──由若干小学数学课例说开去

南京大学哲学系  郑毓信

笔者近期参加了两次全国性的小学数学教学研讨会，听了十几节观摩课。在此，无意于对这些课例进行全面评价，仅以其中的一些课例为背景提出自己的一些想法，特别是如何在课堂教学中更好地体现新一轮数学课程改革的基本理念。

一

“可能性”是改革后首次在小学数学课程中（三年级）出现的一个概念，因而相关的教学就是一个全新的尝试。演示这节课的教师在教学中突出了以下的主线：

从而使整堂课表现出了较大的连贯性，这是应当充分肯定的。

这一堂课的另一特色是加强了学生的活动，特别是，在引出了“可能性”这一概念后，教师安排学生以小组（4～5人）为单位从事以下的游戏：每个小组都配置了一个口袋，其中分别装有若干个粉色的球和黄色的球，教师要求学生每次摸出一个球，并对所得出的结果加以记录，然后算出一共摸了多少次，其中粉球多少次，黄球多少次。显然，教师在此的主要目的是希望学生通过动手实践更好地体会可能性的大和小；也正因为此，在小组实践后，教师又安排了全班性的汇报，并以各个小组所得出的“数据”为基础引出了这样的结论：“口袋里的粉球越多，摸到粉球的可能性就越大；而如果口袋里的黄球越多，则摸到黄球的可能性就越大。”

积极引导学生动手实践无疑是新的课程标准所大力倡导的一种学习方式；然而，就具体的教学活动而言，笔者认为，关键的因素恰又在于我们不应将所说的“动手实践、主动探索”与一般的课堂游戏简单地等同起来，而两者的重要区分之一就在于前者有着明确的目的性。就这里的课例而言，这就是指，我们究竟为什么要从口袋中连续不断地去“摸球”？我们应使学生在事先清楚地了解这种意图，从而相应的活动才能够真正成为一种自觉的行为。

也正是从这样的角度去分析，笔者认为，就当前在教学中普遍采用的“情境设置”而言，关键就在于如何由所设置的情境引出恰当的问题，从而促使学生积极地去进行探索──后者正是围绕所说的问题进行的，从而就有着明确的月的性。例如，就所说的课例而言，在让学生实际地去从事“摸球”活动前，教师或许就可设计这样的情境：向学生出示两个口袋并告诉他们里面分别装有一定数量的粉球和黄球；然而，尽管两者的总数是一样的，其中一个口袋中黄球较多，另一个口袋中则粉球较多。现在的问题是：如何不用打开口袋就能知道哪个口袋装有较多的粉球，哪个口袋则装有较多的黄球？

另外，就实际的教学活动而言，笔者认为，在此也不一定要采取“小组活动”这样一种形式。因为，亲手“摸”一次对于掌握“可能性”的概念未必有直接的促进作用，而且，在所说的课例中，由于学生并不知道其他小组的“工作背景”，或者说，因为各个小组的活动并不具有共同的关注点，所以大多数学生对于其他组所得出的数据就没有表现出任何的兴趣，恰恰相反，过多的“不相干”数据反而冲淡了主要的教学目标。与上述的做法不同，笔者以为，在明确提出了上述的问题并要求学生作出相应的猜测，以及全班统一了“我们可以通过‘摸球’的次数对猜测作出检验”这一种认识后，我们仍可采取全班活动的形式。例如，在此可以按照猜测的不同首先将全班分成两个组，然后，随着摸球活动的开展，也即越来越多相关数据的得出，可以允许学生不断对自己的猜测作出调整，也即由原来的组转移到对立的组，直至全班最终得出了完全一致的意见。这时教师再要求学生对“改变立场”的原因作出说明，这样全班学生就将始终具有同一个关注点，教师则可十分顺利地引出所希望的结论，包括最终打开口袋对猜测的正确性作出检验。

总的来说，与单纯地追求形式相比，在数学教学中我们更应注意通过提出适当的问题使学生的活动成为一种自觉的行为，并应根据教学的需要采取适当的组织形式。

二

“平面图形的整理和应用”主要是一节复习课（六年级），希望能对学生所学过的各种图形（长方形、正方形、三角形、梯形、平行四边形、圆）的面积公式作出整理，特别是帮助学生更好地掌握这些面积公式的相互联系。从实际的教学情况看，参与这一教学活动的学生应当说都已较好地掌握了相关的知识，因为，各个小组都能正确地回忆出相关图形面积公式的推导过程，从而大致地体现出如下的逻辑线索：

另外，任课教师在这一过程中也发挥了重要的引导和组织作用，包括提出明确的工作任务：要求每个小组用图形演示的方式表明各个面积公式之间的联系，组织学生进行全班汇报，以及对自己与其他人的工作作出评价。

