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北 京 市 第 四 中 学 李建华
人民教育出版社中学数学室 俞求是
人教A版数学五是根据《标准》中“必修课”第五个模块的要求编写的。本册教科书包括“解三角形”“数列”“不等式”三章内容。
本书供高中二年级第一学期使用，全书约需36课时，具体课时分配如下：
第一章：解三角形 （约8课时）
第二章：数列 （约12课时）
第三章：不等式 （约16课时）
一、内容和要求
第一章是“解三角形”。本章主要内容是介绍三角形的正、余弦定理及其简单应用，旨在通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题以及能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题。
在数学发展史上，受到天文测量、航海测量和地理测量等方面实践活动的推动，解三角形的理论得到不断发展并被用于解决许多测量问题。正、余弦定理是刻画三角形边和角内在关系的基本定理，也是最基本的数量关系之一。教科书从学生熟悉的直角三角形出发，引入了正弦定理然后利用向量方法证明了余弦定理。这样的处理充分考虑到了学生的认知特点以及不同知识之间的联系，显得比较自然。
教科书明确了正弦定理可以解决的两类解三角形问题：“已知三角形的任意两个角与一边，求其他两边和另一角”“已知三角形的两边与其中一边的对角，计算另一边的对角，进而计算出其他的边和角”，并用两个例题说明应用正弦定理解三角形的方法。进而，指出应用余弦定理与正弦定理，可以解决如“已知两边和它们的夹角解三角形”“已知三角形的三边解三角形”的问题。
正弦定理和余弦定理在实际测量问题中有许多应用，教科书在第1.2节“应用举例”中介绍了它们在测量距离、高度、角度等问题中的一些具体应用。在阅读与思考中介绍了海伦公式和我国古代数学家秦九韶的贡献。本章还设计了一个有关测量的实习作业。
根据《标准》，本章的教学要求是：1.通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题。2.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题。
第二章是“数列”。本章主要内容是数列的概念与表示，等差数列与等比数列的通项公式与前n项和。数列作为一种特殊的函数，是反映自然规律的基本数学概念。教科书通过对日常生活中大量实际问题的分析，建立等差数列和等比数列的概念，力求使学生在探索中掌握与等差数列、等比数列有关的一些基本数量关系，感受这两种数列的广泛应用，并利用它们解决一些实际问题。教科书还通过在“阅读与思考”中介绍“九连环”问题，以及在“探究与发现”中设计“购房中的数学”，使学生进一步感受数列与现实生活中的联系和具体应用。
根据《标准》，本章的教学要求是：1.通过日常生活中的实例，了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图象、通项公式），了解数列是一种特殊函数。2.通过实例，理解等差数列、等比数列的概念；探索并掌握等差数列、等比数列的通项公式与前n项和的公式；能在具体的问题情境中发现数列的等差关系或等比关系，并能用有关知识解决相应的问题，体会等差数列、等比数列与一次函数、指数函数的关系。
第三章是“不等式”。不等关系与相等关系都是客观事物的基本数量关系，是数学研究的重要内容。本章通过大量现实世界和日常生活中的具体实例引入不等关系，帮助学生理解不等式（组）对于刻画不等关系的意义和价值，进而引导学生结合一些实际问题探索求解一元二次不等式的基本方法，用二元一次不等式组表示平面区域，以及解决一些简单的二元线性规划问题的方法，最后引导学生讨论了基本不等式及其简单应用。
根据《标准》，本章的教学要求是：1.通过具体情境，感受在现实世界和日常生活中存在着大量的数量关系，了解不等式（组）的实际背景。2.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程；通过函数图象了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系；会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，尝试设计求解的程序框图。3.从实际情境中抽象出二元一次不等式组；了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组；从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决。4.探索基本不等式 （a，b≥0）的证明过程；会用基本不等式解决简单最大（小）值问题。
二、编写中考虑的几个问题
（一）关注数学情境的建立，重视反映数学的应用价值
教科书在整体上关注数学情境的建立，充分挖掘现实世界和实际生活中有关数学实例，力求问题的引入能够反映一定的生活背景，激发学生学习数学的兴趣，并体会数学的应用价值。
在第一章“解三角形”中，引言就从一个测量问题引入：“在我国古代就有嫦娥奔月的神话故事。明月高悬，我们仰望夜空，会有无限遐想，不禁会问，遥不可及的月亮离我们地球究竟有多远呢？”在解三角形的过程中不断与一些实际测量问题相联系，比如：1.怎样在航行途中测出海上两个岛屿之间的距离，2.怎样测量底部不可到达的建筑物的高度，3.怎样在水平飞行的飞机上测量飞机下方山顶的海拔高度，4.怎样测出海上航行的轮船的航速和航向，等等。
