新课标、新理念、新教材下的新认识

──高中数学新教材“平面向量”施教实践与思考

当前，面对经济、文化飞速发展的21世纪，高素质人才的培养与造就，已成为面向未来，支撑我国经济发展，振兴中华民族的重要条件。因此培养人才的重要知识储备阶段的高中数学教学的改革已迫在眉睫。数学B版教材，以其新颖的面貌呈现在我们师生面前。生动贴题的插图设计，比例适中的布白安排，朴实通俗的语言解析，源自生活的亲和实例，追踪科技的前沿意识，渗透学科的交融理念，更有知识内容、思维方法上的科学调整，以及富于梯度的练习题满足了不同层次学生的需要，另外散见各章节中的启迪思维、激发兴趣的“思考与讨论”“探索与研究” ……无不体现出新课标所倡导的探究、创新理念，对学生未来发展的人文关注。

笔者在一年的施教过程中，深切地感受到上述令人振奋的改观，感触颇丰，深有收获。现仅就“平面向量”中几个知识点的教学谈一点个人粗浅、具体的看法，权作引玉之石。

一、位置的安排

教材将“平面向量”置于“三角恒等变换”之前，笔者认为这不单是知识块层面上的简单前移，编者意图在于深一层突出“向量”这一新颖有力的工具。作为登陆高中教材时间不长的知识内容与相应的思维方法，“向量”已显示出蓬勃的生机和活力，它的触角遍及数学的许多侧面，体现出广泛的应用性、独特性、便捷性和易于操作性，故理应让学生在意识上尽早接受认同，“早认识早受益”。

作为例证，教材在随后的“两角差的余弦公式”上，就是用向量的数量积给予了巧妙的推导。至于公式C的得出，笔者认为过程中需要特别明确以下等式的道理：。通过领会理解此关系式，学生能更充分地区分一般角与向量夹角的不同，从而更透彻地认识“向量夹角”的内涵，对学生全面把握“向量的运算”大有裨益；另外可根据具体教学实际，适当启发学生运用以前教材上的“两点间的距离公式”思考、讨论推导公式C_α+β。一公式两证法，类比教学，拓宽了学生视野，加深了对知识、方法的领悟。

二、单位向量的解析

A.外心 B.内心

C.重心 D.垂心

在教学此部分内容时，可以适当地引入此类例子，即进行了练习巩固又能增强学生的学习自信心。

三、运算律的证明

“向量数量积的运算律”是我们充分应用“向量”这一有力工具的基石，“向量”作为中学数学中一种全新的思维方法，运算律是它的核心支撑之一。于是深刻领会运算律显得如此重要。在教与学活动中，部分师生对此认识不够，有意无意中存在一种轻视心态，简单地认为会用即可。尤其对分配律的证明不愿做过多的论证，而这恰恰失去了一次探幽的良机，实属遗憾。在此，笔者仅就“分配律”的证明谈一点个人体会。

“分配律的证明”充分体现了两种重要的数学思想──转化与化归：向量—数量—向量；一般—特殊—一般；数形结合：画出向量的和、正射影。“向量”是一种全新的概念，要研究它的运算，只能利用它的定义将其构建在已有知识框架之中，具体说就是转化到已知的实数运算中，最后化归到“向量”的运算；分析“一般向量的数量积”的运算，可先通过特殊的如“单位向量”的运算，利用正射影，然后过渡到“一般向量的运算”。

第一步：运算（a+b）e，（e是向量c的单位向量）。

第二步：将特殊的单位向量推广到一般的向量。

只需将上等式的两端同时乘以向量c即可得“平面向量数量积”的分配律。

其实，“平面向量数量积”的交换律、结合律、数乘结合律，都值得我们费点时间用以解析，可能只是短短的几分钟，但是引领学生更深入地领会了这种特殊新概念的内涵，更广泛地认识了它的外延。回避，只会丧失许多欣赏数学思想的良机；正视，则能更多地领略数学王国的环环相扣、天衣无缝的特有的严谨性，体味数学内在的深沉的魅力。明晰知识的来龙去脉，正所谓“知其然，知其所以然”，理清知识的发生、发展过程、变化方向，对学生的影响是长远和持久的。

教学时，我们补充了如下两个常用的公式：

（a±b）²=a²±2a·b+b²；a+ba-b=a²-b²。

将其纳入平面向量的运算率体系中，加以理解、记忆，对学生的学习有极大的帮助。

四、航行问题的向量解法

有关飞机、轮船的航行速度问题可谓比比皆是，本教材在“平面向量”也加入了相当的题目练习。一般而言，师生并未将其列入难解之列，认为不过是常规的向量合成与分解而已。而笔者在教学实践中感觉问题决非想象中的平淡无味，相反，静心品味有收获。

1.驾驶方向与行进方向

通常情况下，这是两个含义不同的概念，应给予明确的交代，而绝大多数学习资料在表述题意时，往往显得含糊有余而区分不足，给学生的审题造成了一定程度的不清与混乱。如数学4第131页的练习A第1题：某飞机在无风时的速度是320 km/h。现在飞机向东北飞行，而风速是向北80 km/h。求这架飞机实际的航行方向和航速。

联系上下文可知，编者的东北意图是指飞行员的驾驶方向是东北，即机头的朝向是东北方向，而飞机整个机体的实际航行方向不是东北，而是受风的影响的，是东北的320 km/h与风向的80 km/h的合成，明确了这点，则思路容易寻到。

2.风向的理解与应用

如“东南风”是刮向“西北方向”的，即图（1）。