就上述的各个方面而言，笔者所观看的这一堂课应当说是相当成功的。但是，笔者认为，作为教学研究，我们在此仍应考虑这样的问题：如何能够使复习课超出单纯回忆的范围，特别是为学生的创新活动提供更大的空间？

具体地说，在以上的课例中学生的活动主要是一种回忆的工作，特别是，其所展示的主要是相关公式的推导过程，也即其相互关系主要表现为线性的、单向的逻辑关系；然而，从教学的角度看，我们在此应当清楚地看到逻辑结构与认知结构的区别，特别是，与所说的逻辑结构的线性和单向性不同，认知结构不仅具有双向性（多向性），而且主要地表现为网状结构；另外，更为重要的是，教学工作的主要目标并非是使学生建立起关于相应逻辑结构的牢固记忆，而是应当帮助学生形成适当的认知结构。显然，从这样的角度去分析，这事实上应被看成这一堂课的重点和难点，即如何突破通过先前的教学所已形成的逻辑线索的束缚，从而为学生的自由探索开拓新的更大可能性。

例如，就所提及的各个面积公式的把握而言，笔者以为，除去以长方形为核心这一“标准”做法以外，我们也完全可以以三角形的面积公式为核心将其他各个图形联系起来；进而，通过这两种方式的比较与“互补”，我们不仅可以帮助学生建立更为丰富和合理的认知结构，也可促进他们更为积极主动地去进行探索，从而表现出更大的“开放性”。

值得提及的是，由上述的事例我们也町看出：与单纯地强调“开放题”相比较，我们应当更为注意教学的开放性，这也就是说，只要有了正确的教学思想，即使是传统的“封闭题”同样可以为学生的创造性活动提供良好的平台。

最后，还应提及的是，作为面积公式的应用，教师设计了这样一个问题，即要求就所给出的一个房间的平面图（其中有标出了尺寸的一个窗户、一张床和一个方桌）进行计算以对房间加以装饰。然而，所有学生最终所得出的都是精确的面积数（甚至精确到平方厘米），而且，当任课教师在平面图上进行了实物模拟并追问学生对所做的工作有什么看法时，被提问的学生几乎异口同声地说“十分满意”“很漂亮”，经过教师的多次启发，学生才最终“意识”到需要给窗帘、床罩等加上一定的“裙边”。笔者认为，上述现象的出现并非是由于教师的教学有任何不恰当的地方，而是清楚地表明了教学活动的环境相关性，我们不能期望单纯依靠在教学中引入更多的应用题（现实问题）就可有效地解决数学教学严重脱离实际这一长期存在的“老问题”，因为，同样的问题在不同的环境中完全可能具有不同的意义，特别是在学校这样一个特殊的环境中，学生往往会（有意识或无意识地）忽视对于各种现实的考虑，从而，使“现实问题”的引入未必能达到使“学校数学”更加接近实际生活的目的。

三

注意联系学生的生活实际也是新一轮数学课程改革的一个重要特点。例如，一年级的教学内容中新增加了“前后”“左右”等这样一些内容。这或许可被看成上述立场的一个具体表现，上述的基本立场当然无可非议；而且，从现实的情况看，应当说学生已经由日常生活建立起了“前后”“左右”等概念，从而，在相关的教学中教师就可以而且应当充分利用学生所已具备的这些知识和经验作为进一步学习的良好基础。

但是，就笔者所看到的几堂演示课而言，应当说又都存在这样一个问题：相关的教学是否应当停留于学生已有的知识和经验？为了更清楚地说明问题，在此可换一种方式来提出问题。众所周知，在新的数学教材中，“前”与“后”是作为空间概念得到引进的；但是，如果就实际生活进行考察，我们就可立即发现这两个概念还具有很多种不同的用法，诸如“两小时以前”和“三天以后” （在此“前”和“后”的概念所涉及的是时间而并非空间），“成绩在班上排前几位”或“排名向后移动了几位”（“前”和“后”的概念在此所涉及的既不是空间也不是时间），等等。那么，我们究竟应当如何帮助学生去区分这些不同的用法呢？或者说，我们又是否应当去涉及或区分这些不同的用法呢？

事实上，在笔者看来，后者所涉及的主要是这样一个问题：我们应从所列举的各个不同情况概括出其中的共同点，特别是，从数学的角度看，它们事实上都涉及了“序”这样一个概念；进而，尽管所说的这些情况都可被用做进一步学习的良好基础，但是，我们在此又应清楚地看到在“日常概念”与相应的“数学概念”之间所存在的重要区别，从而清楚地认识到超出“日常数学”并上升到“学校（正规）数学”的必要性。例如，就所说的“前”和“后”的概念而言，其在日常生活中的应用显然有着明确的方向性，如我们总是以主体所面对的方向与现时朝向未来为准来决定何者为“前”、何者为“后”；然而，作为一个数学概念，“前”与“后”的关系则具有相对性，也即完全取决于当时的规定。

