当前，面对经济、文化飞速发展的21世纪，高素质人才的培养与造就已成为支撑我国经济发展、振兴中华民族的重要条件。因此培养人才的重要知识储备阶段的高中数学教学的改革已迫在眉睫。数学B版教材以其新颖的面貌呈现在我们师生面前，生动贴题的插图设计，比例适中的布白安排，朴实通俗的语言解析，源自生活的亲和实例，追踪科技的前沿意识，渗透学科的交融理念，更有知识内容、思维方法上的科学调整，以及富于梯度的练习题满足了不同层次学生的需要，另外散见于各章节中的启迪思维、激发兴趣的“思考与讨论”“探索与研究”，无不体现出《课程标准》所倡导的探究、创新理念，对学生未来发展的人文关注。

笔者在一年的新教材施教过程中，深切地感受到上述令人振奋的变化，感触颇丰，深有收获。现仅就“平面向量”几个知识点的教学谈一点个人粗浅、具体的看法，权作引玉之石。

一、位置的安排

新教材将“平面向量”置于“三角恒等变换”之前，这不单是知识块层面上的简单前移，编者意于深一层突出“向量”这一新颖有力的工具。作为“登陆”高中教材时间不长的知识内容与相应的思维方法，“向量”已显示出蓬勃的生机和活力，它的触角遍及数学的许多侧面，体现出广泛的应用性、独特性、便捷性和易于操作性，故理应让学生在意识上尽早认同，早认识早受益。

作为例证，教材在随后的“两角差的余弦公式”上，就是用向量的数量积给予了巧妙的推导。至于公式C_α－β的得出，笔者认为证明过程中需要特别明确以下等式的道理：α-β=±＜，＞+2kπ。通过领会理解此关系式，学生能更充分地区分一般角与向量夹角的不同，从而更透彻地认识“向量夹角”的内涵，对学生全面把握“向量的运算”大有裨益。另外可根据具体教学实际，适当启发学生运用旧教材上的“两点间的距离公式”思考、讨论如何推导公式C_α+β。一公式两证法，类比教学，拓宽了学生视野，加深了对知识、方法的领悟。

二、单位向量的解析

本教材继承了旧教材对单位向量的讲解，又有进一步的拓宽，如给出向量a的单位向量 给出这样的等式，学生会更加容易理解它的含义，触及本质。如此，下题就不难解答了。

（2003年高考新课程卷第5题）O是平面的一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足，λ∈［0，+∞），则P的轨迹一定通过△ABC的（　　）。

A.外心　　B.内心　　C.重心　　D.垂心

当年不少学生因对条件和不甚明了而错将其升格为一道难题。事实上已知向量，则表示与方向相同的单位向量，由此可以确立问题的突破口：

设=l₁，=l₂，则l₁、l₂分别是与、同向的单位向量，于是已知可变为=λ（l₁+l₂），而l₁+l₂表示以l₁和l₂为邻边的菱形的对角线，所以点P在∠BAC的平分线上，故答案应为B。

在教学此部分内容时，可以适当引入此类例子，既能巩固练习又能增强学生学习的自信心。

三、运算率的证明

“向量数量积的运算律”是我们充分应用“向量”这一有力工具的基石。“向量”作为中学数学中一种全新的思维方法，运算律是它的核心支撑之一，于是深刻领会运算律显得非常重要。在教与学活动中，部分师生对此认识不够，有意无意中存在一种轻视心态，简单地认为会用即可，尤其对分配律的证明不愿做过多的论证。而这恰恰失去了一次探幽的良机，实属遗憾。在此，笔者仅就“分配律”的证明谈一点个人体会。

“分配律”的证明充分体现了两种重要的数学思想──转化与化归。“向量”是一种全新的概念，要研究它的运算，只能利用它的定义将其构建在已有知识框架之中，具体说就是转化到已知的实数运算中，最后化归到“向量”的运算上。分析“一般向量的数量积”的运算，可先通过特殊的如“单位向量”的运算，利用正射影，然后过渡到“一般向量的运算”。

故第一步：运算（a+b）·l。（l是向量c的单位向量。）

对a+b可应用向量加法的三角形法则，首尾相接得向量，由正射影的定义知·l的数量为有向线段OB'，而在轴上，由实数知识得OB'=OA'+A'B'，而OA'为在l的正射影的数量，即OA'=
·l，同理A'B'=·l，从而得（a+b）·l=a·l+b·l。

第二步：将特殊的单位向量推广到一般的向量。

只需将上等式的两端同时乘以向量c的长度即可得“平面向量数量积”的分配律。

其实，“平面向量数量积”的交换律、结合律、数乘结合律，都值得我们费点时间加以解析，可能只是短短的几分钟，但会引领学生更深入地领会这种特殊概念的内涵，更广泛地认识它的外延。回避，只会丧失许多欣赏数学思想的良机；正视，则能更多地领略数学王国的环环相扣、天衣无缝的特有的严谨性，体味数学内在的深沉的魅力。明晰知识的来龙去脉，理清知识的发生、发展过程、变化方向，对学生的身心影响是长远和持久的。

