曲阜师范大学附属中学 孔凡代
一、问题中心的意义
（一）问题中心的内涵
数学究竟是由什么组成的？是定义？公理？定理？公式？证明？当然，它们都是数学的组成部分。但是，它们中的任何一个都不是数学的心脏，问题才是数学的心脏。“问题中心”意指课堂教学中，课程（教科书等）、教师、学生围绕问题所形成的系统，课程借问题形式展开，学生通过问题学习，教师经由问题组织。在数学活动中，“问题中心”是指教学始终把问题作为学生发展的载体，基于问题及其解决来建构知识，通过教科书或教师的示范性问题让学生学会自觉、主动地发现问题、提出问题、探究问题，形成问题意识。这里的问题既包括有实际情境的“大”问题、“难”问题、“高层”问题（通常意义上的“问题解决”中的问题），也包括教学过程（知识情境）中的各种各样的“小”问题、“旧”问题、“低层”问题。“问题中心”中的问题是一种广义的理解。
课堂教学中的问题从来源说，可分为三类：一是教科书提出的；二是教师启发学生提出的；三是学生在学习过程中自主提出的。从某种意义上说，教学就是不断地提出问题、解决问题又发现新问题的过程。因此，教师的一个重要任务就是通过示范、引导，教会学生自己提出问题。提出一个有价值的问题既是思维的深化，更是创新的开始。数学教学中，教师要善于创设问题情境，提出具有开放性、挑战性的问题，引发学生思考的浓厚兴趣，更要善于鼓励学生在数学活动中发挥自己的想象力和创造性，主动地发现问题、提出问题、探究问题，使课堂教学在学生独立思考、动手实践和合作交流的活动中不断地生成新的问题，在一个又一个问题的解决过程中培养学生的思维，促进学生主动地思考与实践，从而使学生的创新意识和创新能力得到提高。
以问题为中心组织教学，强调把学习设置到复杂的或有意义的问题情境中，通过学生的独立思考或小组合作，来学习隐含于问题背后的数学知识，形成解决问题的技能，并形成自主学习的能力。这种教学方式自然地关注了知识的发生、发展过程，学生思考和解决问题的过程，学生在亲历“数学化”“再创造”的过程中，就必然会加深数学概念的本质理解，改进学习方法，改善学习方式，从深层次上培养学习的兴趣和理性思维的习惯。
（二）为什么要以问题中心来推动数学课程改革
希尔波特（德国，1862－1943）等提出，要以问题解决为基础来改革数学教学和课程，为学生提供能够反映所要学的知识又能够与学生现有知识经验相关联的问题。通过解决这类问题，学生可以发现其中的关系，理解其中的新侧面。有证据表明，这样的教学比传统的单纯技能训练式的教学更能使学生对数学知识形成深刻的、结构化的理解，形成自己的、可以迁移的问题解决策略，而且对数学形成更为积极的兴趣、态度和信念。
《标准》也提出了“以学生的发展为本”的理念，学生的发展离不开丰富的问题及其解决。数学的基础知识和基本技能的掌握，数学思想方法、数学素养的获得，数学思维能力（包括几何直观能力、分析概括能力、逻辑推理能力、运算能力）的提高，应用意识和创新意识的发展，等等，无不与问题和问题解决密切相关。
以问题为中心组织课堂教学符合认知心理学的规律和高中学生的学习特点，有利于改善教与学的方式，使学生主动地学习。学生的数学学习活动不应只限于对概念、结论和技能的记忆、模仿和接受，独立思考、自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学等都是学习数学的重要方式。学生在独立思考或阅读自学中必然会发现疑惑，提出问题；学生围绕提出的问题自主探索、动手实践后，有些问题解决了，有些问题未能解决，再通过师生互动、生生互动的合作交流可以确认问题是否得到了真正解决，可以经由相互启发解决自主之不足。
二、教科书是怎样体现问题中心的
本版教科书在继承我国高中数学教材优良传统的基础上贴近时代、大胆创新，在“亲和力”“问题性”“思想性”“联系性”等方面特色鲜明，尤其是众多的恰时恰点的问题设计，给数学课程改革增添了一道亮丽的风景线。
（一）从现实情境中提问题
任何一个数学概念的引入，总有它的现实的或理论发展的需要。本版教科书对于每一个新概念的引入，都特别强调了它的现实背景、数学理论发展的背景或数学发展史上的背景。
如，本章章头图及章前言中，选取向日葵花盘、花瓣、种子、树木的分叉等为背景，使学生认识到数学来源于生活，生活中有数学问题，有助于学生了解全章内容，形成初步整体认识，也有利于学生绘制自己的心智图象。
本章的第1节由古代三角形数、正方形数引入数列的概念，第2节由数数、奥运会女子举重级别、水库水位、银行存款利息引入等差数列的概念，第3节由高斯算法引入等差数列的前n项和及其求法，第4节由细胞分裂、“一尺之棰，日取其半，万世不竭”、计算机感染病毒、银行复利计算引入等比数列的概念，第5节由古印度国际象棋趣事引入等比数列的前n项和及其求法。这种匠心独运的设计使教科书显得自然、亲切，学生感到知识的发展水到渠成而不是强加于人，从而有利于学生认识数学内容的实际情境和应用的价值。
