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高中数学核心概念教材编写的国际比较

时间:2014-03-19作者:人民教育出版社 王 嵘 章建跃(通讯作者) 宋莉莉 华东师范大学数学系 周 丹

 

摘 要:数学核心概念是一个拥有“核”的“概念群”,是由核心概念及其生长出的子概念组成的知识体系。经过比较,发现各国教材都十分重视发挥核心概念的育人功能。围绕核心概念建立教材的结构体系,主要从两个角度入手,一是建构以核心概念为中心的概念图,包括纵向发展主线和横向联系节点,以形成一个主线明确、联系通畅的网状体系;二是用一以贯之的数学教育观念统领教材的内容确定、素材选择、栏目设置、呈现方式等等,为实现数学教育目标提供可选择的学习资源,并体现多样化的学习方式。

 

关键词:核心概念 概念群 教材 国际比较 函数

 

数学核心概念在数学课程中的重要性已引起国际数学教育界的普遍关注和研究。围绕核心概念的研究有三个基本问题:(1)怎样的概念具有“核心”地位;(2)哪些是核心概念;(3)核心概念是如何组织和呈现的。本文从国际比较角度探讨问题(3),以期为我国高中数学课程设计和数学教材编写提供有益参考。

 

核心概念位居数学概念体系的中心点,自我生长能力强,可以生成一个“概念群”。因此,核心概念的组织和呈现,不仅要考虑此概念的发生和形成,还要从整体入手,考虑如何以此概念为中心,形成概念网络的体系和节点。

 

各国高中数学课程中,函数都是核心概念之一。所以,不失代表性,我们以函数为例展开研究。

 

一、函数概念的发展线索

 

我们选取美、法、德、日、中五国教材[15]进行比较分析,表1是五国教材中函数概念的发展线索。

 

1五国教材中函数概念的发展主线

 

由表1可见,函数概念在五国教材中的发展主线基本相同:定义→性质→基本初等函数,但存在如下显著差异:(1)性质和基本初等函数的编排顺序不同;(2)以函数为核心的网络节点上的概念选择差异较大,特别是图象变换和函数种类。如法国教材,有理函数、多项式函数都有涉及,并且介绍了多项式函数的形式化定义,而中国教材只涉及五个最基本的具体幂函数。

 

我们认为,因为各国的国情、数学教育理念、教育的传统乃至教材编者对数学知识的认识和定位都是不同的,所以出现差异很自然。这些“不同”所造成的差异不仅体现在核心概念网络体系的构建上,也体现在对核心概念本身的关注点、为学生构建的学习方式等方面。

 

二、对函数概念的关注点

 

核心概念位居数学知识体系的中心,其强大的生长力可以产生“柱根相连,柱枝相托,枝叶扩展”的“概念群”。函数概念更具代表性,与之相关的概念众多,例如:常量、变量、运动、变化、集合、对应、关系、映射、模型,以及应用、联系……对这些相关概念的重视程度,各国教材既有共性也有差异

 

    1.共同关注点:函数概念的联系性

 

早在100多年前,F·克莱因就提出中学要“以函数观念和几何直观作为数学教学的核心”的观点。“函数观念”(可以进一步具体化为“函数概念及其反映的数学思想方法”)作为整个高中数学的核心,可以在整套教材的组织中发挥联系纽带的作用。

 

从函数内容的具体组织看,各国教材都不集中安排函数内容,而是与其他领域的知识相互穿插。其中最突出的是美国教材,每一章都以穿插学习的方式,把与当前学习的具体函数有直接联系的各种知识都穿插在一起。例如“线性函数与数列”一章,以“线性关系”为纽带,将代数、几何和统计领域中的直线方程、等差数列、回归直线和阶梯函数等相关概念融会贯通,而联系它们的核心概念就是线性函数(如表2)。

 

2“线性函数与数列”的知识体系

 

为使“联系”更加自然,美国教材以“问题解决”为指导思想,围绕着解决实际问题的需要,通过建立不同类型的函数模型,引出相关概念,让学生“了解直线、几何和统计之间联系”。例如,通过建立常数增长(或下降)情境的函数模型,导出直线方程的斜截式及其图象;通过建立描述两组相关联数据关系的函数模型,导出回归直线的定义等。

 

