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──浅谈生活实例的运用
山东省实验中学 何 娟
贯彻课改的新理念，结合新课改半年多的教学实践，我深深感到：善于培养学生的内在动机，使学生喜爱学习，师生互动，才是教学成功的法宝。尤其是概率统计的学习，学生对跟教学相关的生活实例表现出浓厚的兴趣，真正体验到了学习数学的乐趣和价值。本文就概率统计教学中如何恰当运用生活实例谈谈自己的一点体会。
概率统计作为实用性数学课程，其内容具有应用的广泛性，可以运用于解决社会生产、社会生活以及其他学科中的大量实际问题；运用于训练人的思维，要使学生懂得数学的价值，对自己的数学能力有信心，学会用数学思想方法解决实际问题。教学中，应着重注意以下三点。
一、教师应通过日常生活中的大量实例，使学生更好地理解随机事件发生的不确定性及频率的相对稳定性，帮助学生弄清在日常生活中对身边所发生的一些问题存在的错误认识。比如我们经常会遇到以下问题
1.随机与投保
古语：“天有不测风云，人有旦夕祸福”，说明了生活中的风险具有不确定性，导致保险业应运而生。若保险期内风险频繁发生（投保意外伤害险的人在保险期内频繁受伤），则保险公司不就亏本了吗？请同学们课前调查，课上交流各自的调查结果，展开讨论并作出回答。答案显然是肯定的。我们知道，随机事件呈现出一定的规律性。虽然单个人遭受意外伤害具有不确定性，但考察大量的人，遭受意外伤害的频率具有稳定性，根据统计结果，保险公司可以制定保险费与损失赔款的额度。长远看，投保人越多，保险公司的实际赔付就会越接近预期结果。
2.天气预报
天气预报这样表达：“明日有雨的概率为60％”，这个60％意味什么？应鼓励学生发表自己的看法。对这句话有很多错误的理解，比如“明天有的时间下雨”“明天有的地区下雨”等等。最后教师归纳概括：考察历史上的天气记录，如果和明天在气压、云层、温度等天气条件方面大致相同的天数是100天，其中有60天降雨了；不能从概率的统计定义解释即用频率近似作为概率，因这一事件不能进行大量重复实验。如何理解“虽然预报今天济南的降水概率是，北京的降水概率是，但是济南今天降雨了，北京没降雨”这一现象？从概率的角度解释，“今天降雨”是一个随机事件，今天济南的降水概率是，北京的降水概率是，只是说明今天北京降雨的可能性比济南大，并不表示今天北京一定下雨。如果济南今天降雨了而北京没降雨，即可能性较小的事件发生了而可能性较大的事件却没有发生，正是随机事件发生的不确定性的体现。
3.生日问题
某班级有n（n≤365）个人，至少有两个人的生日在同一天的概率为多大？对不同的值，计算的相应的概率值如下表：
上表所列的答案是足以引起许多人惊奇的，并不如大多数人直觉中想象的那样小，而是相当大。从表中可看出，当班级中的人数为23时，就有半数以上的班级会发生这样的事情，而当班级的人数达到50时，竟有的班级会发生上述事件。（以后选修课我们再学习如何计算）。当然，这里讲的“半数以上”“有97%”都是就概率而言，只有在大数次重复下（这就要求班级的数目相当多），才可理解为频率。
二、教师应让学生通过实例理解古典概型的特征：每一个实验结果出现的等可能性，让学生初步学会把一些实际问题转化为古典概型，从而通过正确合理的推断来认识日常生活中遇到的事情
下面有一个经典而有趣的问题：抽签的公平性。
人们常用抽签的方法决定一件事情，先抽还是后抽（后抽人不知道先抽人抽出的结果），对各人来说是公平的吗？例如在10张彩票中，有2张奖票，先有甲后有乙各抽一张，看谁能中奖。教师事先准备好口袋和球，让学生分组进行摸球来模拟试验，汇总全班的数据后，得出直观上的认识。
