人民教育出版社中学数学室　　张劲松

A版数学2是根据《标准》“必修课程”中的数学2编写的，包括立体几何初步、平面解析几何初步两部分，分为四章：

第一章　空间几何体　　　　　　　　　　　　　　8课时

第二章　点、直线、平面之间的位置关系　　　　　10课时

第三章　直线与方程　　　　　　　　　　　　　　9课时

第四章　圆与方程　　　　　　　　　　　　　　　9课时

下面分三部分简要介绍一下。

一、内容与要求

数学是研究空间形式和数量关系的科学。本模块的内容主要属于“空间形式”范畴，是几何学的研究对象。

（一）内容

第一章和第二章属于立体几何初步的内容，包括空间几何体的结构，空间几何体的三视图和直观图，空间几何体的表面积和体积；空间点、直线、平面之间的位置关系，直线、平面平行的判定和性质，直线、平面垂直的判定及其性质。第三章和第四章属于解析几何初步的内容，包括直线的倾斜角与斜率，直线的方程，直线的交点坐标与距离公式；圆的方程，直线、圆的位置关系，空间直角坐标系。

（二）要求

“第一章空间几何体”要求：1.利用实物模型、计算机软件观察大量空间图形，认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构；2.能画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合）的三视图，能识别上述的三视图所表示的立体模型，会使用材料（如纸板）制作模型，会用斜二侧法画出它们的直观图；3.通过观察用两种方法（平行投影与中心投影）画出的视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式；4.完成实习作业，如画出某些建筑的视图与直观图（在不影响图形特征的基础上，尺寸、线条等不作严格要求）；5.了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式（不要求记忆公式）。

“第二章点、直线、平面之间的位置关系” 要求：1.借助长方体模型，在直观认识和理解空间点、线、面的位置关系的基础上，抽象出空间线、面位置关系的定义，并了解如下可以作为推理依据的公理和定理。

（1）公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。

（2）公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。

（3）公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。

（4）公理4：平行于同一条直线的两条直线平行。

（5）定理：空间中如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。

2.以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点，通过直观感知、操作确认、思辨论证，认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定。

通过直观感知、操作确认，归纳出以下判定定理。

（1）平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。

（2）一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。

（3）一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，则该直线与此平面垂直。

（4） 一个平面过另一个平面的垂线，则两个平面垂直。

通过直观感知、操作确认，归纳出以下性质定理，并加以证明。

（1）一条直线与一个平面平行，则过该直线的任一个平面与此平面的交线与该直线平行。

（2）两个平面平行，则任意一个平面与这两个平面相交所得的交线相互平行。

（3）垂直于同一个平面的两条直线平行。

（4）两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。

3.能运用已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题。

“第三章直线与方程”要求：1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素；2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式；3.能根据斜率判定两条直线平行或垂直；4.根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形式（点斜式、两点式及一般式），体会斜截式与一次函数的关系；5.能用解方程组的方法求两直线的交点坐标；6.探索并掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离。

“第四章圆与方程”要求：1.回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程与一般方程；2.能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系；3.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题；4.在平面解析几何初步的学习过程中，体会用代数方法处理几何问题的思想；5.通过具体情境，感受建立空间直角坐标系的必要性，了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系刻画点的位置；6.通过表示特殊长方体（所有棱分别与坐标轴平行）顶点的坐标，探索并得出空间两点间的距离公式。

二、主要特点

（一）突出“从整体到局部”安排立体几何初步的内容

与传统立体几何的结构体系相比，本模块立体几何的体系结构有重大改革。传统立体几何内容，常从研究构成空间几何体的基本要素──点、直线和平面开始，讲述平面及其基本性质，点、直线、平面之间位置关系和有关公理、定理，再研究由它们组成的几何体，包括棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、台、球的结构特征以及它们的体积、表面积等等。基本上按照从局部到整体的原则。现在，本模块以直观感知、操作确认为认识手段，先研究柱、锥、台、球等简单几何体的结构特征，根据这些特征绘制它们的三视图、直观图，并解决上述空间几何体的体积和表面积。在充分感知的基础上，再对几何体的“细部特征”，即构成几何体的几何元素──点、线、面等的关系进行研究，即先从对空间几何体的整体感受入手，再研究组成空间几何体的点、直线和平面。

