──对数学B版教材的教学体会

山东省济南市章丘第四中学　　赵爱梅

我们于2004年9月参加了高中数学课程改革，使用人教数学B版教材，学习了必修1至必修4的内容，经过近一年的实践，可以说：机遇与挑战并存，探索与收获同在。

一、对人教数学B版教材的认识

人教数学B版教材，继承和发展了《中学数学实验教材》的特色，返璞归真，努力揭示数学概念、法则、结论的发展过程和本质；讲逻辑推理，更讲道理，通过典型例子的分析和学生的自主探索活动，使学生理解数学概念、结论逐步形成的过程，体会蕴涵在其中的思想方法，追寻数学发展的历史足迹，把数学的学术形态转化为学生易于接受的教育形态。

1.教材遵循“以学生为本”的教育思想，注意展现知识的发生和发展过程以及内在的联系。让学生了解概念、结论产生的背景，引导学生发现结论、独立思考，注重说理，注重过程。关注教师教法和学生学法，在书中安排了“探索与研究”“思考与讨论”，页边空白处标有“？”的“想想看”，在每章总结中有“思考与交流”，把每章 的主要内容用问题形式列举出来，让学生自己总结。练习和习题分A、B组，供实施不同教学要求时选用。

2.注意“温故知新”，降低各章知识的起点，注意初中内容与高中内容的衔接，例如一次、二次函数。

3.改变编排顺序，把对几何体的学习放在学习直线、平面位置关系之前，比较符合学生的认识规律；改进了初、高中知识的衔接；增强了立体几何与实际生活的联系，学生通过观察实际中的几何体、制作模型、观察计算机演示的图形，可以体验立体几何的知识源于实践，在直观理解空间点、 线、面关系的基础上归纳、抽象点、线、面之间的位置关系。

4.注意从实例引入新内容。列举一些数学在现实生活、科学和生产中的实际的例子，培养学生用数学解决实际问题的意识和能力。

5.编制了教学课件。例如，使用几何画板画函数图象、展示空间点、 线、面关系的课件，实现动态、交互式的教学方式或学习方式；“Scilab”软件为学生学好算法提供了强有力的支撑。

6.重视数学文化的教学。

二、我们的探索

新课程强调 “以人为本”的教育理念，倡导“自主、合作、探究”的学习方式，但是如何实施“自主、合作、探究”，如何转变教师的教学方式和学生的学习方式，是摆在我们面前的一个重要课题。我们学校从2002年开始在诱思探究学科教学论指导下，开展了“导学达标”和“主体探究”两种模式的课型研摩，这两种模式遵循“探索—研究—运用”即“观察—思维—迁移”的三个层次要素，注重“情境—情意”“活动—体验”“反馈—同化”三个贯穿要素，符合“以学生为中心的教育主体观，以思维能力为中心的教育质量观，以活动为中心的学生发展观”，为我们较快适应新课程的要求提供了强有力的支持，通过理论建模，一课三摩，已经初步建立了新授课、复习课、讲评课模式，现正朝着学科特色化、个性风格化、常态化的方向努力。

“主体探究”课型使用范围： 概念、定理、公式、法则等具有较高难度的内容。“导学达标”课型使用范围：知识较为分散，内容较为浅显的新授课；复习课中构建知识系统部分。“导学达标”主要程序：读—思—议—悟—练（学生阅读教材，检索信息，提出问题；对阅读发现的问题及教师提供的思考题进行独立的思考；小组讨论合作学习；将知识归纳成网，并总结归纳出规律和结论。教师要拟定“导学提纲”，以情激学，以馈矫学，因势导学，以查促学）。