从教材呈现来看,与函数概念的联系表现出多向性。例如,我国教材专设一节函数与方程;日本教材在介绍了具体函数(如三角函数、有理函数等)概念和性质后,通过函数图象研究相应的方程和不等式;法国教材将算法和函数密切结合,如函数定义一节中的“能力12 用一种算法定义一个函数”,其中的问题1和问题2(见表3)要求学生从算法到函数、从函数到算法进行转换,意在促进学生建立算法和函数间的联系,从而既能从不同角度理解这两个数学对象,又能在一定的情境中恰当地选择数学对象解决问题。

 

3 能力12 用一种算法定义一个函数

 

2. 不同的关注点:函数概念定位的差异

 

由于对函数概念内涵的关注程度不同,各国教材在素材、知识点的选择、呈现方式等方面出现差异。对函数概念内涵不同的关注点,本质上反映了各国对函数学习的不同定位,而不同的定位又是不同数学教育观念的具体反映。

 

o        美国教材的关注点:模型

 

美国教材将函数定位为“描述两个变量关系的数学模型”。因此,函数概念的模型特性成为关注重点,主要表现在:

 

1)给出函数定义后,教材对数学模型的涵义进行了解释——现实情境的数学模型就是用数学的语言和概念描述它,并举例说明通常必须简化现实情境以构建数学模型;

 

2随后一章(Variation and Graphs),教材举例说明建立函数模型的两种方法,一是利用数学原理(如各种算法、度量公式、统计量等),二是通过拟合数据;

 

3)介绍某种具体函数时,都包含了建立函数模型刻画实际情境的内容;

 

4FunctionsStatistics and Trigonometry专门设置了一章“函数与模型”,总结Advance Algebra中介绍的函数模型

 

从问题情境看,美国教材选择了大量现实素材,而且类型具有多样性;从对情境的描述看,美国教材注重问题的真实性、可信性和趣味性。如表4是美国教材和中国教材中都有的细胞分裂情境,显然美国教材给出了更具体丰富的细节,不仅出现了一种常见细菌细胞的名称、分裂时间,而且还配了图片。

 

4 教材中的细胞分裂情境

  

 

o        德教材的关注点:图象和现实导向

 

函数图象是函数概念的表示方式之一,同时它也是研究函数性质、解决相关问题的有力工具。五国教材都关注函数图象,但德教材对函数图象的研究最具系统性:

 

1)在具体函数(三角、指对函数)中,充分利用图象研究函数性质;

 

2)专门设置一章(如表5)对图象和性质进行研究,使得每类具体函数的图象、定义域、值域、零点、对称性、无穷远处函数值等都有比较系统的呈现。

 

5 德国教材“函数的图象和性质”一节的内容

 

强烈的现实导向是德教材的另一关注点,目的在于让学生学会用函数概念去理解现实中的相关问题。教材选择了具有各种各样现实背景的实例,这些实例的数量和丰富度居五国教材之首。值得注意的是,这种“现实导向”并不只是背景上的丰富,其落脚点是问题解决。例如同是三角函数,德国教材强调利用概念并借助信息技术等工具解决问题,而我国教材强调知识间的联系,强调“为熟练公式和应用三角性质”的代数变换。

 

o        法国教材的关注点:多元表示和形式化

 

法国教材试图用多种手段呈现每一概念,如数字、表格、图形、代数表达式等,这是一个很显著的特点。主要采取了如下措施:

 

1)介绍概念时,采用图表、计算等手段明确概念内涵。例如,引入函数定义的“介绍活动”中安排了5个活动,多角度地呈现函数的元素及其内涵。活动1是算法角度:给出两个算法,引导学生观察、理解,得到“两个不同的算法使用的两种代数表达式,反映了同一种对应关系”;活动2是图象角度:利用计算机操作图象,探究函数相关元素及其关系;活动34是几何角度:解决几何问题以辨析函数的特征;活动5是计算角度:根据方程计算数值,认识函数。

 

2)设置应用问题(包括例、习题和课题学习)时,要求从文字表述、图表表征、符号表示等角度进行解决。如交流课题“2050年世界人口”,要求学生通过计算、作图、列表、文字叙述等手段解决教材提出的4个问题。

 

比较可见,法国教材对概念形式化和逻辑性的要求较高,主要表现为:

 

1)从定义到性质、定理,分别用DifinitionPropertyTheroem标注,逐条罗列、按章排序,这与我国大学数学教材的表述形式类似;

 

2)多采用符号语言叙述定义、性质和定理,简洁明确,这和美国教材的叙述方式差异颇大;

