北京师范大学数学科学学院　　马　波

几何学是研究现实世界中物体的形状、大小与位置关系的数学学科。直观感知、操作确认、思辨论证、度量计算是认识和探索几何图形及其性质的主要方法。

立体几何是几何学的重要组成部分，也是新课程改动较大的内容之一。立体几何课程改革的主要特点体现在两个方面。一个是内容的呈现方式发生了重大变化。以往立体几何先研究点、直线、平面，再研究由它们构成的几何体，新课程则从对空间几何体的整体观察入手，认识空间图形及其三视图、直观图；再具体研究构成几何体的点、直线、平面等元素。另一个特点是证明要求降低。以往教材非常强调证明，将逻辑推理能力的培养放在立体几何教学的突出地位；新课程则将大部分证明用向量处理，使证明问题转化为代数问题，同时将证明的要求放到了选修课程中，从而使学习对象由过去的全体学生转变为选修理工科的学生。

空间几何体是新课程立体几何部分的起始课程，也是立体几何课程的重要内容，它在土木建筑、机械设计、航海测绘等大量实际问题中都有广泛的应用。

本章将在义务教育数学课程“空间与图形”的基础上，从对空间几何体的整体观察入手，研究空间几何体的结构特征、三视图和直观图以及它们之间的相互转化，了解一些简单几何体的表面积与体积的计算方法。

一、教科书内容与课程学习目标

（一）本章知识结构

（二）教科书内容

“1.1　空间几何体的结构”首先让学生观察现实世界中实物的图片，引导学生将观察到的实物进行归纳、分类、抽象、概括，得出柱体、锥体、台体和球体的结构特征，在此基础上给出由它们组合而成的简单几何体的结构特征。同时要求学生能够列举生活中的几何体，并掌握它们的结构特征。

“1.2　空间几何体的三视图和直观图”主要包括在平面上表示立体图形，用三视图和直观图表示空间几何体，实现空间几何体与三视图、直观图之间的相互转化，利用三视图制作立体模型；通过空间几何体在平行投影和中心投影下的影象，使学生认识立体图形在平面上的不同表示形式。

阅读材料“画法几何与蒙日”主要介绍画法几何的内容以及法国数学家蒙日在画法几何方面的贡献，使学生了解画法几何的历史背景及发展。

“1.3　空间几何体的表面积与体积”主要包括空间几何体的表面积、体积的求法，简单几何体的表面积与体积的求法。

探究与发现“祖暅原理与柱体、锥体、球体的体积”，目的是使学生了解祖暅原理，并了解用祖暅原理推导柱体、锥体、台体以及球体体积公式的过程。

实习作业的内容是画出建筑物的三视图和直观图，体会几何学在建筑方面的应用。

（三）课时分配（约8课时）

1.1　空间几何体的结构                         约2课时

1.2　空间几何体的三视图和直观图               约2课时

1.3　空间几何体的表面积与体积　　　　　　　　 约2课时

实习作业 　　　　　　　                       约1课时

小　结 　　　　　　　　                       约1课时

（四）课程学习目标

通过对空间几何体的整体把握，培养和发展学生的几何直观能力和空间想象能力。从学生熟悉的物体入手，使学生对物体形状的认识由感性上升到理性；通过三视图和直观图的学习，进一步认识空间几何体的结构。了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式，从度量的角度加深对空间几何体的整体认识。

1.利用实物模型、计算机软件观察大量空间图形，认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构。

2.能画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合）的三视图，能识别上述三视图所表示的立体模型，会使用材料（如纸板）制作模型，会用斜二侧法画出它们的直观图。

3.通过观察用两种方法（平行投影与中心投影）画出的视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式。

4.完成实习作业，如画出某些建筑的视图与直观图（在不影响图形特征的基础上，尺寸、线条等不作严格要求）。

5.了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式（不要求记忆公式）。

二、本章主要编写特点

（一）从生活中来，到生活中去，理论联系实际，培养学生的应用意识和应用能力

三维空间是人类生存的现实空间，它为我们的学习提供了丰富的素材。在本章内容的呈现方式上，就充分利用了现实生活中各种形状的实物、建筑、模型，使学生在观察的基础上，抽象出空间图形并归纳出它们的结构特征。同时鼓励学生将学习到的几何体的结构特征运用于实际，能够列举现实世界具有不同几何特征的实物、建筑、模型等，培养学生用数学的眼光观察周围世界的意识和习惯。例题、习题中的许多问题也注意了与生产生活相联系。

