数学是研究客观世界的空间形式和数量关系的科学，数是形的抽象概括，形是数的直观表现。华罗庚教授曾说：“数缺形时少直觉，形少数时难入微。数形结合百般好，隔裂分家万事非。”数形结合的思想就是充分运用数的严谨和形的直观，将抽象的数学语言与直观的图形语言结合起来，使抽象思维和形象思维结合，通过图形的描述、代数的论证来研究和解决数学问题的一种数学思想方法。

数形结合是高中数学新课程所渗透的重要思想方法之一。新教材中的内容能很好地培养和发展学生的数形结合思想。教材中这一方法的渗透对发展学生的解题思路、寻找最佳解题方法有着指导性的作用，可对问题进行正确的分析、比较、合理联想，逐步形成正确的解题观，还可在学习中引导学生对抽象概念给予形象化的理解和记忆，提高数学认知能力，并提升对现实世界的认识能力，从而提高数学素养，不断完善自己。下面举例说明数形结合思想在各模块中的应用。

一、 利用数形结合解决集合问题

图示法是集合的重要表示法之一，对一些比较抽象的集合问题，在解题时若借助韦恩图或用数轴、图象等数形结合的思想方法，往往可以使问题直观化、形象化，从而灵活、直观、简捷、准确地获解。

例1　若I为全集，M、NI，且M∩N=N，则（　　）。

A._I M  _I N

B.M  _I N

C._I M  _I N

D.M  _I N

提示：由韦恩图可以很容易知道答案为C。

二、方程与函数中的数形结合

函数的图象是函数关系的一种表示，它是从“形”的方面来刻画函数的变化规律。函数图象形象地显示了函数的性质，为研究数量关系问题提供了“形”的直观性，它是探求解题途径，获得答案的重要工具。函数的图象和解析式是函数关系的主要表现形式，实质是相同的，在解题时经常要相互转化，在解决函数问题，尤其是较为繁琐的（如分类讨论、求参数的范围等）问题时要充分发挥图象的直观作用，如：求解函数的值域时，可给一些代数式赋予一定的几何意义，如直线的斜率，线段的长度（两点间的距离）等，把代数中的最值问题转化为几何问题，实现数形转换。

方程f（x）=g（x）的解的个数可以转换为函数y= f（x）和y=g（x）的图象的交点个数问题。

不等式f（x）＞g（x）的解集可以转化为函数y=f（x）的图象位于函数y=g（x）的图象上方的那部分点的横坐标的集合。

例2　设函数若f（x₀）＞1，则x₀的取值范围是（　　）。

A.（-1，1）

B.（－1，＋∞ ）

C.（-∞，－2）∪（0，+∞）

D.（-∞，－1）∪（1，+∞）

分析:本题主要考查函数的基本知识，利用函数的单调性解不等式以及借助数形结合思想解决问题的能力。

图1

解：如图1，在同一坐标系中，作出函数y=f（x）的图象和直线y=1，它们相交于（-1，1）和（1，1）两点。

由f（x）＞1，得x＜-1或x＞1 。

答案：D。

例3　方程lg x=sin x解的个数为（　　）。

A.1　　B.2　　C.3　　D.4

分析：画出函数y=lg x与y=sin x的图象（如图2）。注意两个图象的相对位置关系。

图2

答案：C。

三、 利用数形结合解决数列问题

数列可看成以n为自变量的函数，等差数列可看成自然数n的“一次函数”，前n项和可看成自然数n的缺常数项的“二次函数”，等比数列可看成自然数n的“指数函数”，在解决数列问题时可借助相应的函数图象来解决。

例4　若数列{a_n}为等差数列，a_p＝q，a_q＝p，求a_p+q。（如图3）

图3

分析：不妨设p＜q，由于等差数列中，a_n关于n的图象是一条直线上均匀排开的一群孤立的点，故三点（p，q），（q，p），（p＋q，m）共线，设a_p+q＝m，由已知，得三点（p，a_q），（q，a_p），（p＋q，a_p+q）共线。则k_AB=k_BC，即