（二）从概念、结论的形成过程中提问题
学生的数学思维和数学方法不是凭空产生的，数学概念、结论及其思想方法发生发展过程凝结了巨大价值，善用之，能使学生累积问题意识，领悟数学的本质，形成用数学的思想和方法来思考和处理问题的习惯。如，本章第3节“等差数列的前n项和的探究”。教科书逐步提出了下列问题组：
1.计算：1+2+3+…+100。高斯是怎样计算的？
2.从高斯的算法中，你受到了什么启发？怎样求1+2+3+…+n的和？
3.你能将高斯的算法推广到求一般等差数列的前n项和吗？用符号表述你的想法。
4.利用1+2+3+…+n的结论，你能求出a1+a2+a3+…+an吗？
（三）在知识的应用中提出问题
知识的应用并非专指实际情境下的应用，理论情境下的应用同样应得到重视。学生在应用知识时感到困难（尤其是离开了知识所在的相应章节），主要表现在面对所给出的问题背景，领悟不到涉及了哪些知识和方法，或者知识、方法的定向过于宽泛。教学中，应让学生体味到问题的解决策略和方法都隐藏在问题本身之中。如，第3节例3，由前n项和求数列的通项，本题通过三个系列问题（①求数列的通项公式；②判断这个数列是否等差数列；③求这个等差数列的首项和公差）给出了已知数列的前n项和求其通项的一般思路。
最后，教科书给出了一般性的问题让学生探究（学生自主提出这样的问题更妙）：如果一个数列{an}的前n项和为Sn=pn2+qn+r，其中p，q，r为常数，且p≠0，那么这个数列一定是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是什么？学生类比前面问题的方法，不难得出结论。
（四）在全章的总结与反思中提问题
本版教科书的章末小结一改过去的纯粹的结论罗列，通过一组组问题引领学生回顾与思考，更可能使学生学会自主反思，学会捕捉联系。如，你能从函数的观点认识数列吗？等差数列与等比数列的通项公式分别反映了什么函数关系？它们的图象各有什么特点？你能用不同的方法推导出等差数列与等比数列的前n项和公式吗？公式an=Sn-Sn-1（n＞1）在解决数列问题时有哪些作用？
知识点之间的联系通过框图的方式网络化，进一步提升了学生学好数学、用活数学的观念，为学生一般性的问题解决和创新描绘了良好的思维路线图。
另外，教科书在“观察与猜想”“阅读与思考”“探究与发现”“信息技术应用”等栏目也为学生如何发现问题、提出问题和解答问题提供了大量的、较好的示范。如，“斐波那契数列”和“九连环”为一般学生开阔了视野，也为喜爱数学的学生提供了深入探究的材料；而“购房中的数学”则使学生进一步感受数列与现实生活的联系；“估计2的近似值”则将数列与算法联系起来，通过算法给出了2的不足近似值构成的一个数列。
三、在教学中如何体现问题中心
具体实施教学时，建议以章为单位，统筹安排。学习《标准》，了解《标准》所涉及的内容和要求，理解《标准》选择相应内容的意图；研究教科书，了解教科书（包括例、习题）设计的问题情境，把握核心问题及其结构；从本校课程资源、本班学生数学实际出发，对全章问题实施细化设计或调整问题情境；视课堂教学中的动态变化进行随机设计。大致上说，每章的教学活动都要在教师的主导下，用好教科书的示范问题，教学生学会提出问题的方法，最终应使学生面对陌生情境主动地提出问题，自觉地判断所提问题的“好坏”，自主地寻求问题的解决策略和方法。
（一）深刻理解教科书的编写意图，善用教科书中的示范问题
作为累积了多年教科书编写经验的专业出版社，人教社的编写专家们在把握《标准》理念与内容、学生认知规律、数学教学的本质等方面极具深度，使教科书的科学性、思想性、时代性、现实感以及亲和力等得到很好的体现。特别是在问题情境的创设上，教科书结合具体的数学内容，把学生的个人知识、直接经验、生活世界作为重要的课程资源，关注了学生的问题意识；在知识形成过程的“关键点”上，在运用数学思想方法产生解决问题策略的“关节点”上，在数学知识之间联系的“联结点”上，在数学问题变式的“发散点”上，在学生思维的“最近发展区”内，通过“观察”“思考”“探究”等栏目，提出了恰当的、对学生数学思维有适度启发的问题，引导学生的思考和探索活动，使他们经历观察、实验、猜测、推理、交流、反思等理性思维的基本过程。如果教师注意理解教科书的编写意图，并善于利用，则必有利于发展学生的思维，有利于改进学生的学习方式。
“看过问题三百个，不会解题也会问”，教科书的这一独特的设计，为教师贯彻新的教育理念提供了实用的操作手段，也为学生学会提问提供了模仿的样板，使他们领悟到发现和提出问题的真谛，从而更加主动地学，富有探索性地学，逐步培养起学生的问题意识，碰撞出创新的火花。