教学时，我补充了如下两个常用的公式：

（a±b）²=a²±2a·b+b²；

（a+b）（a-b）=a²-b²。

将其纳入平面向量的运算率体系中，加以理解、记忆，对学生的学习有极大的帮助。

四、航行问题的向量解法

有关飞机、轮船的航行速度问题可谓比比皆是，新教材在“平面向量”中也加入了相当的题目练习。一般而言，师生并未将其列入难题之列，认为不过是常规的向量合成与分解，而笔者在教学实践中感觉问题决非想象中的平淡无味，相反，静心品味很有收获。

（一）驾驶方向与行进方向

通常情况下，这是两个含义不同的概念，理应给予明确的交代，而绝大多数学习资料在表述题意时，显得含糊且区分不足，给学生的审题造成了一定程度的不清与混乱。

如新教材第131页练习A第1题：某飞机在无风时的速度是320 km/h。现在飞机向飞行，而风速是向北80 km/h。求这架飞机实际的航行方向和航速。

联系上下文可知，是指飞行员的驾驶方向是，即机头的朝向是方向，而飞机整个机体的实际航行方向不是东北，而是受风的影响的，是东北的320 km/h与风向的80 km/h的合成。明确了这点，才容易寻到思路。

教科书作为典范的学习资料理应规范，遣词用句须经得起严格的推敲，成为求真的表率。

（二）风向的理解与应用

如“东南风”是刮向“西北方向”的，即图1（1），部分学生恰恰理解反了，画成图1（2）的形状。这反映出书本知识与生活实际的脱节、僵化，而此说法体现了将基本生活常识与数学理论有机结合的导向，也正是《课程标准》所倡导的教育理念的自然回归。

图1

（三）逆向思维的训练

如新教材第131页练习B第3题：一人迎着西北风，骑车以8 km/h的速度向北行驶，这时西北风的风速是20 km/h。如果风停了，这个人用力不变，问他的骑车速度是多少。

原题编拟巧妙，思维灵活，突破惯常的“知分求合”的思维模式，而变以“已知合速度、一个分速度，求另一个分速度”的新颖的问法。

图2

解：易知A（0，8），B（102，-102）。

=（-，8+），。方向为西偏北arctan 。

（四）感受风速

再来一点突破，让我们感受一点风的“风情”：某人以a km/h向东行走，此时正刮着a km/h的南风，则此人感到的风向及风速分别为（　　）。

A.东北a km/h　　　B.东南a km/h

C.西南a km/h　　　D.东南a km/h

许多学生将此人的实际行走速度与风的速度合成，作为此人感受到的风速，错选C。显然这个合成是无实际意义的。我们可以想象，若此时无风，而人以a km/h的速度向东行走，那么，他感觉到的风向是什么？风速是多少？生活常识告诉我们，此时，他感到的风一定是迎面吹来，是东风，速度是
a km/h。因而正确解答应为D。面对这一问题，学生兴趣盎然，备感新颖。

五、回应平面解析几何

以新方法、新思想重新审视旧问题，既及时复习巩固了旧知识，又能加强对新知识的多方位的理解与灵活应用，螺旋式上升，滚动式发展，正所谓“学以致用”“温故而知新”。

笔者在讲授了“平面向量”后，有意引导学生再回首“模块2”中“平面解析几何初步”的几个问题，获得新的感受。

（一）推导点线距

已知点P（x₀，y₀），直线l：Ax+By+C=0，则点P（x₀，y₀）到直线l的距离为

证：当B≠0时，在直线l上任取一点，不妨取P₁，直线l的法向量n=（A，B），由向量的正射影知识得点P（x₀，y₀）到直线l的距离等于向量在向量n=（A，B）方向上的射影长度d，=，。

当B=0时，可直接由图形证得（略）。

此证法无需添加任何辅助线，方法简单易掌握，可增强学生用向量的意识。

（二）旧题新做

“模块2”课本第110页例2：已知圆的方程x²+y²=r²。求过圆上一点M（x₀，y₀）的切线方程。

分析：可设切线上任一点P（x，y），⊥=0，（x-x₀，y-y₀）·（x₀，y₀）=0，即x₀x+y₀y=+=r²。

在平时的教学中有意识地引导学生联想向量思维，可增加学生运用向量的机会，激发学习向量的兴趣，这也算是对向量教学的一点丰富。

“21世纪教育的最大变化是教育正在变成学习与交流的活动，将从以学科为中心转变为以学习者为中心，将从规范的统一性转变为选择的多样性，将从维持性学习转变为创新性学习”。也就是说教育将成为开发和释放人创造潜能的发动机。《课程标准》明确指出：现代社会要求公民具有良好的人文素养和科学素养，具备创新精神、合作意识和开放视野，具备包括阅读理解与表达交流在内的多方面的基本能力，以及运用现代技术搜集和处理信息的能力。而如何让创新教育在新的课程改革中释放能量，推进新课改进程，是我们永远的课题。使用新教材的一年，是我们边学习、边探索、边提高的一年。如何更好地领会《课程标准》的精神，挖掘和体现新教材的思想与精髓，如何更加完善各个教学环节，更充分地关注学生的长久发展和人文感受，是一个常议常新、永远不老的话题，是需要我们广大教育工作者始终如一、坚持不懈的一项复杂、艰苦的系统工程，意义深远，责任重大。面对教育改革的新浪潮，我们将一如既往地团结协作，加强理论研究与实践体验，为培养现代社会所需的合格公民，为数学学科的更好发展作出自己的贡献。