──2002年数学教育高级研讨班纪要

华东师范大学数学系  张奠宙  李士

由国家教育部人事司批准召开的“数学教育高级研讨班”，于2002年12月5日至8日在苏州大学举行。

华东师范大学数学教育研究所的李士锖、张奠宙两位教授主持了研讨活动。到会的全国著名数学教育专家、中学特级教师、博士以及年轻学者约70人。

会议研讨的主题为：1．中国的数学“双基”教学；2．高师数学系本科生适用的“数学教育技术”课程大纲。

以下是研讨班关于数学“双基教学”的研讨成果──数学“双基教学”的学术综述。

一、“双基”的文化背景与历史渊源

1．打好基础是一种常识。从事任何工作，必须先打好基础。要建成大厦，没有基础是不行的。有了好的数学基础，将来做什么都可能成功。中学教育是基础教育，中学数学教学的任务就是打好基础。没有好的基础不可能创新。中学生时代打好基础是第一位的，创新、应用可以逐步发展。数学基础只有在年轻时打好，年纪大了就来不及了。

2．“双基”教学不是一个具体的方法，有其深刻的文化底蕴、广泛的社会基础和久远的教育传统。

──首先是儒家文化的影响。严格的家庭管束。学生服从教师。知识分子只要背诵“四书五经”即可，不求创造，不可逾越经典。小生产者只需要基本的生产技能。

──考试文化。公元597年隋文帝实行“科举考试”制度，延续1000多年。学而优则仕，学习的目的是为了通过考试达到做官的目标。

──考据文化。训诂、辨古音、识古字、释古义。重考据式的基础，不鼓励创新的经世致用。

3．“双基”数学教学的客观环境在于有严厉的考试制度。迄今为止，数学考试内容绝大部分是基础性的试题，创新性、灵活性、应用能力的考查比较困难。在有着几千年考试文化积淀的中国及其周边地区，考试分数成为数学教学追求的主要目标。因此，注重“双基”以获得好的考试成绩，比起数学创新能力的培养，更具有功利性。

4．我国“双基”教学起源于20世纪50年代，在60年代正式形成。1949年之前，虽然中国数学教学也重视基础，但并无“双基”一说。 1949年之后，在学习苏联的大背景下，数学课程加强逻辑系统性，教学内容崇尚逻辑严密，课堂上有“讲深讲透”“精讲多练”等口号出现。 80年代之后，高考竞争日趋激烈，考试内容多为基础性题目， “双基”教学便和“解题教学”结合，成为“考试的双基”。

5．数学“双基”在历次大纲中有明确的界说，如三大能力、数形结合、博闻苦练等等，逐渐形成自己的特色。

二、数学“双基”的界定

数学“双基”指“数学基本知识”和“数学基本技能”，这是没有疑问的，但是在实际使用中却有不同的理解。

1，狭义的“双基”，仅指基本知识的记忆和掌握，基本技能的操演和熟练，不包括数学思维能力。一部分同志认为，不要过分扩大“双基”的含义，也不要把“应试教育”的大运动量训练等都作为“双基”加以批判。

2．广义的“双基”，指数学的“基础” “基本功”，其中含有基本数学能力的成分。它是个性发展、创新精神的基础。多数人理解的“双基”，实际上是“基础”与“发展”这对矛盾中的“基础”一端。

3．有一种看法是，既然是“基本知识”，就不等于知识全部，而是整个数学知识网络中间的“结点”，我们的研究工作要把这些结点找出来。比如“函数”一章中的“双基”究竟是什么，应该具体指出来。

4．另一种意见认为“双基”是一种理念。在数学教学中，无论哪一种教育理论，都会把“打好基础”和“个性发展”作为教学的目标，只是重视的程度不同，选择的优先有异。一般来说，西方文化把“个性发展”放在优先地位，而东方 （特别是我国）则把“打好基础”放在优先考虑的位置。 “双基”教学是一个整体的价值判断。由于“双基”已经有了一些具体操作的规律，也许勉强地可以算作一种理论（或准理论）。

5．应该看到，“打基础”的教育是缺乏个性特征的。无论是优秀生或者是困难生，在打基础上区别不大。一幢建筑物的基础并不显示个性，它的特征反映在上层建筑。因此，在强调“学生主动学习”“以学生的发展为本”等理念的今天，“双基教学”的局限性就突显出来。因此，以“双基”教学作为我国数学教学的唯一目标，显然是不科学的。

三、“双基”的内涵和价值

在我国，“双基”是一个宽泛的概念。它的大体内涵是，相对于数学的探究、创造、应用来说，更加重视基本知识的记忆、基本技能的熟练掌握，表现在数式计算、逻辑推理、综合解题三个维度。具体说来，是指：

1．快速准确地进行运算。包括数和式的运算，记住法则、算法和公式。

2．注重严密的逻辑推理。用逻辑方法分析数学概念，按照逻辑规则清晰地进行推理，形成比较完全的逻辑体系。

3．建立和熟悉解题的套路。掌握一些最基本的解题方法，善于模仿、迁移。

四、我国“双基”教学向“数学思维能力”的提升

如果把我国的“双基”教学（不是“双基”本身）仅仅理解为强调记忆、模仿、操练，那是不全面的。经过无数数学教师的努力， “双基”教学已经提升到数学思维能力的层面来进行，产生了一系列有意义的、科学的、符合学生思维过程的教学方法。