依据“教师为引导，学生为主体”的诱思教学思想、“体验为红线，思维为主攻”的“探究教学过程论”进行教学设计，遵循“探索—研究—运用”即“观察—思维—迁移”的三个层次要素，注重“情境—情意”“活动—体验”“反馈—同化”三个贯穿要素，符合“以学生为中心的教育主体观，以思维能力为中心的教育质量观，以活动为中心的学生发展观”，教师作学生学习的引导者、组织者、促进者，使学生以探索者、研究者的身份，动脑思、动手做、动眼看、动口议、动笔写、动耳听，全身心地参与学习活动。按“问题解决”形式组织概念、定理的探索发现过程，即教师通过“问题”的组织和设计，把学生带入“问题”情景，然后使学生围绕“问题”展开活动。在这个过程中，教师主要是引导学生学习，让学生经历“再发现”“再创造”的过程。作为立体几何的教学，由实物到模型再到图形、由文字语言到图形语言再到符号语言，使学生由感性认识上升到理性认识，经历直观感知、观察发现、归纳类比、空间想象、抽象概括的过程，进行符号表示、演绎证明、反思建构，在对“问题”的不断探索和解决中主动学习，直接体验、探究，通过讨论，加深和拓广对问题的认识，在“问题解决”的过程中，养成独立思考、质疑、探究的习惯，获取知识、发展能力，顺利完成学习目标。

“导学达标”和“主体探究”两种模式的课型主要关注以下几个问题。

（一）创设情境，激发情意

创设学习情境可以是现实生活中的应用事例，可以是数学故事及数学史，在数学教学中大量而广泛地被采用的一般是创设问题情境，以设疑、激疑、导疑、释疑来激发学生学习的情意，置学生于“愤悱”情景之中，激发学习兴趣。

创设纠错情境：针对学生常犯的一些隐晦的错误，创设纠错情境，引导学生分析研究错误的原因，寻找治“错”的良方，弥补学生在知识上的缺陷和逻辑推理上的缺陷，增强思维的严谨性，以提高解题的准确性。

创设质疑情境，鼓励学生自主质疑，去发现问题，大胆发问，让学生由机械接受向主动探索发展。

例如在指数函数教学中，可让学生折纸（如一张8开纸），折纸之前让学生猜可以折多少次（第9次就很难折了）；也可以提出问题：A先生从今天开始每天给你10万元，而你承担如下任务:第一天给A先生1元，第二天给A先生2元，第三天给A先生4元，第四天给A先生8元，依次下去......A先生要和你签订15天的合同，你同意吗？又A先生要和你签订30天的合同，你能签这个合同吗？让学生体会指数爆炸及指数函数在实际中的应用。

（二） 问题意识

学习方式的转变是这次课程改革的主要目标之一。新课程倡导的学习方式是自主探索、合作交流与动手实践。合作交流、动手实践也常常是为了探索，因此 “探索”处于核心地位。从一定程度上说，抓住“探索”这个龙头，就掌握了新课程教学的主动权。这就得通过问题来学习。

教师只有把教学内容创造性地进行加工，在知识形成过程的“关键点”上，在运用数学思想方法产生解决问题策略的“关节点”上，在数学知识之间联系的“联结点”上，在数学问题变式的“发散点”上，给学生提供一组有一定坡度要求、恰当的、对学生数学思维有适度启发且处于他们的“知识最近发展区内”的问题，使学生既不是随手可得，也不是望尘莫及，而是“努力跳一跳便能够得到”，以实现新概念与学生原认知结构的沟通，从而引导学生有兴致地参与进来，完成从一个思维阶段向另一个思维阶段的完整过渡，才能使学生最终实现对新概念的理解和掌握。

在问题设计时，不但要从加强学生基础的角度出发，设计常规题，还要从培养实践能力出发，设计数学实验题；从思维批判性的角度出发，设计迷惑性问题；从培养求异思维的角度出发，设计开放性问题；从优化思维品质的角度出发，设计探究性问题，满足各层次学生的需要。

教师所设置的“问题”要根据教材的内容，问题应充分体现教学目的；问题中包含的数据能组合、分类、制表和分析，并可以借助于模型或图象解决；问题的解答要包含有明显的数学概念和思想内涵，并面向全体学生，不偏不怪；问题具有开放性，能够引起共鸣，能够引导学生去探索，具有一系列的智力目标，可以用学生已有的知识和方法进行推广或扩充到各种情形。