第二章“数列”自始至终贯彻“数列作为一种特殊函数，是反映自然规律的基本数学模型”的思想。教科书创造性地发掘了日常生活中大量实际问题，比如三角形数、正方形数、存款利息、出租车收费、校园网问题、希尔宾斯基三角形、斐波那契数列、放射性物质的衰变、诺贝尔奖金发放金额问题、商场计算机销售问题、九连环的智力游戏、购房中的数学等等，使学生充分感受到数列是反映现实生活的重要数学工具，体会数学是来源于现实生活并应用于现实生活的。
第三章“不等式” 从日常生活中经常用到的“长与短”“大与小”“多与少”“远与近”等实际情境中引入不等关系，通过学生感兴趣的上网问题及备感关注的计时收费问题引入一元二次不等式的有关概念，通过让学生比较两种不同的收费方式，从中认识到学习不等关系及不等式的必要性。从银行贷款中的资金分配问题中引入二元一次不等式组的数学模型，从现实生产、生活中，经常遇到的资源利用、人力调配、生产安排等问题中引入二元线性规划问题。线性规划是数学规划中理论较完整、方法较成熟、应用较广泛的一个分支，它能解决科学研究、工程设计、经济管理等许多方面的实际问题。教科书结合北京召开的第24届国际数学家大会的会标，联系我国古代数学家赵爽的弦图，紧紧抓住弦图中相关面积间存在的数量关系引入不等式a2+b2≥2ab。
（二）重视各部分内容之间的联系
数学各部分的内容构成一个有机的整体。教科书充分注意到数学的这个特点，力求体现这种联系。例如，在第一章中，对于正弦定理和余弦定理，教科书注意它们与已经学习的关于三角形的定性研究的结论的联系。余弦定理的证明使用了向量的方法，不仅使定理的证明简洁明快，而且也能够体现向量及其运算的作用。第二章比较多地注意到数列与函数的关系，始终强调数列作为一种特殊函数的意义，同时也注意联系算法和微积分，揭示“离散”和“连续”之间的关系。第三章强调不等式与函数、方程的关系，在一元二次不等式的解法和简单的线性规划问题中，始终注意“数形结合”，通过对不等式、函数与方程关系的理解来解决所面临的不等式问题。
在各章习题、探究性问题和阅读材料中也注意到了这个问题。
（三）重视基本数学思想方法的教学
教科书注意基本的数学思想方法，如函数的思想，优化的思想，以及类比、归纳等合情推理的方法的数学。第一章“解三角形”对于正弦定理和余弦定理的研究都是从对于初中数学中对于三角形的定性研究进一步深化为定量研究的角度去展开的，突出了函数和量化的数学思想。正弦定理的证明从直角三角形的情形出发，体现从特殊到一般的归纳过程，从一定程度上也反映了类比的思想。第二章不仅贯彻数列是特殊函数的观点，而且不断在等差数列和等比数列之间进行类比，从求1+2+3+…+100的高斯算法出发，将这种规律推广到一般等差数列，从而获得一般等差数列的求和思路。这又是归纳的生动案例。在第三章中，对于二元一次不等式与“平面区域”的关系，体现了从特殊到一般的归纳思想，线性规划的内容则突出体现了优化的思想。
同时，教科书注意体现“数形结合”的思想，数列通过图象揭示与相应函数的联系，第三章“不等式”则更强调图象意义，特别是线性规划，从问题的提出到解决，都直接依赖于“平面区域”。
（四）适当的使用现代信息技术
现代信息技术的广泛应用正在对数学课程内容、数学教学、数学学习等方面产生深刻的影响。教科书比较充分地考虑了现代信息技术的教育价值，在各部分内容中都有所体现，在第二章和第三章，分别设计了“信息技术应用”专题，介绍2的近似计算和利用Execl解决线性规划问题等，鼓励学生运用计算机、计算器等进行探索和发现。
三、对教学的几个建议
（一）注意创设问题情境，激发学生学习数学的兴趣
内在动力是数学学习的根本动力，在教学过程中应该充分调动学生学习数学的兴趣。解三角形、数列和不等式三章内容有着丰富的实际背景，除了教科书中的实例还有很多很好的相关的素材，教学过程中应该充分给予挖掘，并针对学生的实际认真设计教学方案，提高教学的整体效果。
（二）保证基本训练，避免繁琐的形式化训练
本书的三章内容都具有一定的综合性，因此要注意保证基本技能的训练。例如，通过训练，应当使学生理解正弦定理、余弦定理所解决的基本问题，通过数形结合（定性与定量结合），认识解三角形的各种情况；通过训练，使学生学会利用函数思想、方程思想，理解数列中各量之间的基本关系（如等差数列涉及（a1，an，d，Sn，n，基本关系是an=a1+（n-1）d， （由此可以得出，确定一个等差数列需要3个独立条件）；a1+an=a2＋an-1=a3+an-2=…）。通过训练，使学生学会利用一元二次方程的根，并根据相应函数的图象求解一元二次方程；掌握解决线性规划问题的基本步骤。
从数学教学的传统看，解三角形、数列和不等式等三章内容都有不少高度技巧化、形式化的问题。从上述关于内容定位看，这些技巧化、形式化的问题不是教学的重点。例如，解三角形中，如果与三角变换相结合，可以演化出非常复杂的三角恒等变形的问题；数列的教学中，如果与“迭代”“差分”联系起来，可以出现非常复杂的求数列通项公式、求数列和等问题；不等式的证明则更是存在大量技巧性的问题。显然，这些都不在本书的要求之列，教学中应注意尽量避免这些问题的出现。弱化过分繁琐和技巧化的代数恒等变形是《标准》的明确要求，应该在教学过程中很好把握。 |