1．通过关于“熟能生巧”的研究，表明熟练而灵活多变的数学操作有利于数学概念的形成。善于运用公式和规律进行运算，能从机械操作变成数学运算能力。计算的熟练和公式的记忆，使得“数学思维更加简约、快速”，便于向更高层次的思维前进。

2．通过“中学数学思想方法”的研究，把机械的逻辑推理上升为逻辑思维能力，能够从整体上把握中学数学的思想体系，有系统化的认识。

3．通过“变式”的研究，发现中国的“双基”能够发展为有意义的学习，在变换非本质属性的过程中掌握数学概念的本质属性，在剔除次要因素的过程中暴露数学思维的主要方面。

这样的研究，以后还应继续深入进行。

五、“双基”教学的特征

我国数学教学模式基本上沿用五环节教学法：复习──导人──讲解──巩固──布置作业。强调教师在课堂上的主导作用。

注重数学教学的效率。把最主要的数学内容尽快呈现出来，避免学生走太多的弯路。

注重逻辑思维能力的培养。着重数学内容的逻辑分析，检查解题过程中的逻辑关系，以不出逻辑错误为教学的基本要求。

注重数学思想方法的培养，反复进行讲解训练。例如，不重不漏的分类，四种命题的互换，充分必要条件的理解，分析、归纳、综合、类比、联想、化归、RMI原理的总结和运用。

在教学处理中，有以下的特点：

1．定义的教学。注重“属＋种差”的逻辑分析。要求学生背诵定义，在课堂上一齐朗读定义（8年级以前），在课堂上反复提问、复述定义。

2．强调启发式，揭示新旧知识的联系和矛盾。通常由教师展示数学教学要达到的目标，不要求学生“发现”。教师在课堂上的强大主导作用：大量的提问，由学生回答，一小步一小步地达到预定目标。

3．重视形式化的逻辑演绎证明。如分类不重不漏，分母不能等于零，开平方根号下的数值必须大于零，等等，反复强调、训练。

4．在提高效率的基础上，省出时间进行训练。“精讲多练”是许多数学教师遵循的基本教学原则。

5．练习的数量相当大。变式练习是主要形式。

6．考试前的复习。温故而知新。考大学前有半年到一年的复习时间。前面进度快一些，争取有第二次的复习和练习，加强技能训练。

7．数学归纳法的中美比较：

美国Dubinsky的案例：学生操作（计算机）──学生认知过程与四步证明的结合──讨论与深化──练习；

我国的传统处理：概念辨析──原理陈述──范例应用──变式练习──解题套路。

六、我国“双基”教学的心理学分析

1．背诵──有意义的识记，十分重要。奥苏伯尔的有意义学习，支持有意义的记忆和模仿。人的知识总是“间接经验为多数”，直接经验是少量的。学习数学不可能事事“探索”“发现”。

2．“精讲多练”的合理性。教师的讲解是重要的一环。精讲，要把教师的深切体会，用最有效的方式传授给学生。与此同时，强调学生自己的操作练习，必须有足够的练习才能获得巩固的知识。认为“建构主义”否定教师的讲授，学生只要探索无需联系的看法，并不符合学生主动建构知识的规律。