培养学生提出问题的意识。爱因斯坦曾说过：“提出一个问题往往比解决一个问题更重要，因为解决问题也许仅仅是一个数学上的技能而已，而提出新的问题，新的可能性，从新的角度去看待旧的问题都需要创造性的想象力。”因此，提出问题是探究性学习要培养的主要能力。要有培养学生提出问题的意识，注意教给学生提出问题的方法，如归纳推测、类比联想、逆向思考等，让学生在问题解决中发现新问题，提出新问题，培养问题意识和创新意识。

（三）合作学习

“学会合作”已经成为现代人生存的必要条件，也是现代教育的基本目标之一。在小组合作学习中，既要有师生间的互动，更要有学生间的互动；既有行为互动，也有思维互动；既有知识交流，也有情感的交流与合作。每个学生都有平等的机会在各自的小组中讨论并解答问题，全班学生都能广泛参与，好、中、差学生都学有所得。在教学中要努力创设一种合作学习的氛围，促进师生之间、学生与学生之间积极互动关系的建立，使他们在互动中竞争，在互动中发展。生生互动提供了更多的主动参与机会，有利于学生主动性和创造性的发展，由于学生对所学知识已有初步认识，所以通过师生交流，小组讨论形成共识，可使知识体系重新建构与整合，形成知识链。这样的合作交流，可以培养学生批判性思维的能力，将学生的思维方式充分展现并得以及时改变和提高，达到拓展思维空间的目的。

例如学习必修4第二章“向量共线的条件与轴上向量的坐标运算”时，由于后面部分概念、公式较多，设计成填空题式学案，学生先阅读课本再填学案，然后讨论教师提出的三个问题：（1）轴与数轴有什么区别与联系？（2）轴与数轴上向量的坐标如何定义？有什么区别？（3）、、、有什么区别？通过合作交流，对几个容易混淆的数学概念、似是而非的问题，澄清了错误的认识，增进了对问题的深刻理解。

也可以选择答案不唯一或解法多样的问题让学生进行讨论，这样能使他们通过讨论提出各种不同的解法，举一反三，开拓思路，选择最基本的方法或最佳方法。对一节课的小结，学生可通过分组讨论从知识、题型、方法及数学思想、需注意的问题四方面进行总结与反思；章节总结主要从学习要求、知识结构、知识要点、学习时需注意的问题、方法和典型题目、数学思想七个方面总结，便于养成思维的批判性、深刻性与广阔性。

小组合作学习对教师提出了更高的要求：要对学情有透彻的了解；对讨论内容有深刻的把握；有驾驭讨论进程的本领。要调控好讨论的方向，讨论后要作出明确的结论。

（四）教师的角色转变与作用

学生的数学学习活动不应只限于接受、记忆、模仿和练习，高中数学课程应倡导自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学等学习数学的方式。这些方式有助于发挥学生学习的主动性，但这对教师提出了更高的要求，学生的学习过程要成为在教师引导下的“再创造”过程，教师要充当指导者、合作者、组织者、促进者和助手的角色与学生共同经历知识探究的过程。

教师要引导学生的思考和探索活动，使他们经历观察、试验、猜测、推理、交流、反思等理性思维的基本过程。只要问题设置恰当、设疑贴近学生实际，设置恰当的台阶，同时保证学生适度的思维空间，学生会表现出超出预料的探究热情，把自身的潜力挖掘出来，真正从“要我学”到“我要学”，从“我学会”到“我会学”，形成锲而不舍的钻研精神和科学态度，形成良好的思维品质。

（五）“主体探究”课型应注意的问题

1.一节课有一个中心探究点，选择重点知识（概念及定理、公式的应用）、易错问题、数学思想方法为中心探究点，围绕概念的内涵与外延设计问题，对易错问题可以错解形式出现，设陷阱，引导学生探究发现错因，从而归纳需要注意的问题。

