微积分学在数学以至整个自然科学中占有重要的地位，微积分学是人类思维的伟大成果之一，它的产生和发展被誉为“近代技术文明所产生的关键事件之一，它引入了若干极其成功的﹑对以后数学的发展起决定性作用的思想”。微积分的思想方法是17世纪产生的关键性的数学思想方法，不仅是学生以后学习许多数学分支的基础，而且对于培养学生的数学思维，增强学生的解题能力有很大的促进作用。微积分作为一个强大的工具，也可以帮助我们解决一些用初等数学思想处理比较繁琐的数学问题。其中导数和积分是微积分学中最重要的两个概念，它们是研究函数和解决实际问题的重要工具。本书第一章的重点是导数及其应用，以及定积分和微积分基本定理。由于中学生的认知水平和其他原因，数学B版教材对微积分的处理突出了概念的本质，略去了极限，直接通过实际背景和具体应用实例，抽象概括导数的概念，重视了几何直观。由于上述原因，对于本章的教学有很大难度，对此我们做出如下教学建议。

一、让学生直观感知微积分的必备知识：函数的连续性和极限

教材对微积分的定位比较好，充分考虑到学生的实际水平，略去了函数的连续性和极限。但由于教学的实际，笔者认为在授课之前应用适当的形式让学生感知函数的连续性和极限。例如：如果函数是连续的，那么它的图象是一条连绵不断的曲线；在一定条件下极限与某个常数A的差的绝对值越来越小，可以小于预先给定的任意正数，可以通过表格来定性分析和定量分析，把“无限趋近”给以确切的描述，或者举例说明求函数的极限，例如数学B版教材第17页的可提前介绍。

二、概念的挖掘

《课程标准》对这部分内容的定位──强调对导数本质的认识，不仅作为一种规则，也作为一种重要的思想﹑方法来学习。教材直接通过实际背景和具体应用实例──速度﹑膨胀率﹑效率﹑增长率等反映导数思想和本质的实例，引导学生经历由平均变化率到瞬时变化率的过程，认识和理解导数概念，在对实际背景问题研究的基础上，抽象概括出导数的概念。

（一）函数的平均变化率

教材中以用数量表示登山路线的平缓及陡峭程度为例引出平均变化率的概念，直观形象，易于理解。在引例中要注意当山路弯曲时，将弯曲山路分成许多小段，每一小段可视为平直的，体现了一种逼近的思想。

平均变化率的概念应注意以下几点：

（1）函数f（x）在x₀处有定义；

（2）x₁是x₀附近的任意一点，即Δx=x₁-x₀≠0，但可正可负；

（3）改变量的对应：若Δx=x₁-x₀，则Δy=f（x₁）-f（x₀），而不是Δy=f（x₀）-f（x₁）；

（4）平均变化率可正可负也可为零。

（二）瞬时变化率

教材通过具体实例和给定时间变化量Δt的具体值分析了瞬时速度与平均速度的关系：瞬时速度是当Δt趋近于0时平均速度所趋近的常数值。这一分析过程所体现的无限逼近思想，实际是一种极限思想。

瞬时变化率概念的教学应注意对Δx→0时，→f′（x₀）的理解。授课时可先让学生参照数学Ｂ版教材第7页的表格体会Δx与0要多近有多近，即｜Δx-0｜小于给定的任意小的正数，但Δx≠0。同理可理解→f′（x₀）。

（三）定积分的概念

定积分概念的教学应注意以下两点：

1.定积分是一种“和”的极限。

2.定积分的几何意义。

图1

（1）若f（x）≥0，则定积分 f（x）dx在几何上表示由曲线y=f（x），直线x=a，x=b及x轴所围成的曲边梯形的面积S（如图1），即S= f（x）dx。

图2

    （2）若f（x）≤0，x∈［a，b］，那么曲边梯形位于轴下方（如图2），

 f（x）dx= f（ζ_i）Δx_i，

∵Δx_i＞0，f（ζ_i）≤0，

图3

∴f（ζ_i）Δx_i≤0。

∴ f（x）dx≤0。

∴ f（x）dx=-S。

（3）当f（x）在区间［a，b］上有正有负时，积分 f（x）dx表示=-S₁+S₂-S₃（如图3）。

三、例题的变式和处理

1.讲解1.13节“导数几何意义”后，例3变式引申如下：已知曲线y=x³+：

（1）求点P（2，4）处的切线方程；

（2）求过点P（2，4）的切线方程。

分析：（1）问点P（2，4）处的切线即P为切点，所以切线易求得为4x-y-4=0。

（2）问过点P（2，4）的切线，P可为切点，此时切线方程为4x-y-4=0；若P不为切点， 可设切点为，

因为f ' （x）=x²，所以。解得x₀=-1。所以切点为（-1，1）。

所以切线方程为y-1=x+1，即x-y+2=0。

通过本小题的练习可使学生明确“点P处的切线”与“过点P的切线”的不同意义。

2.讲解第26页1.3.1利用导数判断函数的单调性。

例题运用了一个充分条件：x∈（a，b），f ' (x)＞0（f' (x)＜0）f '(x)在（a，b）递增（递减）。在解题时容易导致学生误解。例如，第38页习题1—3A中的第1题的第(3)小题求y=（x-1）³的增减区间，若采用课本例题做法易出现如下错误。

解：定义域（-∞，+∞），f ' （x）=3（x-1）²。

令f ' （x）＞0，得x≠1，∴所以=（x-1）³的单调增区间为（-∞，1）和（1，+∞）。

而本来是一个单调增区间（-∞，+∞）却分成了两个。

建议运用定理“若函数f （x）在（a，b）可导，则f (x)在（a，b）递增（递减）f ' (x)≥0（f ' (x)≤0），x∈（a，b）”。

求函数的单调区间，简单明了。上题解法如下：

解：定义域（-∞，+∞），f ' （x）=3（x-1）²，

令f ' （x）≥0， 得x∈R。

所以y=（x-1）³的单调增区间为（-∞，+∞）。

四、习题规律寻找

课本第49页习题1—4B的第2题的第（2）、第（3）小题以及第53页“巩固与提高”的第12题均是关于求两曲线所围成的区域面积的问题。

由此可得规律如下：如果图形由曲线y₁=f₁（x），y₂=f₂（x）（不妨设f₁（x）≥f₂（x）≥0）及直线x=a，x=b（a＜b）围成（如图4），那么所求图形的面积为：

S_ABCD= f₁（x）dx- f₂（x）dx。

推广：由y₁=f₁（x），y₂=f₂（x），x=a，x=b（a＜b）所围成（如图5）的区域面积公式为：

S=｜f₁（x）-f₂（x）｜dx（可以让学生用特例验证）。

图4

图5

如何进行微积分教学在高中数学中是一个全新的课题，相对于代数和几何等经典内容已经臻于完善的教学研究，微积分的教学研究还不成熟，处于摸索的阶段。但也正因为如此，探讨微积分的教学才更有价值和意义。以上是我们在教学中的经验和体会，希望与同仁们共同探讨，并请提出宝贵意见。