显然，从这样的角度去分析，就“前后”“左右”这样一些概念的教学而言，其重点和难点就都在于如何帮助学生较好地去掌握这些关系的相对性。更为一般地说，笔者认为，这事实上也就清楚地表明了这样一点：相对于数学教学的“生活化”而言，我们应当更加注意如何很好地去处理“日常数学”与“学校数学”的关系，这也就是说，我们既应明确反对数学教育完全脱离学生的生活实际，并应充分利用学生在日常生活中已建立起来的知识和经验作为新的学习活动的良好基础，又应注意防止以“生活味”完全取代数学教学所应具有的“数学味”，并清楚地认识到由“日常数学”上升到“学校数学”的必要性。

最后，应当提及的是，这或许会被看成“完全停留于学生已有的知识和经验”所容易造成的一个弊病，即相应的课程缺乏学习活动所应具有的挑战性。如果借用维果茨基的语言来表述，即教学的内容应当位于学生的“最近发展区”，从而，相应的发展就只有借助别人 （例如，教师）的帮助或通过同伴的合作才能得以完成，也即既具有一定的难度，但同时又可通过一定的努力完成的；与此相反，如果学习活动缺乏应有的挑战性，那么，我们的学生就不仅不可能在知识上得到迅速的成长，也不可能真正体会到战胜困难取得进步的欢悦，从而也就不利于相应的“情感、态度和价值观”的培养。从这样的角度去分析，笔者认为，尽管在某些课堂上学生可以显得十分活跃；但是，我们又应仔细分析他们在知识技能以及情感态度等方面是否真的有所增长，特别是，什么才是学生在课堂上真正的兴奋点？！

四

就“认识钟面（整点）”这一内容的教学（一年级）而言，显然也面临着上面所提及的问题，即如何使得相应的学习活动具有一定的挑战性，特别是，我们在此不应以“游戏性”简单地取代数学教学所应具有的知识性。

然而，这难道不正是新一轮数学课程改革的又一重要特点吗．即认为我们不应唯一着眼于知识和技能的学习，而应采取更为广泛的视角？事实上，就笔者所听的这些演示课而言，的确可以看到教师们普遍地为自己的教学活动设立了更多的“教学目标”，诸如“使学生初步建立时间观念，懂得遵守、珍惜时间，养成合理安排时间的良好习惯”“帮助学生学会数学地表达和交流”“培养学生的合作意识和良好的合作习惯”等等。

上述的基本立场是完全正确的；但是，笔者认为，除去积极地引进各个新的教学目标，从而更好地促进学生的全面发展以外，我们又应注意不同方面的有机整合。例如，上述的各项“目标”并不应被看成是与知识和技能的学习完全不相干的（甚至被用做对于知识和技能方面低要求的一种补偿），恰恰相反，我们既应通过知识和技能的学习去落实其他方面的教学目标，同样地，也应通过后一方向的努力帮助学生更为积极主动地去学习和掌握相关的知识和技能。“认识钟面”这堂课的教学中明显地突出了“帮助学生学会数学地表达和交流”这样一个目标；但是，我们又应如何使得这方面的努力与“帮助学生认识整时”这一“知识目标”更好地结合起来呢？笔者以为，从这一立场出发，我们在教学中就不应满足于让学生简单地去重复“分针指向12，时针指向3，就是3点”，“分针指向12，时针指向8，就是8点”这样的表述，而应更加注意由这种特殊的结论向以下更为一般的命题的过渡： “分针指向12，时针指向几，就是几点”，这也就是说，我们应当帮助学生更为清楚地认识这两种表述方式的不同，从而逐步实现表述上的必要进步。显然，后者不仅与“帮助学生认识整时”这一具体的“知识目标”密切相关，而且也很好地体现了数学思维的高度概括性这一重要特点。

