自2004年秋季起，山东省日照市莒县第一中学开始使用数学B版教材，到现在已经完成了必修1至必修5。另外，理科已完成选修2-1和选修2-2，文科已完成选修1-1。 这套教材给我们的感觉是好用、实用。教材编写以人为本，符合学生的年龄特点，遵循学生的认知规律，例如三角函数在必修2中讲，在必修4中再讲，必修5中仍然讲，循序渐进，由浅入深。本文拟在通性通法方面，谈谈我们的认识。《课程标准》明确指出：“学生对基础知识和基本技能的理解与掌握是数学教学的基本要求，也是评价学生学习的基本内容。评价要注重对数学本质的理解和思想方法的把握，避免片面强调机械记忆、模仿以及复杂技巧。”因此，对数学基本技能的评价，应关注学生能否在理解方法的基础上，针对问题特点进行合理选择，进而熟练运用。数学B版教材的编写，在这方面，就是这样做的。下面，结合待定系数法，谈一下我们在教学中的体会。

一、待定系数法在函数中

待定系数法作为单独的自然节，出现在必修1第二章中。作为一种数学方法，待定系数法在数学中的应用是广泛的和重要的。教材中的待定系数法是在求函数表达式的过程中引入的，并指出“这种通过求待定系数来确定变量之间关系式的方法叫做待定系数法”。待定系数法在函数中的应用，主要体现在求函数的表达式上，但这类题型，必须知道函数的一般形式才能解答，如必修1的2.2.3节练习A第2题、第3题，练习B第2题，章末小结中巩固与提高第15题。下面再举例说明。

例1　设二次函数满足f（x-2）=f（-x-2），且图象在y轴上的截距为1，在x轴上截得线段长为，求f（x）的表达式。

分析：设所求f（x）=ax²+bx+c（a≠0），且与x轴交点横坐标为x₁、x₂，易知c=1。①

f（x-2）=ax²-（4a-b）x+4a-2b+c，f（-x-2）=ax²+（4a-b）x+4a-2b+c，由f（x-2）=f（-x-2），得b=4a。②

（或由二次函数的对称性可知对称轴x=-2，即=-2，得b=4a。）

又在x轴上的截距为，得|x₁-x₂|=,，。③

由①，得b²-4a=8a²，b²-b=，b=2或b＝0(舍去，因b=0时a=0)，a=，得f(x)=x²+2x+1(x∈R)。

待定系数法是求函数的解析式的一种重要方法之一，解题时要熟悉基本函数，基本曲线的表达式，才能正确设立参数。同时，常常要用到“多项式相等，同次项系数相等”这一定理。

二、待定系数法在求数列中

在必修5“数列”结束后，我们安排了一次“研究性课题”，内容选取的是该章前面介绍的“兔子数列”，即斐波那契数列。下面介绍一下。

例2　一对小兔子，一个月后成长为一对成年兔子，又一个月后生出一对小兔子，再过一月后，小兔子成长为成年兔，或一对成年兔又生出一对小兔子，以此规律，每过一个月小兔子成长为成年兔，成年兔生出一对小兔子。这样每个月兔子的对数，依次可排成数列，请探究此数列的通项公式。

学生对这一研究课题比较感兴趣，并提出了一些创造性方法，其中有些学生将待定系数法引入这一领域，得到了许多有价值的结果。下面是一个学生用待定系数法的探究思路。

a₁=1，a₂=1，a₃=2，a_n=a_n-1+a_n-2，设a_n-βa_n-1=α（a_n-1-βa_n-2）。

得 a_n=（α+β）a_n-1-αβa_n-2。

由α+β=1，αβ=－1 ，得α、β为x²-ax-1=0的两根。

当时，得

因此为等比数列，首项为

得，

当时，得，

消去a_n-1，即得a_n。

这次研究性课题得到的结果为：

一般地，若aa_n+2+ba_n+1+ca_n=0，可用待定系数法写成a_n+2-βa_n+1=α（a_n+1-βa_n）或a_n+2-αa_n+1=β（a_n+1-αa_n）两种形式，则{a_n+2-βa_n+1}及{a_n+2-αa_n+1}都是等比数列。分别求之。再直接联立解出a_n即可。这里α、β是方程ax²+bx+c=0的两个实数根，其一般形式为：①当α≠β时a_n=Aα^_n+Bβ^_n；②当α=β时a_n=（An+B）α^_n。

求数列通项公式方法灵活多样，特别是对于给定的递推关系求通项公式，观察、分析、推理能力要求较高。通常可将递推式加以变换，转化成特殊数列（等差或等比数列）来求解。这种方法体现了数学中化未知为已知的化归思想，而运用待定系数法变换递推式中的常数就是一种重要的转化方法。