这种安排遵循人类认识世界的过程，也符合学生的认知特点。它有助于发展学生的空间观念，培养学生的空间想象能力、几何直观能力，适当减轻几何论证的难度，降低立体几何学习入门的门槛，提高学生学习立体几何的兴趣。

整体和局部是一个有机的整体。没有对整体的把握，也无从认识局部；同样，如果没有对局部更细致的认识，我们也无法更好地把握整体。因此，在学习完“点、直线、平面之间的位置关系”后，要引导学生从点、直线、平面的角度重新认识空间几何体，从本质上把握空间几何体的结构特征，对空间几何体的结构特征有更全面的认识。

（二）明确认识和探索几何图形及其性质的主要方法：直观感知、操作确认、思辨论证、度量计算

《标准》明确提出，认识和探索几何图形及其性质的主要方法有：直观感知、操作确认、思辩论证、度量计算，这是非常经典的概括。实际上，这四种方法是一个有机的整体，循序渐进，对不同的知识内容，要求的方式和方法不尽相同。

本模块中“空间几何体”主要是通过直观感知、操作确认的方式让学生认识人类生存的现实空间，通过空间图形，培养和发展学生的空间想象能力。在“点、直线、平面之间的位置关系”中，借助长方体模型，通过直观感知、操作确认先认识它们之间的位置关系，归纳关于平面、平行的一些公理以及直线与平面平行、平面与平面平行、直线与平面垂直、平面与平面垂直的判定定理，进而对直线与平面平行、平面与平面平行以及直线与平面垂直、平面与平面垂直的性质定理进行思辨论证，并且运用已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题，培养学生的推理论证能力、运用图形语言进行交流的能力以及几何直观能力。

解析几何初步的内容中，主要是培养学生用代数方法处理几何问题的思想，使用度量计算的方法。对这部分的教学，可通过直角坐标系这个桥梁，首先将几何问题，比如点、直线、圆以及直线与直线、直线与圆、圆与圆的位置关系，直线与直线的交点坐标、直线与圆的坐标等代数化，用代数语言描述上述几何要素及其关系，把直线与直线、直线与圆的位置关系转化为数量之间的关系，处理数量关系，分析数量关系的几何含义，最终确定直线与直线、直线与圆、圆与圆的位置关系，帮助学生不断地体会数形结合的思想方法。

观察和推理是学习数学的两种手段。由观察（实践）归纳出一些事实（如公理），在此基础上，从这些事实出发，运用逻辑推理的方法，推导、证明一些新的事实。在立体几何初步的内容中，我们采用了观察和推理两种方式。通过直观感知、操作确认、思辨论证，认识和把握点、直线、平面之间的位置关系。而当把直线和圆放到直角坐标系中后，它们可以用方程表示，通过代数运算，由运算结果判断直线与直线、直线与圆、圆与圆的位置关系。

（三）强调几何直观，注重合情推理，适当渗透公理化思想

立体几何学习的知识内容与学生的联系非常密切，空间几何体是很多物体的几何模型，这些模型可以描述现实世界中的许多物体。它们直观、具体，对培养学生的几何直观能力有很大的帮助。空间几何体，特别是长方体，其中的棱与棱、棱与面、面与面之间的位置关系，是研究直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系的直观载体。学习时，一方面要引导学生从生活实际出发，把学习的知识与周围的实物联系起来，另一方面，要引导学生经历从现实的生活抽象空间图形的过程，注重探索空间图形的位置关系，归纳、概括它们的判定定理和性质定理。比如，在有关直线与平面、平面与平面平行与垂直判定定理的教学中，要注重引导学生通过直观感知、操作确认，归纳出直线与平面、平面与平面平行与垂直的判定定理；在直线与平面、平面与平面平行与垂直的性质定理的教学中，同样不能忽视学生从实际问题出发，进行探究的过程。要引导学生借助图形直观，通过归纳、类比等合情推理以及演绎推理，探索直线与平面、平面与平面平行与垂直等性质定理及其证明。在此基础上，进一步运用已经能够获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题。这样做既可以为学生铺设合适的学习台阶，降低难度，又可以使立体几何的学习过程完整化，为学生理解抽象的直线、平面位置关系的判定定理和性质定理提供有力的支撑，有助于培养学生的数学思维能力。