（二）课堂教学中，教师启发引导学生提出问题
从生活情境入手，或者从数学基础知识出发，把需要解决的问题有意识地、巧妙地置于符合学生学习实际的基础知识之中，把学生引入一种与问题有关的情境之中，激发学生的探究兴趣和求知欲望。学生在尝试进行问题解决的过程中，常常难以把握问题解决的思维方向，难以建立起新旧知识间的联系，难以判断知识运用是否正确、方法选择是否有效、问题的解是否合理。这就需要教师进行启发引导。
在课堂教学活动过程中，教师不仅要创造性地设计教学过程，洞察课堂中发生的各种问题，还要准确地判断发生问题的原因，能动、灵活、有效地处理问题，或引导学生发现问题、提出问题，使他们认真观察具体实例中反映的数量关系或几何关系，积极主动地开展实验与猜想、归纳与推理的活动，思考问题的本质，捕捉数学的不同分支和不同内容之间的联系、数学与日常生活的联系、数学与其他学科的联系，探究解决问题的方法，使学生通过自己的探索思维来概括数学概念，获得数学结论，多方寻求答案，破解疑惑，领悟数学思想，理解数学本质。如第3节例1──“校校通”中的经费投入问题，教师可引导学生提问：
1.从2001年起的未来10年内，该市每年用于“校校通”工程的经费是多少万元？
通过填写表格，实际操作，让学生真实感受到隐藏在问题之中的等差数列模型：500，550，600，650，700，750，800，850，900，950。这是以500为首项，50为公差的等差数列。
2.在这个等差数列中，已知的是什么？求的是什么？你是从问题的哪些叙述中“读”出来的？
再如例2，用待定系数法求前n项和。教师引导学生提问：
1.怎样将条件中的“前10项的和是310”、“前20项的和是1 220”符号化（用数学式子表达）？
2.要确定这个等差数列的前n项和公式，需先求出哪些量？
通过这两个问题的提出，使学生自然地在“等差数列的前n项和”与“方程（组）”之间建立联系，从而自觉地利用方程的思想和待定系数法求解。作为解题后的反思，教师可继续提出：
对于等差数列的相关量a1，an，d，n，Sn，已知其中的几个量就可以确定其他的量？
（三）学生自主活动中，尝试自己提出问题
课前，教师应根据问题解决的难易程度，同时考虑学生的心理特点，精心设计或选择由难度不同的问题组成的问题组。通过问题组，引导学生开展探究式学习，学生会创造性地自主学习或合作学习，对同一问题，能从不同角度、用不同方法进行全方位的思考和揭示，从而提高学生学习的主动性，形成坚韧不拔、勇于探索的意志品质。
考虑到课时的限制，当堂不能完成的可留至课后，或安排相应的问题供学生继续探究。这样，通过学生亲身实践、主动思维，自觉寻求问题的解决方案，用自己的话去解释，用自己的语言去表达，用自己的方法去解决，用自己的经验去建构，将问题变成习题解答，变成学习心得，变成小论文，变成实验、调查或研究报告等，使学生经历较为完整的分析问题、提出问题、解决问题或明确问题的过程。
当然，该环节中教师也并非“无所事事”，不需要集体启发引导了，相反，需要教师针对不同层次的学生给予更多的特殊关照。以下以学生探究第3节例4来说明。
另外，在进行章节复习时，如果让学生再回头阅读章头图和章前言，想想是否回答了那里的问题，怎样分别解决的，必将收到更好的效果。
四、让学生学会提问题应作为数学课改着力的方向
今年1月9日，胡锦涛主席在第四次全国科技大会说，中国未来15年科技发展的目标是2020年建成创新型国家，使科技发展成为经济、社会发展的有力支撑。建设创新型国家需要创新型人才，作为最有利于培养学生创新精神的数学课堂教学，理所当然地必须自始至终关注问题意识，要让我们的学生学会提问、善于提问，“凡事问个为什么”，用自己的问题和别人的问题去带动学习，使学习更主动、更生动、更富有探索性，逐步孕育创新精神。
以问题为中心组织课堂教学为教师落实课程改革的新理念提供了操作性较强的方法，也为学生新、旧经验的同化和顺应提供了理想的平台。教学中，教师要以民主的作风、和蔼的口气，鼓励学生质疑、争论，提倡独立思考、自主探索，务使学生体会到，提出问题是创新的开始，也是学好数学的有效途径。通过问题解决来学习，基于问题解决来建构知识，是各种探究性学习活动的重要特征，系统的数学知识体系是问题及其解决的保障，问题解决能力的培养又为学生学习数学知识提供了内在动力。
课程改革的实践使我们认识到，问题中心就是以学生的发展为中心，问题中心就是不断地发现问题、提出问题、解决问题，问题中心有助于培养学生的创新意识和创新精神，问题中心能够促进创新型国家目标的实现。当然，培养学生的问题意识、提出问题的能力是数学课程改革中的实践性很强的作业，也是一项长期、精细又很神圣的任务，对此A版数学教材已经作出了积极的、非常有意义的探索，接下来该是我们一线教师大显身手的时候了。