本章需要大量的素材，教师要在教材提供的资料的基础上借助幻灯、计算机课件等向学生展示更多的实物、图片、动画，增强学生的直观感受，提高学生的学习兴趣，更好地认识空间几何体。

实习作业要求画出建筑物的三视图和直观图，这为学生应用课堂知识于现实生活提供了机会，对学生的应用意识和应用能力的培养有极大的帮助。

（二）强调学生的动手操作和主动参与，让他们在观察、操作、想象、交流等活动中认识空间几何体，提高空间想象能力

学习方式的转变是基础教育课程改革的重要目标之一。新课程倡导自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学等学习数学的方式。空间几何体一章设置了“观察”“思考”“探究”等栏目，目的是使学生通过这些栏目积极主动地参与课堂教学，在观察、操作、想象、交流等活动中认识空间几何体，转变学习方式，提高学习兴趣，提高空间想象能力。

观察栏目重在引导学生看。通过观察引导学生获得几何体的有关信息，如同类几何体的结构特征，几何体的正视图、侧视图与俯视图三者的关系，等等。

思考栏目重在引导学生想。如，“图1.2（1）、（2）分别是两个几何体的三视图，你能说出它们对应的几何体的名称吗？”“如何根据圆柱、圆锥的几何结构特征，求它们的表面积？”“比较柱体、锥体、台体的体积公式──你能发现三者之间的关系吗？柱体、锥体是否可以看作特殊的台体？其体积公式是否可以看作台体体积公式的特殊形式？”这些问题要着重引导学生思考，调动学生思维的积极性和主动性，鼓励学生在独立思考的基础上进行交流讨论，合作学习。

探究栏目重在引导学生做。如“（1）自己动手制作一个底面是正方形、侧面是全等的三角形的棱锥模型，并画出它的三视图。（2）自己制作一个上、下底面都是正三角形，侧面是全等的等腰梯形的棱台模型，并画出它的三视图”“棱柱、棱锥、棱台也是由多个平面围成的多面体，它们的展开图是什么？如何计算它们的表面积？”安排适量的、具有一定探索意义和开放性的问题，给学生比较充分的思考空间和时间，在借助图形直观进行合情推理的过程中，增强学生探究的好奇心，加深对数学的理解，培养学生乐于钻研、勤于思考的习惯，激发出潜在的创造力，让学生在不断探索与创造的氛围中发展解决问题的能力，体会数学的价值。

当然，看、想、做并不是相互割裂的，而是互相渗透的，看的过程要思考，要探索；想的过程要观察，要尝试；做则必然在看、想的基础上才能实现。

教材在阐述内容的过程中，大量使用“观察”“思考”“探究”栏目，通过这些栏目，鼓励学生思考、动手、交流，参与课堂教学，养成良好的学习习惯，积累数学活动的经验，提高几何直观能力和空间想象能力。

（三）重视实物与图形、空间图形与平面图形的互相转化，发展空间观念，培养空间想象能力

无论是空间几何体的结构，还是它们的三视图、直观图，表面积、体积，都涉及大量的空间图形、平面图形，以及它们之间的互相转化。在研究这些图形时，我们始终注意与实物的联系，使抽象与具体结合起来。要求学生能够从实物抽象出空间图形，从空间图形想象实物的形状；能够画出实物的三视图和直观图，能够从空间几何体的直观图画出它的三视图，从三视图画出它的直观图等等。这些数学活动是使学生掌握图形，提高识图能力的有效途径。通过对图形的把握，发展空间观念，培养空间想象能力。