3．推理强调逻辑演绎证明，不停留在演示或实验证实（justification），而要达到证明（proof）的水平。

4．顾泠沅等研究变式练习，提出概念变式和过程变式的概念，中国的数学练习不是简单的重复。

5．熟能生巧，是中国教育的传统格言。只有充分熟练才可能深刻理解，对学习的内容进行有效存储、检索、调用。

6．用信息加工理论，可以解释数学基本知识的编码、存储、提取等过程。

7．程序性知识的自动化程度是衡量“数学双基”水平的一个标志。

8．可以采用“内化、协调、浓缩、一般化、逆转”等概念解释数学基本知识的获得。

七、我国中小学生学习的定量分析

1．我国大陆学生在1989年的IAEP国际测试中，13岁学生以80分的正确率列第一位。

2．我国成人都能进行心算：两位数的加法，背诵乘法表，一位数乘两位数，无须借助纸笔、计算器。（重庆长寿县调查）

3．分数的四则运算，受过9年教育者多数人不觉困难。（重庆长寿县调查）

4．小学生进行快速准确的四则运算。（浙江奉化小学调查）

5．中学生高速度地进行整式运算。（田中关于整式运算的调查）

6．三分之二的9年级学生能够理解欧几里得式的几何证明，其中的一半能够严密地写出证明。

八、与时俱进谈“双基”教学

数学“双基”教学是一个动态的概念，随着时代的发展也在发生变化。

1.20世纪80年代的许多做法和现在已经有许多不同，例如“讲深讲透”等提法现在已经不通行。

2．李士 对两个课例的分析对比研究。80年代的数学课堂上，要求学生把定义、定理齐声朗读，现在已经不这样做了。

3．三大数学能力的提法是否需要保留？从 90年代以来的改革来看，三大能力的提法有了许多变化。现在是否要改，有两种不同的意见。

4．数学教育技术是否要成为数学学习的一种基础？大家认为应该列入。

5．“素质教育”中的“素质”是否就是“双基”？看来二者有差别。创新是素质的一部分，而“双基”不包括。

6．周建华的课例：当前的中学数学教学正从记忆证题术到思考数学本质。

7．研究性数学教学，正在改变单纯模仿的“双基”，趋向“能力型”的“双基”。

8．近年来开放题进入课堂和考试，已经作为“双基”的一部分。

九、聚焦改革

当前一个突出的现实问题是，正在实验的《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》和即将公布的高中数学课程标准怎样认识和处理“双基”？这两个标准制订组的有关同志作了发言。

1．“与时俱进”看基础。数学的基础知识是在变化着的。随着计算器、计算机的使用，心算、笔算的计算能力可以降低要求。随着九年义务教育的普及，一些过于困难的课题（如平面几何的公理化体系与证题术）将退出必修课程内容。与此同时，概率统计、算法、与日常生活相联系的数学内容，则将成为数学课程的“基础”。运用现代技术学习数学，也将是“双基”的一部分。

2．过去的“双基”强调“形式化的逻辑演绎”能力，这是不完整的。事实上，学习数学知识的背景及其应用，培养数学建模的能力同样是“数学双基”的组成部分。

3．关注数学的人文价值和德育功能。长期以来，数学教学给人以呆板、孤立、冷漠的印象，这是“形式主义”和“绝对主义”数学哲学带来的负面影响。把数学的人文价值开发出来，使得数学更加生动活泼，可以给“数学双基”带来新的面貌。

4．继承传统的“数学双基”的合理成分。我们仍然有严格的数字计算和代数式运算能力要求，数学证明仍然维持着很高的水平。理性思维要求返璞归真，尽量掌握数学的本质。

以上的课程标准正在实验过程中。有不同意见的争论是正常的。例如，对于平面几何的处理分歧还比较大。

十、进一步需要研究的问题

数学“双基”是我国数学教育的优良传统。在新形势下，它需要不断地“与时俱进”。保持正确的合理内核，扬弃不必要的烦琐记忆负担，增加新兴的数学知识和技能要求，形成科学的、符合学生实际的“数学新双基”，是我们的一项历史性任务。数学“双基”教学的明显弱点是缺乏对学生“个性发展”的关注。为此，需要继续以下的研究工作。

1．把握数学“双基”和数学创新的关系。创新是民族的灵魂，也是社会进步的主旋律。数学不应该例外。我们不能仅仅把“重视基础”作为我国数学教育的关键课题来处理。一个完整的数学教育模式，一个科学的数学教育理论，都必须把“基础”和“创造”这两个方面同时加以研究。没有基础的创新是空想，没有创新指导的“打基础”是傻练。基础要为发展服务，盲目地打基础，过量的练习是无效劳动。在花岗岩基础上搭一个茅草房，不是我们要看到的。“以学生的发展为本”，把“数学双基”和“数学创新”放在一起进行研究，找出适度的平衡，必将成为未来数学“双基”研究的指导思想。

强调“双基”需要把握适当的“度”。过于庞大的基础会产生“基础过剩”的现象。一味强调统一的基础，忽视学生个性的发展，不利于创新精神的培养。

2．实践是一个伟大的学校。正在建设和实验的数学课程标准，将会给“数学双基”带来新的活力，也可能发生一些认识上的失误。一切都要在实践中通过不同意见的争论和交换得到解决。周边国家和地区的课程改革中出现的争论都和“数学双基”的处理有关，值得关注。“聚焦改革”，仍然是“数学双基”研究的主题。

3．定量的分析。对我国“数学双基”的水平进行科学的、大样本的测量，制定合理有效的“数学双基”量表，把大量的数据保存下来，“留此存照”，可以和国际上进行比较，也可以在 10年、20年后再作比较，观察历史发展，获得有益的成果。

4．学习国际上先进的心理学理论，用以观察研究和总结“数学双基”的心理学机制。在此基础上，发展我们自己的数学学习心理学研究，争取给“数学双基”一个更加科学的解释。同时，这也是我国数学教育走向国际的必由之路。用国际上通用的语言和理论，把我国的“数学双基”教学介绍到国外，是一件有意义的工作。诸如“熟能生巧”“变式教学”“开放题研究”等等具有中国特色的数学“双基”研究还应该大力支持。

5．让“数学双基”研究在中学里开展起来，提出更多的案例，从正反两方面厘清“数学双基”的真正价值，掌握合适的“度”。比如，机械地计算如何能够渗入趣味性？证题术如何提升为数学思维能力？严密的逻辑推理怎样和日常生活实际相联系？过度的“花絮”是否会削弱理性思维能力？数学“双基”和数学探究的关系如何？这一切都需要由大量的实际案例来说明，“一个好案例胜过一打套话”。

（此文原载《中学数学教学参考》2003年第1～2合期，本刊转载时作了必要的删改）