山东省新泰市第一职业中专  董 涛

经过近几年的职中数学教学实践，我越来越感觉到，在向量的教学中，对向量内积的教学可谓重中之重。向量内积是整个中职数学的重要概念，它贯穿于与向量有关的各部分并起着关键作用，下面结合教材（人教版职业高级中学教材数学），谈谈对向量内积教学的理解与感受。

一、重视定义教学，奠定良好基础

向量的内积是向量a的长与b在a方向上射影的数量|b| cos<a，b>的乘积。注意到b在a方向上射影的数量是一个可正、可负、可零的实数，它与a的乘积即内积就应是一个可正、可负、可零的实数。

当b在向量a方向上的射影与a相同时，内积是一个正数。如图1（1）。

当b在向量a的方向上的射影与a相反时，内积是一个负数。如图1（2）。

当b在a方向上的射影为零时，内积为零。此时，a与b垂直。如图1（3）。

图1

根据内积的定义，经过简单的运算，便可得以下性质，它们在解决问题时都起到非常重要的作用。

1.如果e是单位向量，则a·e=e·a=|a| cos<a，e>。

2.a⊥b→a·b=0。

3.a·a=|a|²或|a|=。

4.cos<a，b>=。

5.|a·b|≤|a||b|。

二、以向量内积为工具，解决各种问题

向量内积揭示了长度、角度及向量投影之间的深刻联系，因此有广泛的应用。

向量内积的应用，突出表现在解决有关夹角的问题。

例1求证cos（α±β）=cos α·cos βsin α·sin β。

证明：如图2，在单位圆中，P、Q、R三点坐标分别为（cos α，sin α），（cos β，sin β），（cos （-β），sin （-β）），而α+β=α-（-β）=±<,>+2kπ，α-β=±<,>+2kπ。

图2

于是·=（cos α，sin α）·（cos β，-sin β）=cos α·cos β-sin α·sin β。

又||·||→=||→||cos <，>=cos(α+β)，

∴cos(α+β)=cos α·cos β-sin α·sin β。

同理：cos(α-β)=cos α·cos β+sin α·sin β。

例2  已知正方体 ABCD-A₁B₁C₁D₁，边长为m，E为A₁B₁的中点，求cos<，>。（山东省2000年高职入学考试题）

图3

解：设=a，=b，=c，

则=c+a，

=c-b-a。

·=(c+a)(c-b-a)

=|c|²-c·b-c·a+a·c-a·b

=|a|²=m²，

cos<，>=。

例3　已知l：A₁x+B₁y+C₁=0，l₂：A₂x+B₂y+C₂=0。求两直线的夹角。

解：由已知，直线l₁与l₂的法向量分别为n₁=（A₁，B₁），n₂=(A₂，B₂)。

由平面几何知识，l₁与l₂的夹角等于n₁与n₂的夹角或n₁、n₂夹角的补角，所以

cos θ =

向量内积经常用于解决垂直问题。

例4　已知ABCD是菱形，AC和BD是两对角线。求证：AC⊥BD。

证明：∵=+，

=-，

∴·=||²-||²=0。

∴AC⊥BD。

例5　用向量法证明三垂线定理。

已知：PO、PA分别是平面α的垂线和斜线，OA是PA在α内的射影。lα，且l⊥OA，求证：l⊥PA。

图4

证明：=+，在直线l上任取向量a，

∵l⊥OA，l⊥PO，

∴a·=0，a·=0。

而a·=a·=+a·=0，

∴l⊥PA。

例6　已知：m、n是平面α内的两条相交直线，直线l与α的交点为B，且l⊥m，l⊥n。

求证：l⊥α。

图5

证明：采用平移的方法，可使m、n、l都过点B。过点B任取一条异于m、n的直线g。在l、m、n、g上任取向量 a、b、c、d，又m、n不共线，∴a=xb+yc。

a·d=a·(xb+yc)=xa·b+ya·c=0，

∴a⊥d。

即l⊥α。

例7　已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁，边长为a、E、F、G分别为DC、A₁D₁、BB₁的中点。

求证：AC⊥面EFG。（2001年山东省高职入学考试试题）

图6

证明：设=a,=b,=c，

于是=b-c+a，

=c+a+b。

·=b·c+a·b+|b|²-|c|²-a·c-b·c+a·c·+|a|²+a·b

=a²-a²+a²=0,

∴EF⊥AC。

同理：FG⊥AC。

于是，AC⊥面EFG。

向量内积在解决有关长度的问题中也起着很重要的作用。

例8　已知点P0（x₀,y₀)和直线l:Ax+By+C=0,求点P₀（x₀,y₀)到直线l的距离d。

分析：设P（x,y)直线l上任一点，P₀（x₀,y₀)到直线l的距离为d,就是向量在直线法向量方向上的投影长度。

图7

解：直线l的法向量为n=(A,B)。

取n的单位向量n₀=，由内积运算的几何意义，得

这就是点P₀到直线l的距离公式。

例9　已知两条异面直线a、b所成的角为θ，公垂线为AA′。E、F分别是直线a、b上的点，且|A′E|=m，|AF|=n，|EF|=l。求公垂线段AA′的长d。

图8

解：∵ =++，

∴||²=（++）²

=||²+||²+||²+2·+2·+2·。

∴l²=||²+||²+||²+2·

=m²+n²+d²±2mncos θ。

∴d=。

由以上的讨论可知，向量内积在三角、立体几何，解析几何等章节都有应用，并且给解决问题带来了极大的便利。