立体几何在构建直观、形象的数学模型方面有其独特作用。图形的直观，不仅为学生感受、理解抽象的概念提供了有力的支撑，而且有助于培养学生合情推理和演绎推理的能力。

几何的现实性与论理性是几何的两个方面。欧几里得公理体系把几何与逻辑结合起来，几何就与演绎推理结下了不解之缘，很久以来几何学就成为训练逻辑推理的素材，用主观的东西去理解客观世界，把握客观世界，以期对客观世界有更理性的认识。从几何推理的角度来看，既有合情推理，又有演绎推理，而且从数学发展的过程来看，即使演绎推理也并非几何所独有，它广泛存在于数学的各个分支中。近几十年的国际数学教育改革对几何推理的要求发生了一些变化：适当弱化演绎推理，更多地强调从具体情境或前提出发，进行以类比、归纳为特征的合情推理；从单纯强调几何的逻辑推理，转向更全面地体现几何的教育价值，特别是几何在发展学生空间观念，以及观察、操作、试验、探索、合情推理等“过程性”方面的教育价值。本模块立体几何初步特别注意使学生经历从特殊到一般、从具体到抽象的过程，逐步认识直线与平面、平面与平面的位置关系，在推理过程中渗透公理化思想，养成言必有据的理性思维精神。

（四）加强知识的联系性，通过“三步曲”明确解析几何的基本思想方法

解析几何的基本思想方法是坐标法。当我们用方程表示直线和圆，运用方程研究直线与直线、圆与圆的位置关系，研究两条直线的交点、点到直线的距离、两条平行直线之间的距离等问题时，都需要把几何问题代数化，先用方程表示直线和圆，然后再通过代数运算解决有关问题。

我们在教科书编写时，结合大量的例题，突出用坐标方法解决几何问题的“三步曲”：

第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题；

第二步：通过代数运算，解决代数问题；

第三步：把代数运算结果“翻译”成几何结论。

解析几何的本质是用代数方法研究图形的几何性质，它沟通了代数与几何的联系，体现了数形结合的重要数学思想。对于几何中的直线，我们既从一次函数的角度研究它，又从方程的角度研究它。这样一来，函数与方程对直线进行了定量化描述，使对直线的研究由定性进入到定量。平面直角坐标系成为沟通平面几何、函数、解析几何的纽带，对同一个问题可以从不同的角度去认识。

在此需要特别说明的是函数与曲线以及曲线与方程的关系。对一个圆，它是曲线，我们既可以从函数（分段函数）的角度研究它，也可以从方程的角度研究它。但是两者之间是有区别的。从函数的角度看，函数体现更多的是一种数量关系，曲线只不过是它的一个直观支持；从方程的角度看，它是从曲线的几何特征出发，确定它的代数关系（即方程），用方程研究曲线，即解析几何的思想方法。它们虽然都体现了数形结合，但体现的是数形结合的不同侧面。

三、教学中几个值得关注的问题

（一）关于数学2的教学要求

与传统的立体几何教学要求相比，本模块在几何推理证明方面的教学要求大大降低了，削弱了以演绎推理为主要形式的定理证明，减少了定理的数量，删去了大量的几何证明题，淡化了几何证明的技巧。对于直线与平面、平面与平面的平行和垂直的判定定理只要求通过直观感知、操作确认的方式归纳得出，不进行推理证明。在削弱证明的同时，加强了空间观念的培养。重视对空间图形的整体认识和把握，从看实物到想图形、再从三视图想象空间图形，然后从空间图形的整体，到直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，强调发展学生的空间想象能力，以及联系实际运用几何知识，观察和解决现实世界中有关图形的问题。

在解析几何初步的内容中，注意结合具体的图形：直线和圆，引导学生探索在平面上确定这些图形的几何要素，推导出它们的代数方程，进而运用方程研究它们在平面上的位置以及相互关系，体会用代数方法解决几何问题的思想。教学中要注意控制难度，避免进行综合性强、难度较大的数学题的训练，避免在解题技巧上做文章。比如，义务教育阶段“空间与图形”部分涉及的许多结论都可以用坐标法来加以证明，而义务教育阶段的教学要求现已有所改变。因此，用坐标法证明平面几何题要求不宜过高，要适可而止。

（二）关于“三垂线定理及其逆定理”