2.练习题应由易到难，有递进关系，检测题以中档偏下为宜，尝试练习题要简单；能力题要典型，以题悟道；达标题分A、B两组，满足不同程度学生的需求。

3.探究过程设计的台阶要恰当，既让学生能“跳起来”够得着，又要让学生有思考空间。

4.让学生做课堂的主人，要创设最佳的教学情境，使学生以探索者、研究者的身份，动手做、动眼看、动口议、动耳听、动笔写、动脑思，独立地、全身心地参与各种教学活动。

5.注意情境创设的持续性，以使学生的情意充满整节课；反馈与矫正要贯穿始终。

三、教学案例──“平面与平面垂直”（人民教育出版社B版《数学2》第一章1.2.3。“主体探究”课型）

（一）创设情境

由上节内容引入，再现立体几何位置关系中较简单位置关系与较复杂位置关系的转化关系，为本节内容做好铺垫，提出问题1：

（1）线面垂直是如何定义的？

（2）线面垂直的判定定理的文字简述、符号表示、蕴涵怎样的数学思想？

学生积极回忆，并回答问题；教师强调转化思想，提出本节课的学习任务，板书课题。

（二）概念形成

由于教材删去了二面角，所以平面与平面垂直的定义不好理解，可设计问题2：

（1）你能从身边发现平面与平面垂直的实例吗？

（2）从长方体中你能发现平面与平面垂直的例子吗？

动手操作：利用你手中的长方形纸片MNPQ，C、D分别为MN、PQ的中点，以CD为折线进行折叠，使折叠后两部分所在的平面相互垂直。

学生观察实物、模型，动手操作，互相协作，亲身体验面与面的垂直关系，由一个学生到前面演示并说明：折叠后两部分所在的平面为什么相互垂直。适时引导学生进行深层次的思考得出：“如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直，又这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线互相垂直，就称这两个平面互相垂直。”多媒体动态演示课件2126。

教师指导学生看书，找出定义中的关键条件，并用符号表示。

（以实际例子引入，激发学生学习的兴趣。多媒体动态演示可以加深学生对概念的理解。由实物到模型再到图形，使学生由感性认识上升到理性认识。）

（三）概念深化

提出问题3：“你能作出定义中的第三个平面吗？”和问题4:

（1）你能类比线面垂直的判定定理得出判定面面垂直的方法吗？

（2）若AB⊥β，AB∩β=B，α过β的垂线AB，则α与β有怎样的位置关系？为什么？

教师引导学生在两个平面的交线CD上任找一点B，在两个平面内分别作AB⊥CD、BE⊥CD，则AB、BE所确定的平面即为所求。问题3有利于学生深刻理解概念，促使学生从本质上掌握概念，为下一步的判定定理的证明作铺垫。

教师提出问题，学生先独立思考，再小组讨论，由代表回答，其他学生补充完善，教师演示建筑工人砌墙时用铅锤线检验墙面是否与地面垂直，引导学生观察门总是与地面垂直及长方体的侧棱与底面垂直的事实，引导学生用文字语言叙述得到的结论，给出图形，然后用数学符号表示，引导学生用定义给出证明。引导学生用文字语言简述判定定理，体会蕴涵在内的转化思想。

教师提出问题5：

（1） 过一个平面的垂线可做多少个平面与已知平面垂直？

（2） 过平面外一点可做多少个平面与已知平面垂直?

（3） 过不在一个平面内的直线可做多少个平面与已知平面垂直？

问题6：如上图所示：若α⊥β，l⊥CD，交CD于B，则α与β有怎样的位置关系？为什么？

学生思考讨论后回答，用文字语言叙述得到的结论，用数学符号表示性质定理，联系线线垂直与线面垂直的转化，得到线面垂直与面面垂直的转化。两平面垂直的性质定理“如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面”是由两平面垂直得出直线与平面垂直的重要根据之一，也使我们再次体会到复杂的位置关系的性质体现为较简单的位置关系的形式。

（通过问题的设置，充分发挥学生的空间想象力以及协作精神，不断探索，始终处于问题探究、辨析思考的学习气氛之中。由实物到模型再到图形，由文字语言到图形语言再到符号语言，使学生由感性认识上升到理性认识， 通过观察、猜想、归纳、类比和论证，养成独立思考、质疑、探究的习惯，获取知识，发展逻辑思维能力、实践和创新能力。）

