我们在学知识时，不但要知其果，更要索其因，知识的得出过程是知识的源头，也是研究同一类知识的工具，例如：等差数列前n项和公式的推导，用的是”倒序相加法”，这种方法的重要性不亚于等差数列前n项和公式,它能以多种知识为载体去应用，下面通过例题将此法的应用做一下归类与分析．

 

一  在数列中的应用

 

例１：设等差数列，公差为，求证：的前项和=

 

证明：　　　．．．．．．．．．．．①

 

倒序得：．．．．．．．．．．．．②

 

①＋②得：

 

　　　　

 

又　＝＝＝．．．＝

 

　　

 

　　

 

评析：　由推导过程可看出，倒序相加法得以应用的原因是借助等差数列的重要性质：

 

＝＝＝．．．＝为平台.

 

二  在排列组合中的应用

 

例２：求证：

 

证明：　　　．．．．．．．．．．①

 

倒序得：

 

 

　　　　　．．．．．．．．．②

 

①＋②得：

 

　　　　

 

　　　　　　

 

　　　

 

评析：本题用倒序相加法的背景是组合数所具备的两条重要性质：和从而倒序相加后和得以求出．

 

三  在函数中的应用

 

例３：已知函数，点、是函数图象上的任意两点,且线段的中点的横坐标为．

 

求证：（１）点的纵坐标为定植

 

（２）在数列中,若　，求数列的前项和

 

解：（１）　的中点的横坐标为

 

　　　

 

　　　

 

　　　　　　，

 

　　　

 

　　　　　　　　

 

　　　　　　　　

 

　　　　　　　　

 

　　　的纵坐标为是定值．

 

　（２）　由（１）知：，

 

　　　　

 

　　　　又　

 

　　　　　　　　　　　　　　　　　

 

　　　　　令．．．．．．．．．．．．．①．

 

倒序得：．．．．．．．②

 

①＋②得：

 

　　

 

　　　　

 

　　

 

　　

 

评析：　　显然,此题用倒序相加法的条件是函数具备的特殊性质:

 

　　　　　　　　　　　　

 

四  在三角函数中的应用

 

例４：求

 

解：　　设　．．．．．．．．．．①

 

倒序得：

 

　　　　　．．．．．．．．．．．②

 

①＋②得

 

　　　　

 

　　　　　　

 

　　　

 

评析：本题用倒序相加法是利用了三角函数所特有的和两条性质．

 

　　总之，倒序相加法可以在各个知识领域内得到应用，其应用的实质是倒序相加后和可求，而求和时又常需要变形，然后用知识具备的特有性质作为条件把和求出.