很多教师都说，整个高中立体几何就是“三垂线定理”。虽然说得过分些，但从另一个角度说明了“三垂线定理”在整个高中“立体几何”中的地位和作用。确实，“三垂线定理”是整个立体几何内容的一个典型代表，处在整个立体几何知识的枢纽位置，综合了很多知识内容：线线、线面、面面的垂直和平行。虽然在“点、线、面之间的位置关系”中没有明确提到“三垂线定理”，但在“空间向量与立体几何”中提到“能用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理（包括三垂线定理）”。按照这种提法，教材中必须明确提出“三垂线定理”，学生应该知道这个定理。至于放在数学2中，还是放在选修21中，则是另外一个问题。有了“三垂线定理”，“三垂线定理的逆定理”也就顺理成章了，无非是斜线与斜线的射影位置互换了一下。

在教材实验过程中，教师非常关注“三垂线定理及其逆定理”的教学。一方面，它在整个高中“立体几何”中有太高的地位和作用，另一方面，它是高考的核心内容。目前的高考试卷中，如果是用综合法处理的“立体几何”方面的大题，大都是关于“三垂线定理及其逆定理”的。但是，随着空间向量及其运算引入“立体几何”内容中，用空间向量及其运算的向量方法（或坐标方法）处理有关垂直和平行问题成为一种普适的方法，用“三垂线定理及其逆定理”的综合方法退居其次。

基于这种情况，我们认为，把“三垂线定理及其逆定理”放在选修课程系列2中的选修21的“空间向量与立体几何”中比较合适，学生只需了解这个定理即可。

（三）关于知识内容的衔接

由于2006年使用高中课标教材的很多学生在义务教育阶段没有使用义务教育课程标准实验教科书，造成部分知识内容不衔接。在数学2中，比较突出的是视图和投影的内容。在教学中应充分考虑到这种实际情况，在投影和视图方面，应该适当补充《标准》“空间与图形”中的视图与投影内容，它包括：1.会画基本几何体（直棱柱、圆柱、圆锥、球）的三视图（主视图、左视图、俯视图），会判断简单物体的三视图，能根据三视图描述基本几何体或实物原型；2.了解直棱柱、圆锥的侧面展开图，能根据展开图判断和制作立体模型；3.了解基本几何体与其三视图、展开图（球除外）的关系，通过典型实例，知道这种关系在现实生活中的应用（如物体的包装）；4.通过实例了解中心投影和平行投影。

立体几何初步的内容与选修2-1中“空间向量与立体几何”内容要衔接，在立体几何初步中不要求证明的三个判定定理在“空间向量与立体几何” 中可用向量方法进行严格证明。解析几何初步的内容也能自然延伸到选修1-1和选修2-1的“圆锥曲线与方程”中。

（四）关于运用现代信息技术

在数学2中，现代信息技术的作用主要体现在以下几个方面：

1.通过现代信息技术，如计算机、网络等展示丰富的图片，让学生感受大量的实物，抽象出空间几何体及其结构特征。

2.运用现代信息技术和有关软件，制作一些课件，如动态演示空间点、直线、平面之间的位置关系，空间中的平行与垂直关系，等等。

3.平面解析几何是一门典型的数与形结合的学科。信息技术在加强几何直观，促使数与形结合方面有着特殊的作用。借助信息技术，可以形象、直观地帮助学生认识所研究的曲线。在动态演示中，观察曲线的性质，在直观了解的基础上，寻求形成这些性质的原因以及代数表示。通过方程研究曲线与曲线的关系时，运用现代信息技术，可以进一步验证得到的结果，为抽象的认识增添形象的支持。例如，在探究点的轨迹时，可以借助信息技术，探究轨迹的形状。

（五）关于数学2在必修课程中的顺序

按照传统的安排，立体几何初步和解析几何初步内容通常安排在三角函数和平面向量的后面，把平面向量和三角函数作为工具研究解析几何。具体到必修课程的顺序安排，就是先学数学4再学数学2。孰前孰后？孰优孰劣？应该说，两种方式各有自己的特点。数学2在前，解析几何初步中在引进斜率的概念时，就需要采取新的方式。虽然无法建立直线的倾斜角与斜率之间的数量关系，但是整个解析几何初步的学习内容变得平易、浅显。数学4在前，可用平面向量和三角函数作为工具，研究直线的倾斜角与斜率之间的关系，同时丰富直线和圆的内容。