当今我们面对的实际上是一个数据社会，生活中各种各样的数据应接不暇，一些伪科学正是利用数据搞欺诈。为此数学家呼吁，多向民众普及概率统计一类的数学思想和观念非常必要。
三、教师在统计教学中应通过对一些典型案例的处理，使学生经历较系统的数据处理全过程，在此过程中学习一些数据处理的方法幷运用所学知识和方法去解决实际问题。本章中有几处学生感到疑惑的地方，可通过鼓励学生查阅相关内容的现实例子，课上交流讨论，寓解疑于趣味之中
（一）如在学习分层抽样时，常常需从总体中剔除某个体才能按人数比例恰当分配，这样在解决实际问题中可行吗？
下面来看一个历史问题。
选票分配问题属于民主政治的范畴。这一问题早已引起西方政治家和数学家的关注，并进行了大量深入的研究。那么，选票分配的基本原则是什么呢？首先是公平合理。要做到公平合理，一个简单的办法是，选票按人数比例分配。但是会出现这样的问题：人数的比例常常不是整数。怎么办？一个简单的办法是四舍五入。四舍五入的结果可能会出现名额多余，或名额不足的情况。因为有这个缺点，美国乔治·华盛顿时代的财政部长亚历山大·汉密尔顿在1790年提出一个解决名额分配的办法，并于1792年为美国国会所通过。美国国会的议员是按州分配。汉密尔顿方法的具体操作如下：取各州份额的整数部分，让每个州先拥有一定议员；然后考虑各个的小数部分，按从大到小的顺序将余下的名额分配给相应的州，直到名额分配完为止。汉密尔顿方法看起来十分合理，但是仍存在问题。按照常规，假定各州的人口比例不变，议员名额的总数由于某种原因而增加的话，那么各州的议员名额数或者不变，或者增加，至少不应该减少。可是汉密尔顿方法却不能满足这一常规。1880年，亚拉巴马州曾面临这种状况。人们把汉密尔顿方法产生的这一矛盾叫作亚拉巴马悖论。汉密尔顿方法侵犯了亚拉巴马州的利益。从1880年起，美国国会就针对汉密尔顿方法的公正合理性展开了争论。因此，必须改进汉密尔顿方法，使之更加合理。新的方法不久就提出来了，并消除了亚拉巴马悖论。但是新的方法引出新的问题，新的问题又需要消除。于是更新的方法，当然是更加公正合理的方法又出现了。人们当然会问，有没有一种一劳永逸的解决办法呢？
这个问题从诞生之日起，就一直吸引着众多政治家和数学家去研究。这里要特别提出的是，1952年数学家阿罗证明了一个令人吃惊的定理──阿罗不可能定理，即不可能找到一个公平合理的选举系统，这就是说，只有更合理，没有最合理。原来世上无“公”。阿罗不可能定理是数学应用于社会科学的一个里程碑。阿罗不可能定理不仅是一项数学成果，也是十分重要的经济成果。因此，作为一名数学家，于1972年获得了诺贝尔经济奖。选举问题吸引经济学家的因素主要有两个方面：策略与公平性。而策略的研究又引出了博弈论。
（二）对用样本的频率分布估计总体的分布，学生难以联系实际。为了让学生更好地理解它的意义，可选取学生收集的典型实例介绍
1.柏拉图著作的系列排列
柏拉图作品的问世已超过22个世纪了，他的哲学思想以及优美的文体被广泛地研究着。遗憾的是，没有人提及，或者是没有人知道他的35篇对话，6篇短文和13封信件写作的时间年表。柏拉图作品时间年表的问题19世纪就已经提出来了，但没有什么进展。几年以前，统计学家开始着手这个问题，现在已给出了一个看起来很合理的解答。所用的统计方法是从求出作品之间的相似性指数开始的。在波纳法（Boneva，1971）的研究中，基于每一作品中最后5个音节的32个可能特征的频数分布，求出相似性指数，这个技术称为定性终止。在没有其他附加信息情形下，这里所用到的唯一的假设是写作时间相近的作品写作风格相似。利用这个方法推断了柏拉图作品的时间年表。
2.人所具有的特点是遗传的吗
