深圳市行知职业技术学校　　蔡和莲

“平面向量”已成为职中课本独立成章的内容，它的引入给中学数学内容注入了新的内涵。不仅如此，“平面向量”所蕴涵的丰富的数学思想方法，如数形结合、构造模型、化归转换、平移变换等，有益于发展学生的思维能力，激发其创新活力。用向量知识解题，方法新颖，运算简捷，是启发学生思维的有效途径之一。

一、用向量知识求有关函数的最大（小）值

例1　求y=sin²x+2sin x·cos x+3cos²x的最大（小）值。

分析：原函数可变为y=2+sin 2x+cos 2x。令y1=sin 2x+cos 2x，构造向量a={sin 2x,cos 2x}，b={1，1}，则｜y₁｜=｜sin 2x+cos 2x｜=｜a·b｜≤｜a｜·｜b｜=，所以y_max=2+,y_min=2-。

二、用向量证明某类等式或不等式

证明等式一般都要经过繁杂的运算，但如果等式具有向量代数的某些特征时，应用向量知识较为简单。

例2　若a、b∈R，且=1，求证：a²+b²=1。

证明：设b≠0，构造向量a={a,},b={,b}，则a·b=｜a｜·｜b｜cos θ

→=cos θcos θ=1a∥b=(b≠0)→a²+b²=1。

当b=0时，显然有a=1,∴a²+b²=1。

证明不等式方法有多种，但某些含有乘方之和与乘积之和的等式，应用向量证明效果会更好。

例3　设x、y∈R，求证（x⁴+y⁴）(x²+y²)≥(x²+y³)²。

证明：构造向量p=(x²,y²)，q=(x,y)，则（x³+y³）²=(p·q)²=｜p｜²·｜q｜²cos² θ≤｜p｜²·｜q｜²

=(x⁴+y⁴)(x²+y²)。

三、用向量知识解有关三角问题

例4　已知α、β∈(0,)且cos α+cos β-cos(α+β)=，求α、β的值。

解：原条件式可化为：sin αsin β+(1-cos α)cos β=-cos α,

构造向量a={sin α,1-cos α}，b={sin β,cos β}，则由｜a·b｜≤｜a｜·｜b｜｜sin αsin β+(1-cos α)cos β｜≤｜-cos α｜≤(cos α-)²≤0cos α=,又∵α∈(0,)α=。

由α、β的对称性知β=。

四、用向量知识解有关解析几何问题

利用向量知识处理解析几何问题的方法是：把与解题有关的线段看做平面向量，并用坐标表示之；利用与平面向量有关的定理、公式列出方程，解出结果。

例5　设抛物线y²=2px（p＞0）的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线的准线上，且BC∥x轴。证明直线AC经过原点O。

分析：我们把线段FA、FB、OA、OC看做平面向量，由与共线推出与共线，即可说明直线AC经过原点O。

解：设A（x₁,y₁），B（x₂,y₂），则y₁²=2px₁，记为①

y₂²=2px₂,记为②

焦点F=(,0)，准线方程x=-，因为点C在抛物线的准线上，且BC∥x轴，则有C=（-，y₂）。

=（x₁-,y₁），=（x₂-，y₂），=（x₁,y₁），=（-,y₂）,因为与共线,

所以（x₁-）y₂-(x₂-)y₁=0。③

联立①、②、③式可解得：y₁y₂=-p²。④

而x₁y₂-(-)y₁=y₂+y₁,⑤

将④式代入⑤式有x₁y₂-(-)y₁=0，

所以与是共线向量，A、O、C三点共线即直线AC经过原点O。

例6　椭圆=1的焦点为F₁、F₂，点P为椭圆上的一个动点，当∠F₁PF₂为钝角时，求点P的横坐标的取值范围。

分析：取平面向量、，由∠F₁PF₂为钝角得出·＜0，从而确定P点的横坐标的取值范围。

解：设P（x₀,y₀）为椭圆上动点，则=1。①

由椭圆方程=1，可得椭圆两焦点F₁=(-,0)、F₂=(,0)，则=（--x₀,-y₀）、=（-x₀,-y₀）。

当∠F₁PF₂为钝角时有·＜0，即

（--x₀）(-x₀)+y²₀＜0，②

联立①、②式可解得：

-＜x＜。