三、待定系数法在不等式中

在不等式中，利用待定系数法解决问题的例子也很多，如在必修5的3.5.2“简单线性规划”一节的思考与讨论中，安排了下面这样一道题目。

例3　已知f（a，b）=ax+by，如果1≤f（1，1）≤2，且-1≤f（1，-1）≤1，试求f（2，1）的取值范围。

用下面的方法求解本题，错在哪里？（错解略去。）从中应该吸取什么？请你用正确的解法求解。

这道题目的正确解法有很多，常见的为利用线性规划求解。下面介绍利用待定系数法求解。这对培养学生的创造精神和探究能力很有好处。

分析：因为f（1，1）=a+b，f（1，-1）=a-b，f（2，1）=2a+b。

设f（2，1）=λf（1，1）+μf（1，-1），则2a+b=（λ+μ）a+（λ-μ）b。

由得

f（2，1）=f（1，1）+f（1，-1）。

又因为1≤f（1，1）≤2，-1≤f（1，-1）≤1，

得1≤f（2，1）≤。

这道题目是一类典型题，对这类问题的求解关键一步是找到f（2，1）的数学结构，然后依其数学结构特征，利用待定系数法将f（2，1）用f（1，-1）与f（1，1）的表达式表达，求出待定系数，然后利用不等式的基本性质即可获得解答。

四、待定系数法在立体几何及向量中

在向量中，有关证明或计算如果引入参数利用待定系数法常常会起到意想不到的效果，使问题变得清楚易懂，如必修4的2.4.1节“向量在几何中的应用”中例2、例3等。在立体几何及平面向量中的有关探索性问题中，待定系数法也常常用到。下面再通过一个立体几何题目做进一步的说明。

例4　在长方体ABCD-A₁B₂C₃D₄中，AB=BC=3，BB₁=4，BE⊥B₁C交CC₁于E。

（1）求证：直线A₁C⊥直线BE。

（2）求直线A₁B与平面BDE所成角的余弦值。

（3）在底面对角线AC上是否存在一点P，使CP∥平面BDE。若存在，确定P点的位置；若不存在，请说明理由。

分析： （1）略。

（2）略。

（3）设点P的坐标为（x，y，0），则C₁P=（x，y-3，-4）。

设BD与AC交点为F，则F坐标为（，，0），EF=（，，）。

由C₁P∥平面BDE，得C₁P∥EF，因此存在λ使C₁P=λEF，

即（x，y-3，-4）=λ（，，）。

得。

得P点坐标为（，，0）、|AP｜=。

因此当点P在AC上，且距A点为时，C₁P∥平面DEF。

五、待定系数法在解析几何中

圆锥曲线中，参数的确定是待定系数法的生动体现。如何确定？要抓住已知条件，将其转换成表达式。一般地，解析几何中求曲线方程的问题，常常用待定系数法。基本步骤是：设方程（或几何数据）→几何条件转换成方程→求解→已知系数代入。如必修2的2.2.3节“直线的位置关系”例2：求直线的方程；2.3.2节“圆的一般方程”例2，练习题第1、第24题，选修2—1第二章圆锥曲线与方程求椭圆、双曲线、抛物线的标准方程。下列再介绍两个例子。

例5　求过直线l₁∶2x-3y+2=0与l₂∶3x-4y-2=0的交点且与直线4x+y-4=0平行的直线方程。

分析：设所求直线的方程为（2x-3y+2）+λ（3x-4y-2）=0 （*），即（2+3λ）x-（3+4λ）y+2-2λ=0。

所以所求直线与4x+y-4=0平行，所以有2+3λ=4（-3-4λ），得λ=。代入（*）式有4x+y-66=0。

待定系数法是解决过两条直线交点的直线系的基本方法之一。过已知两条直线A₁x＋B₁y＋C₁=0和A₂x+B₂y+C₂=0的交点的直线系一般有三种设法：①λ₁（A₁x＋B₁y＋C₁）+λ₂（A₂x＋B₂y＋C₂）=0（λ₁、λ₂是不同时为0的参数）；②A₁x＋B₁y＋C₁＋λ（A₂x＋B₂y＋C₂）=0（不含直线A₂x＋B₂y＋C₂=0，λ为参数）；③A₂x＋B₂y＋C₂＋λ（A₁x＋B₁y＋C₁）=0（不含直线A₁x＋B₁y＋C₁=0，λ为参数）。

例6　椭圆的焦点为F（0，），它截直线y=2x-1所得弦中点的横坐标是，求椭圆的标准方程。

分析：设所求椭圆方程为（a＞b＞0），c=，得a²-b²=50。

将y=2x-1代入椭圆方程中得，得（4b²+a²）x²-4b²x+b²（1-a²）=0。

由，得a²=75，b²=25，所求椭圆方程为

待定系数法在教材中的应用还有许多，如“导数”中求切线的方程，求函数的解析式，在“推理与证明”中的探索性问题如“是否存在a、b、c，使得等式1·2²＋2·3²＋…＋n（n＋1）²=（an²＋bn＋c）对一切自然数n都成立？并证明你的结论”、“三角函数”中求解析式问题等等，在此不再赘述。