、6、7、8、9，佳佳最多试多少次才能把密码箱打开？

教师引导得出：9×9=81（次）。

【案例四】

1.午餐问题（根据课本“练习二十五第1题”改造）。

妈妈为小红秋游准备的午餐食物：

饮料有：矿泉水、可乐、雪碧。

点心有：蛋糕、面包、汉堡。

如果饮料和点心只能各选一种，小红的午餐一共有多少种不同的搭配方法？

（反馈略。）

2.路线问题（课本“练习二十五第2题”）。

从儿童乐园经过百鸟园到猴山有多少条路线？

出示图：

师：有什么方法可以清楚地表达行走的路线？

生：如果给路线标上序号就可以了，把从儿童乐园到百鸟园的三条路标为①②③号，把百鸟园到猴山的两条路标为④⑤号。

师：一共有多少条路线？你们能用自己的方法表示出所有的路线吗？

生独立解决后反馈交流。

生：一共有6条线路，我们的方法是：

所以，2×3=6（种）。

3.用9、3、7 三个数字组成三位数，一共可以组成多少个不同的三位数？

师：你能像刚才穿衣服、吃午餐那样按一定的顺序，不重复、不遗漏地写出这些三位数吗？

学生独立解决后反馈：

师：如果将其中的数字“9”换成“6”，一共有几种？

如果将数字“9”换成数字“0”呢，一共有几种？

【分析与思考】

1.情境必需，但需精选。

情境的作用毋庸置疑，创设现实的、学生感兴趣的情境作为学习的素材已成为教师的共识。因此，两则案例中均创设了丰富的情境，尤其是案例三中，以富有挑战性的“智闯五关”贯穿练习，其中安排了“帮小动物组数”“走路中的数学问题”“足球比赛中的数学问题”“握手中的数学问题”“佳佳的密码箱”等一系列情境，课堂观察发现，学生兴味盎然，课堂气氛活跃，可以说学生的学习情感是积极的。但冷静思考之后，不难发现，这些问题情境的设计与展开是平面的，始终停留于具体操作层面，缺少数学化的过程。“用数字卡片在数位顺序表中摆一摆”“拿出课前老师发的线路图，自己用笔画一画”“用字母A、B、C、D表示四个球队，把比赛场次表示出来”“每个小组选出四位同学实际做一做”“学生以小组为单位，写出所有可能的结果”。除了情境的不同，要求上并没有提升，因此，我们不得不思考：是否需要这么多的素材来进行练习？每个练习的环节目标有什么区别？素材是否具有典型性与针对性？

同样，案例四也安排了“午餐问题”“游园路线问题”“组数问题”等情境。但是，我们不难看出，每一个问题情境均有目标重心，如：午餐问题从原来的“二三搭配”拓展为“三三搭配”，既是对前面思想方法的巩固应用，又能起到举一反三的作用。游园路线问题则侧重于“符号思想”的应用，让学生思考“如何可以更清楚地表达路线”。组数问题则突出“有序思考”，从学生的表现看，虽然教师给出的数字排列是随意的，但学生却已经自觉地、有意识地按从小到大依序进行组数，这不正反映了“有序思想”目标的有效达成吗？另外，教师又在同一素材中拓展为“百位不能为0时，有几种方法”，从而实现一个素材多种功能。

可见，情境是必需的，关键是需要怎样的情境。情境所提供的素材应具有一定的典型性、针对性，以发挥每个素材的独特功能。学习材料也并不是越多越好，我们需要考虑的是精选素材，挖掘素材的内涵，以促进学生实现知识的完整建构与学习水平的有效提升。

2.逐步提升，但不宜要求过高。

前面谈到，案例三中，教师所设计的“智闯五关”在思维要求上没有本质的提升，均着眼于具体操作、形象思维层面，但笔者表达的意思并不是要在要求上节节拔高。事实上，本内容的教学目标还只是用图示的方式把所有的排列或组合情况罗列出来，不是抽象地用公式计算一共有多少种排列或组合，至于计算方法，则是学生在操作的基础上感悟获得，而并非对全体学生作统一要求。而案例三中，“佳佳的密码箱”问题二是：如果左边的数字有1、2、3、4、5、6、7、8、9，右边的数字有1、2、3、4、5、6、7、8、9，佳佳最多试多少次才能把密码箱打开。用罗列的方法将所有的情况进行枚举，显然是行不通的，于是教师有意引导用前面得出的规律，乘法计算得：9×9=81（种）。当然，如果学生能在通过部分枚举的基础上悟到：1可以和1至9搭配，2可以和1至9搭配，……就是有9个9，就是81种，在充分感悟的基础上的乘法计算也是可以的，但显然本案例中学生缺少感悟的过程，直接利用公式计算，因此，笔者以为，这样的教学要求有所拔高。

另外，在访谈中教师提到，是否要让学生清楚排列与组合的区别。笔者以为，两者的区别只要通过不同的素材让学生体会与感受即可，不必让学生明确表达与掌握。看来，准确把握教学要求是教师进行教学设计的前提。

【问题探讨】

1.有限教学时间内，达成认知目标与落实数学思考究竟孰轻孰重？

“数学广角”的认知目标相当明确，研究的层面比数学知识技能更高，属于数学思想方法，是数学应用价值在更高水平上的体现，例如排列组合、逻辑推理、统筹优化等，很多内容属于组合数学的范畴。因为较难，因此，达成这一认知目标就会花时较多，往往将这一问题分析透了，也就下课了。那么，是不是认知目标就是教学的重心呢？事实上，“数学广角”应该是落实数学思考的良好载体，就如本案例中的“有序思想”“优化意识”“符号化思想”才是教学的价值所在，而这些目标的达成，只有在研究问题的过程中充分展开，让学生经历探究才能得以实现，如果较快地提炼方法，应用巩固，那么，将使学习成为结果的记忆和套用，知识发生和发展过程中宝贵的教育资源就不能被充分开发利用。

但是，在有限的教学时间里，由于研究的问题较难，必然会使知识落实花时较多，如四上的“烙饼问题”、五上的“找次品”等内容，那么此时，达成认知目标与落实数学思考究竟孰轻孰重？依然是笔者感到困惑的问题。

2.教学的起点与落点在哪里？

由于教材是遵循“螺旋上升”的原则编排的，此内容是在二上学习基础上的后续学习。以下是二上的例题：

三上的内容只是将两件下装改为三件下装，例题如下：

由于有丰富的生活经验支撑，以及二年级的学习基础，因此，必然有不少学生已经掌握了有序枚举的思想方法，甚至也感悟到了计算的方法，此时，学生的起点已经较高时，如何着眼于学生的认知起点进入教学、如何使教学目标在原有基础上有所增量，也就成为教师们的另一困惑。