分析一些同类特殊事例，确切判断出它们所共有的因果联系和特征，作出一般结论。这种由特殊推出一般的推理方法叫归纳推理。物理学中许多普遍概念和规律都主要是用归纳推理得出的。归纳推理是解决物体与物体发生多次作用后的情况，即当问题中涉及相互联系的物体较多并且有规律时，应根据题目特点应用数学思想将所研究的问题归类，然后求出通式。常用它来研究运动规律已知，在一定条件下连续进行的、具有共同规律而具体数量特征不同的多阶段运动问题。它具体方法是先分析某一次作用的情况，得出结论；再根据多次作用的重复性和它们的共同点，把结论推广，然后结合数学知识求解；或导出联系相邻两次作用的递推关系式，再把结论推广，后结合数学知识求解。
【题目】（2007年全国理综浙江卷试题）如图1所示，质量为m的由绝缘材料制成的球与质量为M=19m的金属球并排悬挂。现将绝缘球拉至与竖直方向成θ=60°的位置自由释放，下摆后在最低点与金属球发生弹性碰撞。在平衡位置附近存在垂直于纸面的磁场。已知由于磁场的阻尼作用，金属球将于再次碰撞前停在最低点处。求经过几次碰撞后绝缘球偏离竖直方向的最大角度将小于45°。
【分析】因绝缘球与金属球每次碰撞后，其速率将减小，从而使其偏离竖直方向的最大角度在减小。而每次两球碰撞后，绝缘球的速率是有规律性的变化，要求解本题题设条件下的碰撞次数，关键在于归纳出绝缘球在每次碰撞后的速率变化规律。
【解析】方法1．根据多次作用的重复性和它们的共同点，把结论推广，然后结合数学知识求解。设小球m的摆线长度为l，绝缘球第一次碰撞前的速度为v0，碰撞后绝缘球与金属球的速度分别为v1、V1，设速度向左为正，小球m在下落过程中与M相碰之前满足机械能守恒：
， ①
m和M碰撞过程满足：mv0=MV1+mv1 ， ②
， ③
联立②、③得：
，
由于v1<0，说明绝缘球被反弹，而后绝缘球又以反弹速度的大小和金属球M发生碰撞，设第二次碰撞后绝缘球与金属球的速度分别为v2、V2，满足：
m|v1|=MV2+mv2 ，④
， ⑤
由④、⑤解得：
，
整理得：
，
同理第三次碰撞后绝缘球的速率v3为：
，
由以上归纳推理得到第n次碰撞后绝缘球的速率为vn，
所以：
，⑥
经过第n次碰撞后绝缘球偏离竖直方向的最大角度将小于45°，则
，⑦
联立①、⑥、⑦代入数据解得，（0．81）n=0．586，
当n=3时，碰撞后绝缘球偏离竖直方向的最大角度将小于45°。
方法2．导出联系相邻两次作用的递推关系式，再把结论推广，后结合数学知识求解。
设在第n次碰撞前绝缘球的速度为vn-1，碰撞后绝缘球、金属球的速度分别为vn和Vn-1，由于碰撞过程中动量守恒，碰撞前后动能相等，则
mvn-1=MVn+mvn ，
，
解得
，
由以上归纳推理得到第n次碰撞后绝缘球的速率为vn，，
再利用方法1的求解可得到结论。
通过上面的实例分析可以看出，进行归纳推理的思维程序是：先根据问题已知条件或一般规律研究前几个阶段运动（通常研究前三个段即可），或导出联系相邻两次作用的递推关系式，列出有关联系式或方程；然后分析确定它们间的数量变化特征，写出通式，再求解问题的目标。
巩固练习：
1．（2004年江苏省高考试题）一个质量为M的雪橇静止在水平雪地上，一条质量为m的爱斯基摩狗站在该雪橇上。狗向雪橇的正后方跳下，随后又追赶并向前跳上雪橇；其后狗又反复地跳下、追赶并跳上雪橇，狗与雪橇始终沿一条直线运动。若狗跳离雪橇时雪橇的速度为V，则此时狗相对于地面的速度为V+v（其中u为狗相对于雪橇的速度，V+v为代数和，若以雪橇运动的方向为正方向，则V为正值，u为负值）。设狗总以速度v追赶和跳上雪橇，雪橇与雪地间的摩擦忽略不计。已知v的大小为5m/s，u的大小为4m/s，M=30kg，m=10kg。（1）求狗第一次跳上雪橇后两者共同速度的大小。（2）求雪橇最终速度的大小和狗最多能跳上雪橇的次数。（供使用但不一定用到的对数值：lg2=0．301，lg3=0．447）
答案：（1）2m/s；（2）狗最多能跳上雪橇3次，雪橇最终得速度大小为V4=5．625m/s。
2．（1995年全国高考试题）如图2所示，一排人站在沿x轴的水平轨道旁，原点O两侧的人的序号都记为n（n=1，2，3…）。每人只有一个沙袋，x＞0一侧的每个沙袋质量为m=14kg，x＜0一侧的每个沙袋质量m′=10kg。一质量为M=48kg的小车以某初速度从原点出发向正x方向滑行。不计轨道阻力。当车每经过一人身旁时，此人就把沙袋以水平速度u朝与车速相反的方向沿车面扔到车上，u的大小等于扔此袋之前的瞬间车速大小的2n倍。（n是此人的序号数）
（1）空车出发后，车上堆积了几个沙袋时车就反向滑行？
（2）车上最终有大小沙袋共多少个？
答案：（1）3；（2）11。
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