得m＝0，即a_p+q＝0。

四、 不等式与解析几何中的数形结合

在解析几何中，借助直线、圆及圆锥曲线在直角坐标系中图象的特点，可从图形上寻求解题思路，启发思维，难题巧解。

例5　曲线（0≤x≤2）与直线y=k（x-2）+2有两个交点时，实数k的取值范围是（　　）。

A.（，1）

B.（，+∞）

C.（，1］

D.［，+∞）

分析：曲线（0≤x≤2）的图形是以（1，0）为圆心，以1为半径的圆在x轴上方（包括x轴）的部分。

直线y=k（x-2）+2是过定点P（2，2）、斜率为k的直线。

在同一直角坐标系中，分别作出它们的图形，观察图4，符合要求的直线l介于直线l₁、l₂之间（包括l₂，不包括l₁），其中l₁与半圆相切，l₂过原点。

通过计算容易求得l₂的斜率为1，l₁的斜率为。所以＜k≤1。

图4

答案：C。

例6　如果实数x、y满足等式（x－2）²＋y²＝3，那么的最大值是（　　）。

A.　　B.　　C.　　D.

图5分析：等式（x-2）²+y²=3有明显的几何意义，它表示以（2，0）为圆心，r=为半径的圆（如图5）。而则表示圆上的点（x，y）与坐标原点（0，0）的连线的斜率。如此以来，该问题可转化为如下几何问题：动点A在以（2，0）为圆心，以3为半径的圆上移动，求直线OA的斜率的最大值。由图5可见，当点A在第一象限，且与圆相切时，OA的斜率最大，经简单计算，得最大值为
tan 60°=。

答案：D。

五、求极值问题中的数形结合

许多代数极值问题，存在着图形背景，借助形的直观性解题是寻求解题思路的一种重要方法，通过图形给问题以几何直观描述，从数形结合中找出问题的逻辑关系，启发思维，难题巧解。

例7　直线y=a与函数f（x）=x³-3x的图象有相异的三个公共点，则a的取值范围为（　　）。

图5

A.（-2，1）　　B.（-1，2）　　C.（-2，2）　　D.［-2，2］

分析：函数f（x）＝x³-3x的导数为f '（x）=3x²-3。令f '（x）≥0，解得x≥1或x≤-1；令f '（x）≤0，解得-1≤x≤1；则函数f （x）在（1，+∞）上 单调递增，在（-∞，-1）上单调递增。在（-1，1）上单调递减。由此画出f （x）的草图（图6）。

图6

由图形看出-2＜a＜2。

答案：C。

六、数形结合在复数中的应用

复数的几何意义包括两方面内容：一是与复平面上的点一一对应，二是与复平面上从原点出发的向量一一对应，这使得复数可以从解析几何的角度来审视，可借助数与形的互化来解题。

例8　已知z∈C，且︱z︱≤，求|z+1|的取值范围。

分析：利用复数在复平面上所对应的图形及其几何意义解决此类问题。

图7

解：︱z︱≤在复平面上对应的图形为以原点为圆心，以为半径的圆周及圆内部，|z+1|表示在复平面上z对应的点与-1对应点间的距离。由图7，|z+1|最大值为︱AC︱=32，|z+1|最小值为︱AB︱=  。故|z+1|∈［，］。

应用数形结合解题时要注意以下两点：其一，注意数与形转化的等价性，将复杂的问题转化成简单、熟知的数学问题，转化前后的问题应是等价的；其二，注意利用“数”的精确性和“形”的全面性，像判断公共点个数问题，转化成图形后要保证“数”的精确性，才能得出正确结论。有些问题所对应的图形不唯一，要根据不同的情况画出相应的图形后，再进行讨论求解。

总之，学生要真正掌握数形结合思想的精髓，必须有雄厚的基础知识和熟练的基本技巧，如果只理解了几个典型习题，就认为领会了数形结合这一思想方法，是错误的。所以要认真上好每一堂课，深入学习新教材的系统知识，掌握各种函数的图象特点，理解各种几何图形的性质。教师要引导学生根据问题的具体情况，注意改变观察和理解问题的角度，揭示问题的本质联系，用“数”的准确澄清“形”的模糊，用“形”的直观启迪“数”的计算，从而使问题得到解决。在平日的教学中，要紧紧抓住数形转化的策略，沟通知识联系，激发学生学习兴趣，提高学生的思维能力。只有这样，运用数形结合才能不断深化提高。