这个问题是在一次讨论达尔文的理论时提出的。为了回答这个问题，丹麦的一个遗传学家约翰尼森（W.Johannsen）进行了实验，他的实验已出现在今天的教科书上。但是，在他1909年第一次发表这个结果时却没有引起注意。下面是我从卡克（M.Kac）的一个笔记（1983）中引用的，卡克介绍了当他13岁时所了解的这个实验。
“约翰尼森取了大量的豆子，称它们的重量，由这些重量做成频率直方图并由此拟合了今日被称为正态分布的曲线。然后，他从中取出大的和小的豆子，分别进行栽培，并分别做出它们各自收获后豆子重量的直方图。这些直方图又分别与正态曲线拟合。如果豆子的大小是遗传的，则人们可以预期后做的两条曲线会以大小不同的均值为分布中心。但是，事情恰恰不是这样，两条曲线与它们祖先的曲线几乎看不出区别，因此产生了一个严肃的问题：豆子的大小是否是遗传的。”卡克继续介绍说：“当时那些完全崭新的议论使我感到很吃惊，直到今天还保留很深的印象，这是我当时在已接受的数学、物力和生物学知识中还未遇到过的。从那以后，我开始学习了大量的统计学知识，甚至还给具有不同数学程度的人讲授统计学，但我始终认为约翰尼森的实验是我所知道的关于阐述统计推断方法之最有效、最精彩的例证。”
（三）最让学生艰涩难懂的是体会最小二乘法的思想，他们面对课本上的复杂公式推导，不知其来源和用途。在这很有必要加以补充说明
勒让德是法国数学家，最小二乘法最先出现在他于1805年发表的一本题为《计算彗星轨道的新方法》著作的附录中，该附录占据了这本长80页著作的最后9页。
勒让德在该书中描述了最小二乘法的思想、具体作法及方法的优点。他提到：最小二乘法是针对适合形如x0+x1θ1+…+xkθk的线性关系的观测数据而作出的，现在统计学上把这叫做线性（统计）模型，使误差平方和达到最小，在各方程的误差之间建立了一种平衡，从而防止了某一极端误差（对决定参数的估计值）取得支配地位，而这有助于揭示系统的更接近真实的状态。
关于最小二乘法的优点，勒让德指出了以下几条。第一，通常的算术平均值是其一特例。第二，如果观察值全部严格符合某一线性方程，则这个方程必是最小二乘法的解。第三，如果在事后打算弃置某些观察值不用或增加了新的观察值，对正则方程的修改易于完成。从现在的观点看，这方法只涉及解线性方程组是其最重要的优点之一。
最小二乘法在19世纪初发明后，很快得到欧洲一些国家的天文和测地学工作者的广泛使用。但是，在电子计算机出现以前，当参数个数较大时，计算任务很繁重。1858年，英国为绘制本国地图作了一次大型的普查，其数据处理涉及最小二乘法，用两组人员独立计算，花了两年半的时间才完成。1958年我国某研究所计算一个炼钢方面的课题，涉及用最小二乘法解13个自变量的线性回归，30余人用电动计算机算，夜以继日花了一个多月的时间。
勒让德的工作没有涉及最小二乘法的误差分析问题。这一点由高斯在1809年发表的正态误差理论加以补足，在正态误差的假定下，它有较完善的小样本理论，使基于它的统计推断易于操作且有关的概率计算不难进行。其他的方法虽也可能具有某种优点，但由于缺乏最小二乘法所具备的上述特性，故仍不可能取代最小二乘法的位置，这就是此法得以长盛不衰的原因。
此外，学习了统计学的基本知识，为了将理论知识运用到实践中去，可让学生针对认为有兴趣、有价值的问题开展调查，收集生活中的数据，然后对所得的数据进行整理、分析、计算，从而得出结论，并写出实习报告。在收集和整理相关资料的过程中，培养实事求是、科学严谨的学习态度和方法。
总之，在教学中，教师可以通过学生的主动参与，结合生活实例或名人的故事“吸引学生，培养兴趣”，有意识地强调数学的文化价值和实用价值；同时让学生了解社会，关心社会的发展，加强责任感和使命感，为将来走向社会、服务社会打下一个良好的基础。 |