 

3)例题解答中,标明重点步骤采用的定理(性质),突出逻辑推理。

 

o          日本教材的关注点:直观化

 

日本教材除直接给出函数定义外,所有具体函数(一次、二次、分段、三角、指数、对数、简单分式、简单无理函数)的定义都采用“具体函数表达式→一般函数表达式→函数图象研究→函数性质及相关概念”的方式(如表6)。这种由“特殊到一般”的方式体现了日本教材对函数概念直观化的重视。

 

6 日本教材中的函数概念

 

o        中国教材的关注点:内涵和模型

 

    我国教材对函数概念的学习,一是强调对其内涵的理解,二是强调函数是一种模型。和以往相比,教材加强了“函数是刻画现实世界事物变化规律的数学模型”的观点,给出每一种具体函数模型的建立过程,并对不同函数模型(主要是指数函数、对数函数、幂函数)的增长差异进行比较等。但和美国教材相比,在“模型思想”的自然融入方面差距较为明显。

 

在五国教材中,我国教材在强调函数内涵理解方面最为突出。教材认为,函数概念是运动变化和对立统一等观点在数学中的具体体现,因此注重从变量之间依赖关系到集合之间对应关系的提升。具体表现在:采用集合与对应的语言描述三类函数实例中的变量及其关系,并在概括它们的共同特征基础上介绍严格的“对应说”;注重对函数概念的辨析,强调对函数整体性的认识,包括对三要素、函数符号、函数相等的细致分析和熟练应用。如下面的例2一直是我国教材中理解函数概念整体性的传统题目。而在介绍每一类具体函数时,都注重回归一般的函数概念,以促进学生更深入地认识函数在刻画现实世界中运动变化现象的重要性。

 

2 下列函数中哪个函数与函数y=x相等?

  

三、核心概念的学习方式

 

    各国教材在核心概念学习方式上采用了比较一致的做法,即强调学生的自主学习。主要有:自主探索、课题学习和加强与信息技术的整合。

 

     1.自主探索

 

     五国教材的具体做法为:问题和活动。

 

o        中国教材以问题引导学生学习核心概念

 

    我国教材以 “观察”“思考”“探究”等栏目将问题穿插在正文叙述中,主要作用是在知识形成的“关键点”上,在运用数学思想方法产生解决问题策略的“关节点”上,在数学知识之间联系的“联结点”上,在数学问题变式的“发散点”上引导学生的思考和探索活动。例如教材介绍了函数的几个典型实例后,为了促进学生思考它们的共同本质特征而概括出函数定义,用“思考:分析、归纳以上三个实例,变量之间的关系有什么共同点?”加以引导。

 

o        美、德、法教材均通过“活动”引导学生学习核心概念

 

通过“活动”学习数学概念是这些国家教材的一个共同特色,但呈现方式又各不相同,其中法国教材最具特色:

 

1)相对于美、德教材将活动与知识讲解相整合的做法,法国教材每一章都划分为三部分:介绍活动,课程知识,练习问题,将活动与知识讲解分离。“介绍活动”包括一些小的探究、实践或认知活动,重点是对知识在各种背景下的表征方式的认识和问题解决上。有调查(见注2)指出,法国教师对“介绍活动”最为关注且经常使用。

 

2)法国教材并没有给出“介绍活动”的分析和解答,这样就给学生提供了更大的自主探索空间,而且许多活动的解答方式乃至答案都可以不同,这也加大了学习方式多样性的力度。

 

    2.课题学习

 

    五国教材在核心概念的学习中,都安排了“课题学习”,主要是让学生通过知识的综合应用,以实践、交流等方式展开概念的进一步学习,实现知识的综合贯通。与常规习题相比,完成这样的任务往往需要对概念更深刻的理解、灵活的应用和更多的时间。例如,我国教材中安排了一个“实习作业”,让学生应用函数探究诸如“一杯开水的温度降到室温大约需要多少时间”等问题;美国教材章末设有“projecttime series data”,让学生寻找适合一定要求的例子;德国教材中的“课题:螺旋函数”,让学生研究与“正弦、余弦值”有关的另一类函数,同时渗透了数学史的知识(如图1)。

 

  

1

 

    3.信息技术的使用

 