（四）概念应用

例题1：已知：Rt△ABC中，AB=AC=a，AD为斜边BC边上的高，以AD为折痕使∠BDC为直角。

求证：（1）平面ABD⊥平面BDC；

（2）平面ACD⊥平面BDC。

例题2：已知，平面α⊥β，在α与β的交线上取线段AB=4，AC、BD分别在α与β内，它们都垂直于交线AB，且AC=3，BD=12，求CD长。

教师演示图形，引导学生思考分析讨论、回答，然后写过程，最后与课本对照。

引导学生小结处理折叠问题的策略：关注平面图形及立体图形中的改变量和不变量。

小结应用平面与平面垂直的判定定理解题的关键在于找与一个平面垂直的直线，另一个平面经过这条直线，关键找线，线在面内。

教师引导将主要图形分割出来，还是前面的典型几何体，即各面都是直角三角形的三棱锥。

（例1是直观演示与抽象概括相结合，独立思考和相互合作讨论相结合。充分调动学生积极性，激发学习兴趣。在学生书写解题过程中，培养逻辑思维能力和运用数学语言的能力。例2是教师引导将主要图形分割，主要是渗透联系、转化的辩证观点。解题时注意把复杂图形分解为基本图形。）

对教材第59页练习A第4、5题，练习B第2题，先由学生交流思路，再证明，教师投影学生的证明，引导纠正。

（五）总结反思

学生讨论交流，自主总结归纳，从知识、题型与方法及数学思想、需注意的问题三方面进行总结，通过总结与反思，选代表回答，教师引导其他学生补充完善。

教师强调，投影数学思想：转化与化归思想；由实物到模型再到图形，文字语言、图形语言、符号语言的转化，空间问题转化为平面问题，线线垂直、线面垂直、面面垂直的转化。

需注意的问题：运用定理的关键是寻找问题中存在着的线面垂直关系，定理的条件及解题的规范。

（使学生养成归纳总结的习惯，不断提高自己的反思、构建能力，使认知结构更加灵活、深刻、系统。）

四、建议

人教数学B版教材，与《中学数学实验教材》比较，降低了起点、难度，但与原人教版教材比较，内容偏多、偏难，高一第二学期时间较短，很难完成两个模块，尤其是我们的A层班（普通班），自主合作探究学习方式很难推广（主要在B、C层班推广），训练时间很少，这给我们的落实带来了相当大的困难。学生普遍感到累，我也感到困惑：新课程应该减轻学生负担，怎么事与愿违？我觉得，这个问题应很好地研究课标和高中学生实际。特提出如下建议：

1.教材的理论性较强，学生有疑问：“现在的高考趋向容易，学得这么难，做题这么难，有无必要？”建议三角函数降低难度。

2.建议在总结中增加例题及需注意的问题。

3.例、习题的配备。基础习题不够全面，有的习题解题过程太复杂，习题有的有错误。

4.锤炼语言，使其简练又严谨，统一符号。

5.建议增加课题学习，以促进学生的研究性学习。可以一个必修模块设置两个研究性学习课题（与所学知识有关且又有延伸拓广，如摩天轮中的数学问题、税收问题、正方体的截面问题等）。

6.模块3的第二章为“统计”，第三章为“概率”，而概率应当以分类加法计数原理、分步乘法计数原理、排列组合为基础。在上述内容都未作介绍的情况下，直接学习概率是不妥当的。现行课本中概率问题求解必须先写出基本事件空间，这样费时费力，况且数目一旦大点学生也很难写全，不利于学生接受。建议应先学排列组合等相关知识（至少应先学分步分类计数原理），再学“概率”，而“统计”一章放在“概率”之后似乎更妥当，便于使学生理解三种抽样方法的共同点：每个个体在抽样过程中被抽到的可能性都相等。

“不等式”放在了模块5，但平均值定理及不等式的性质常用，建议提前。“立体几何初步”与其他知识联系不大，可放在后边。