磁悬浮列车是一种高速运载工具。它具有两个重要系统：一是悬浮系统，利用磁力（可由超导电磁铁提供）使车体在导轨上悬浮起来与轨道脱离接触；另一是驱动系统，在沿轨道上安装的三相绕组（线圈）中，通上三相交流电，产生随时间、空间作周期性变化的磁场，磁场与固连在车体下端的感应金属板相互作用，使车体获得牵引力。为了有助于了解磁悬浮列车的牵引力的来由，我们求解下面的问题。

　　设有一与轨道平面垂直的磁场，磁感应强度随时间和空间位置变化规律为，式中 ，，均为已知常量，坐标轴与轨道平行。在任一时刻，轨道平面上磁场沿方向的分布是不均匀的，如图所示。图中Oxy平面代表轨道平面，“×”表示磁场的方向垂直Oxy平面指向纸里，“”表示磁场的方向垂直Oxy平面指向纸外，规定指向纸外时取正值。“×”和“”的疏密程度表示沿着轴的大小分布。一与轨道平面平行的具有一定质量的金属矩形框MNPQ处在该磁场中，已知与轨道垂直的金属框边MN的长度为，与轨道平行的金属框边MQ的长度为，金属框的电阻为，不计金属框的电感。试求在时刻，当金属框的MN边位于处时磁场作用于金属框的安培力，设此时刻金属框沿轴正方向移动的速度为（）。

　　题给的磁场随时间和空间的变化具有周期性，在某时刻，磁场的空间分布为,在时刻，磁场的空间分布为

　　 ，比较上面两式，不难看出，和这两个时刻的磁场的空间分布规律是相同的，只是时刻原位于处的磁场，经历时间，在时刻，出现在处．即整个磁场的分布经时间间隔沿轴的正方向平移了一段距离，平移速度，平移速度为恒量．由此可见，题给出的磁场可视为一在空间按余弦规律分布的非均匀磁场区域以速度沿x轴的正方向平移．如果金属框移动的速度小于磁场区域平移的速度，那么通过金属框的磁通量将随时间发生变化，从而在金属框中产生感应电流，感应电流将受到磁场的安培力作用，使车体获得牵引力，此即磁悬浮列车的牵引力的来由。下面笔者通过三种方法来计算安培力的大小。

　　方法一：在时刻t，金属框移动的速度为，金属框边位于坐标x处，PQ边位于坐标处，设此刻穿过金属框的磁通量为，规定由纸内到纸外为正，则

　　规定框内的感应电动势沿顺时针方向为正。

　　先假定金属框不动，则因空间各处磁感应强度随时间变化而产生的感生电动势为

　　再假定空间各处磁感应强度不随时间变化，考虑金属框沿x轴正方向以速度移动切割磁感线而产生的动生电动势。金属框边位于坐标x处产生的动生电动势为，边位于坐标处产生的动生电动势为，则因金属框移动切割磁感线而产生的动生电动势

　　故框内的总感应电动势

　　当然，我们也可以直接通过对时间求导，求得框内的总感应电动势，只是要同时考虑金属框边的位置坐标随时间变化，且（为金属框沿x轴正方向移动的速度）

　　故框内的总感应电动势，通过计算得

　　规定金属框内的感应电流沿顺时针方向为正，可得时刻的感应电流为

　　规定向右的力为正，则磁场作用于金属框边的安培力为，由于边和边的电流方向相反，磁场作用于金属框边的安培力为，故金属框的安培力的合力

　　由以上各式得,再利用三角公式得

　　，称为安培力的幅度．从上式可以看出，安培力在的幅度内随时间变化，但其值不会小于零，表示磁场作用于金属框的安培力始终向右。

　　方法二：设时刻穿过金属框的磁通量为（规定由纸内到纸外为正），经过一很短时间间隔，整个磁场分布区域向x方向移动了一段距离，金属框向x方向移动了一段距离，其结果是：边左侧穿过面积为的磁通移进了金属框，边左侧穿过面积为的磁通移出了金属框，故在时刻，通过金属框的磁通为

　　在时间间隔内，通过金属框的磁通增量为

　　规定框内的感应电动势沿顺时针方向为正，则时刻的感应电动势       故，以下解法同方法一。

　　方法三：在时刻，金属框沿x轴正方向移动的速度为，磁场区域以速度 （）沿轴的正方向平移，则金属框相对磁场区域沿轴负方向移动的速度为，金属框边和边因切割磁感线而产生动生电动势，规定框内的感应电动势沿顺时针方向为正，则金属框边位于坐标x处产生的动生电动势，边位于坐标处产生的动生电动势，故框内的总感应电动势

　　，以下解法同方法一。

　　那么安培力的大小与线框几何尺寸的关系是怎样的呢？我们只需讨论安培力的幅度与线框几何尺寸的关系。与金属框长度l的平方成正比，与金属框的宽度d有关：

　　当， 即时，；

　　当，即时，达最大值；

　　当d取其它值时，介于0与最大值之间。