最后，笔者认为，这或许也可被看成众多新教材的一个共同特点，即为教师的创造性工作留下了较大空间。更为一般地说，笔者以为，这事实上反映了教师的不同定位：与“教师应当紧扣教材”这一传统的提法不同，教师应当根据具体的教学对象、内容、环境以及本人的个性特质创造性地使用教材，包括在必要时适当地突破教材。当然，后者对教师提出了更高的要求，特别是，我们应将教学活动与教学研究更好地结合起来。例如，按照建构主义的观点， “学生的学习即是依据其已有的知识和经验所进行的主动建构”，从而，在实际进行“认识钟表”的教学前，我们就应更为具体地去了解学生在这方面究竟具备了哪些知识和经验。如果大多数学生已经较好地掌握了“整时的认识”这一知识目标，那么，在给少数“后进学生”以更多关注的同时，教师就应大胆地设定新的更高的教学目标。当然，作为一种探索性活动，在课后教师应对自己的工作做出认真总结与反思，从而不断取得新的进步。

五

以下再从十分一般的角度提出一些想法。

第一，教学方法的改革应当被看成课程改革十分重要的一个方面；但是，在积极实施教学方法改革的同时，我们应注意防止理解上的简单化与做法上的片面化。例如，在教学思想与教学方法之间无疑存在重要的联系；但是，我们不应将教学思想与教学方法机械地对应起来，如将各种教学方式简单地加上“行为主义”“认知主义”“建构主义”等标签，并由此做出“先进”和“落后”的区分。例如，在笔者看来，以下的提法就多少表现出了所说的简单化倾向： “记忆层次的学习反映了行为主义的学习观，理解层次的学习是认知心理流派的学习观，探索层次的学习反映了建构主义的学习观。”

另外，同样重要的是，我们又不应对各种教学方法采取绝对肯定或否定的态度，毋宁说，每种方法都有其一定的适用范围和局限性，从而，就如在教学中应当充分尊重学生的主体地位及其个体差异，在教学方法的选择上我们也应采取同样的立场，即应当充分尊重教师的自主权，并清楚地看到在教师中同样必然存在一定的个体差异。当然，后者并非是指在教学方法的问题上可以放任自流；恰恰相反，作为数学课程改革的重要一环，我们应当积极地倡导各种新的教学方法，而且，就如面对各种不同的解题方法教师的一个重要职责就是应帮助学生实现必要的优化，我们在此也应帮助广大教师很好地实现教学方法的必要优化，但后者同样不应是一种强制的行为，毋宁说，改革的倡导者应作为平等的一员参与到对各种教学方法的讨论中，帮助教师通过交流与反思找到适合自己的方法，也即能够根据特定的教学内容、对象、环境等创造性地去进行教学。

第二，在积极倡导改革的同时，我们也应十分注意对已有传统的继承和必要发展。

例如，一些西方学者通过国际比较研究现已认识到了中国（更为一般地说，是东亚地区或所谓的“儒家文化圈”）的数学教学具有自己的一些鲜明特色，而这就是值得西方国家认真学习的：（1）教学组织的高效性。这是指课堂中与教学无关的活动被压缩到了最低的限度。“如果教师没有过度的负担，学生能高度集中，时间和精力又没有消耗于无效的由一种活动向另一种活动的转移或不相干的活动之中，大班教学就能够有效地实施。”（2）教学活动的一致性。这是指全部教学活动自始至终都围绕着同一个主题，而不是几个互不相关部分的简单组合。

当然，对于已有的传统我们并不应采取简单继承的态度，而应根据环境的变化以及新的实践作出深入的反思和必要的发展；但是，笔者认为，对于优良传统的自觉继承又确实应当被看成课程改革的一个重要方面，特别是，这是从不同的角度为改进教学指明了努力的方向。

例如，这次演示的各堂数学课都广泛地采取了多媒体技术，教师们在课上花费了不少时间让学生动手实践或从事相关的游戏，但是，从高效性和一致性的角度去分析，我们显然应考虑这些活动与教学目标的相关性，或者说，至少应当将无关的活动控制在一定的时间限度之内，另外，以下的一些做法应当说都是值得提倡的，如在长方形和正方形周长的教学中让学生实际地去从事度量活动，以及在统计初步知识的教学中注意培养学生的合作意识等，但是，如果教师在教学中能够更加注意各个环节的一致性（从而避免学生在学习了长方形的周长公式以后却仍然采用实际度量四边的方法以求得长方形场地的周长），以及不仅在一堂课，而且在一段时期内始终坚持合作意识的培养，就一定会取得更好的教学效果。

综上可见，教学方法的改革中一定要注意防止简单化，特别是对于形式的片面追求。希望各级教研部门对此也能予以高度的重视。

最后，应当再次强调的是，本文并非对于所涉及的各个课例的全面点评，特别是，尽管以上提出了某些建议或意见，但所有演示课从总体上说又都是相当成功的，笔者更由各位青年教师的教学看到了新一代小学数学教师的崭新形象。对此笔者将在另一文章中作出进一步的论述。

（本文原载《课程·教材·教法》2003年第4期）