三、教学中几个值得关注的问题

（一）注意与义务教育阶段课程“空间与图形”部分的衔接

本章知识内容与义务教育阶段“空间与图形”部分联系密切，许多内容，如空间几何体、三视图、投影等都在义务教育阶段有所接触。

本章的教学内容中的空间几何体的结构、三视图、表面积、体积等都与义务教育阶段的学习内容相关，区别在于学习的深度和概括程度。前面是对具体的棱柱（如正方体、长方体等）进行研究，对圆柱、圆锥和球的认识也比较具体。本章对它们的研究更加深入，给出了它们的结构特征。同时，还学习了台体（棱台与圆台）的有关知识，简单组合体涉及柱体、锥体、台体以及球体，比义务教育阶段数学课程“空间与图形”部分呈现的组合体多，复杂程度也加大。另外，本章还要求学生如何在平面上画出空间几何体的直观图、空间几何体的直观图和三视图之间的关系以及通过空间几何体在平行投影和中心投影下的影象使学生认识到在平面上可以用多种方法来表示空间几何体。

了解本章内容、要求与义务教育阶段数学课程“空间与图形”部分的内容、要求的联系与区别，教学时便可以在学习过的知识基础上，温故知新，使学生的学习螺旋上升，进一步提高几何直观能力和空间想象能力。

（二）严谨适度，把握教学要求

在《标准》中，立体几何内容的体系结构有重大改革。过去从研究点、直线和平面开始，再研究由它们组成的几何体，遵循部分到整体的原则；新课程则从对空间几何体的整体感受入手，再研究组成空间几何体的点、直线和平面。这种安排符合学生的认知规律，降低立体几何学习入门难的门槛，有助于培养学生的空间想象能力，提高学生学习立体几何的兴趣。

对于空间几何体的认识，教科书从空间几何体的结构特征、表示方法与度量三个方面展开。由于没有点、直线与平面的有关知识，本章的学习不能建立在严格的逻辑推理的基础上。这与以往教科书有相当大的区别，教师在实际教学中要充分注意到这一点。

本章教学重视从实际出发，从具体到抽象，提供丰富的实物模型或计算机软件呈现的几何体，在此基础上引导学生观察、归纳、抽象、概括出它们的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构；巩固和提高义务教育阶段有关三视图的学习和理解，掌握斜二侧法画平面图形和立体图形的方法和技能，能够使用材料（如纸板）制作立体模型；通过平行投影和中心投影，使学生了解空间图形的不同表示形式；了解空间几何体的表面积和体积的计算公式（不要求记忆公式），能够计算基本几何体及它们的简单组合体的表面积和体积。

本章有关表面积和体积的计算公式，有的是初中相应公式的推广（如棱柱的体积公式），有的是直接给出方式（如球体的表面积和体积公式）。这种安排主要是考虑到学生的知识基础与接受能力以及《标准》的要求。在章末安排了“探究与发现：祖暅原理与柱体、锥体、球体的体积”，有兴趣的学生和学有余力的学生可以了解几何体表面积与体积公式的推导过程。

本章的教学要求定位在直观感知、操作确认、度量计算的层面；教学重点是空间几何体的认识，空间想象能力的培养。在第二章（点、直线、平面之间的位置关系）教学结束后，可引导学生从点、直线、平面的角度进一步认识空间几何体，加深对空间几何体的结构特征的本质认识，实现从整体到局部再到整体的过程。

（三）重视现代信息技术的应用

现代信息技术的广泛应用正在对数学课程的编写、数学教学的实施产生深刻影响。信息技术应用于数学教学，对课堂信息容量的增加、对提高学生学习数学的兴趣、为学生创设一个良好的学习环境等方面都有重要意义。

在本章，利用信息技术工具，可以给我们展现丰富多彩的图形世界，帮助学生从中抽象出空间图形。动态演示空间几何体的三视图和直观图，认识立体图形与平面图形的关系，帮助学生建立空间观念，提高空间想象能力。学好立体几何需要学生能够多动手画一画、做一做。从不同的角度观察空间图形，体会空间几何体在不同的视角下的结构特征。因此，有条件的地方应尽可能使用信息技术，帮助学生更好地学习，以达到更好的教学效果。

空间几何体各式各样、千姿百态。使用信息技术的目的是通过演示、作图、验证等帮助学生认识几何体的结构特征；帮助学生想象几何体的三视图和直观图，引导学生探究几何体的表面积和体积，促使学生将形象思维与抽象思维结合起来，树立空间观念，提高空间想象能力。