山东省淄博市临淄区职业中专  陈江

椭圆=1上的点到直线l:x+y=7的最短距离是      。这是人教版中等职业教育国家规划教材《数学》（提高版）第二册第九章中的一道练习题。它虽然是本章复习参考题A组中的一道填空题，但难度却比较大，题型特殊，具有一定的推广价值。

［思路分析1］

由图1可知最短距离为与直线l平行的椭圆的切线l₁到该直线的距离，因此，可先求出与直线l平行的椭圆切线l₁的方程，继而，将问题载化为求l₁与l两条平行线间的距离。

图1

解法一：

设与直线l:x+y=7平行的椭圆的切线方程为x+y+c=0。

由①得：x=-y-c,③

把③代入②，得：16(y+c)²+9y²=144。

得16y²+32cy+16c²+9y²=144,

得25y²+32cy+16c²-144=0。

令Δ=（32c）²-4·25·（16c²-144）=0,

解得：c=±5。

因此，所求切线方程为

l₁:x+y-5=0,

l₂:x+y+5=0。

由图可知：椭圆上的点到直线l:x+y=7的最短距离应是l₁到该直线的距离，为

显然，l₂到直线x+y=7的距离为椭圆上的点到直线l:x+y=7的最长距离。

点评1：结合图形，显然可以将本题推广到求最短、最长距离。

［思路分析2］

先利用椭圆的参数方程表示出椭圆上任意一点的坐标，继而表示出该点到直线l的距离，再根据这个距离表达式，就可以求出椭圆上的点到直线l：x+y=7的最短、最长距离（图2）。

图2

解法二：

根据椭圆方程=1,

可设：=sin²θ,=cos²θ，

即=sin θ,=cos θ,θ∈［0，2π)，

x=3sin θ,y=4cos θ。

于是，可设点P=(3sin θ，4cos θ)为椭圆上任意一点，由点到直线距离公式，可得点P到直线l:x+y=7的距离为

显然，当3sin θ+4cos θ取最大值5时，d的最小值是，

当3sin θ+4cos θ取最小值-5时，d的最小值是6。

所以椭圆=1上的点到直线l：x+y=7的最短、最长距离分别是和6。

点评2：由于运用了椭圆的参数方程，本解法比第一种显得更简洁，更有说服力。又由于这种方法综合了三角的有关知识，所以，可以提高综合运用知识解决问题的能力。

在解析几何这一章的习题中，除了线性规划的问题，只有这一道涉及求最值的问题，故显得较为特殊，应该引起足够的重视。 有必要对这一问题进行适当的拓展。由于椭圆与圆这两种曲线较为接近，所以，我们会自然想到直线与圆的最短、最长距离问题。

例　求圆x²+y²=9上的点到直线x+y=7的最短、最长距离。

［思路分析］

显然，由于圆与椭圆的相似性，本题当然可以借鉴上面关于椭圆的两种解法（略），除此之外，考虑到圆在对称性方面的几何特点，会发现：圆上的点到直线的最短、最长距离都与圆心到直线的距离有关（图3）。

图3

解：过圆x²+y²=9的圆心O作直线x+y=7的垂线，垂足为D，直线OD与圆交于E、F两点。由点到直线的距离公式可得

.

显然，圆x²+y²=9上的点到直线x+y=7的最短距离为ED=OD-OE=-3，最长距离为FD=FO+OD=+3。

因此，圆x²+y²=9上的点到直线x+y=7的最短、最长距离分别为-3和+3。

点评：由于这种解法充分考虑到了圆与椭圆在几何特征上的差异，所以是比较简洁的一种解法。

以上问题中涉及的圆与椭圆都是封闭的圆锥曲线，因此，如果进行发散思考，自然会联想到开放的圆锥曲线──抛物线与双曲线上的点到一直线的最短、最长距离问题又会怎样。略加分析可知，由于这两种曲线的开放性，只存在最短距离，不存在最长距离。

例　求抛物线y²=x上的点到直线x-y+5=0的最短距离。

［思路分析］

本题首先可以利用关于椭圆的相关问题的第一种解法，即先求出与已知直线平行的椭圆的切线l1的方程，这样，所求的最短距离同样转化为两平行直线间的距离（见下图4，解法略）；其次，也可以借鉴椭圆的相关问题的第二种解法，但稍有不同。具体解法如下。

设点P(t²,t)（t≥0）为抛物线上的任意一点（图5），由点到直线的距离公式可得，抛物线上的任意一点P(t²,t)到直线x-y+5=0的距离为

因为+只有最小值，

所以，d显然也只有最小值。

因此，抛物线y²=x上的点到直线x-y+5=0的最短距离为。

图4

图5

点评：其中，+（t≥0）只有最小值，是利用了二次函数的性质。

对双曲线上的点到直线的最短距离问题，可以先求出与已知直线l平行的双曲线的切线l₁与l₂的方程（如图6），由图可知平行线l₂与l之间的距离即为双曲线上的点到直线l的最短距离。

注：如果已知直线l过原点（图7），由双曲线的对称性可知，与l平行的双曲线的两条切线l₁、l₂关于l对称，所以,l₁、l₂到l的距离都是双曲线上的点到直线l的最短距离。

图6

图7

在日常生活中，小题大做固然是不可取的，但在数学学习中，有时却是很有必要的。课本中的不少习题都具有很强的示范性和代表性，通过对它们进行充分的联想以及适当的拓展，可以充分发挥习题的系统性和整体性的潜能，从而沟通各知识点的纵横联系，达到练一题、带一类、连一片的目的，进而，使学生的认识结构得到完善，思维的广阔性得到进一步的培养。