数学课程的很多领域都适合使用信息技术。例如信息技术增加了“数学实验”的可能性,可以借助计算机、图形计算器等对数量关系、平面与空间中的位置关系和大小度量、数据处理等进行动态实验,能使学生更直观地发现某种规律性,进而提出问题并导向一个概念或性质。因此,五国教材都不同程度地使用了信息技术帮助学生学习核心概念。特别是美、德、法教材,使用信息技术的力度很大,表现在两个方面:

 

1)使用图形计算器、计算机和互联网等多种信息技术手段,目的是简化计算、方便作图,提高准确性,提高学习效率,同时还可以将数字和图表结合起来,丰富学习核心概念的视角,实现概念的多元联系表示。更重要的是,信息技术减轻了运算、作图等“体力劳动”,使学生有更多时间和精力用于探索更广泛、更本质的数学问题。例如,与中、日教材比较,美、德、法教材更加注重借助技术的图形功能,以更深入地研究函数图象变换问题。

 

2)使用信息技术的频率很高。例如,法国教材在“函数定义”一章安排的10个能力达标例题中,有5个需要使用信息技术;美国教材在“函数”一章有十多处使用了信息技术。

 

四、 结论与启示

 

1.核心概念应理解为一个拥有“核”的“概念群”,它是由核心概念及其生长出的子概念组成的知识体系。围绕核心概念建立教材的结构体系,主要可以从两个角度入手,一是明确以核心概念为中心的“概念图”,包括纵向发展主线和横向联系节点,以形成一个主线明确、联系通道顺畅的网状体系,这是关键;二是要有一个一以贯之的数学教育观念的统领,使教材在内容确定、素材选择、栏目设置、呈现方式等各方面都能为实现相应的数学教育目标而提供恰当的学习方式。“函数”是一个核心概念,五国教材都十分注重发挥函数概念的强大生长力,建立了以函数概念为“核”的辐射状的教材结构体系,这一体系具有概念联系的紧密性、多向性的特点,成为学生理解数学、应用数学解决问题的一个典型载体。

 

2.核心概念的强大生长力和深刻的思想性,决定了它必然具有内容的丰富性、联系的广泛性、表现方式的多样性和育人功能的全面性等特点,这就需要我们做出选择——以哪些内容和联系方式为载体、以怎样的组织方式才能充分发挥它的育人功能。比较发现,这种选择与一个国家的国情、数学教育观念、课程(教材)编制人员对数学和数学教育的认识等均有关系。例如对函数概念,五国教材的关注点存在显著差异,有的注重数学的抽象化,有的强调图象的直观,有的注重实际应用中体现的模型思想,有的注重函数作为联系代数、几何、统计等各科知识的纽带等等。各国教材对函数概念的不同关注点,以及精彩纷呈的处理方式,可以为我们把握函数教材的改革方向提供很好借鉴。

 

3.五国教材在核心概念的学习方式上表现出较大的一致性,即强调学生的自主探索和知识建构,问题引导和设置各种活动成为了教材普遍采用的方式。这样的一致性实际上是国际数学教育界对加强学生的自主性,提高学习的主动性,增强学习的探究性的认同,也是将自主探索、动手实践、数学阅读、合作交流等数学学习方式落在实处的举措。从学习目标的角度看,实际上都是为了使学生学会学习。

 

另外,在应用信息技术进行数学学习方面,欧美教材表现出更大的热情。比较发现,信息技术对数学教材有多方面影响。例如,数学知识的选择,信息技术的使用可以降低某些数学知识学习的门槛,如图象变换;数学学习方式的改变,信息技术使得自主探索、动手实践、合作交流等学习方式成为“家常便饭”。

 

1:本文系国家社会科学基金“十一五”规划2010年度教育学重点课题“主要国家高中数学教材比较研究”(课题批准号:AKA100009)子课题“主要国家高中数学教材核心概念、技能及重要思想方法的比较研究”主持人:章建跃)的阶段性成果。

 

2Birgit Pepin,Oxford;Linda Haggarty,Milton Keynes.Mathematics textbooks and their use in English,French and German classrooms.ZDM 2001 vol.33(5).

 

  参考文献:

 

  [1]中国, 《普通高中课程标准(实验)教科书数学A 版》, 人民教育出版社(20072))。

 

  [2]日本, 新编数学, 数研出版株式会社(2006)。

 

  [3]美国, UCSMP, McGraw_Hill20103))。

 

  [4]法国, Maths, Belin2005)。

 

  [5]德国, LS Mathematik, Klett2006)。

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