课堂实录：

求证：             ①

这是人教版．选修１－２Ｂ版，第47页习题2－2B 第1题．学生很顺利地完成了这道题的证明，笔者发现，这正是柯西不等式的二维形式，且是很多与不等式有关题目的原型，于是在课堂中作了如下的教学安排．

师：请同学们仔细观察这个不等式有哪些优美的特点呢？

这个不等式结构明显，很多学生举手发言．

生1（作为代表）：这个不等式共有三个括号，每个括号均是两个二次式的和，不等式左边是两个括号的积，且每个括号都是两个数的平方和，不等式右边是左边两括号中对应位置各数积的和的平方，中间用大于等于号联结．

师：这位同学观察仔细，道出了这个不等式的主要特点，这个特点是很优美的，一是每个括号的各项都是二次，和谐统一，二是左边括号数的运算特征与右边括号中数的运算特征结构上前后呼应，完美对称．接下来请看以下两题，同学们能否给出问题的答案，并简要叙述你的解答呢？（同学们兴趣盎然，拭目以待）

1．已知，则 (a+b)2的最大值为__________．

2．已知,则(a+b)2的最大值为__________　．(2005年福建省高考数学理科第11题改编)

3．已知，则(a+b)2的最大值为___________．

（写完题目后课堂顿时沉寂了下来，同学们纷纷动手演算）．

生2：第1题的结果可令①式中的c 和d都等于1，得到(a+b)2的最大值为12，同理第2题要凑出(a+b)2可以将改写为让后将①式中的c和d分别换为1和就会得出(a+b)2的最大值为9．同样的方法可得出第3题的结果为5．

师：嗯，非常棒．这位同学注意了①式的变形及特殊使用，很快得出了正确的结果．现在请同学们对比第2题和第3题，你又能有什么新的启发呢？能否将第3题的问题更一般化呢？

生3：可以将第3题中的3和2用两个变量替换这两个变量且都是正数，问题不变．

师：这位同学提出了一个新问题，即就是：

已知，求(x+y)2的最小值．很明显这个问题被抽象出来了，我很欣赏你的抽象概括能力，根据原来的思路我们不难求出问题的答案……(我还没有总结完，生4又举手要求发言了)

生4： 我有一个更新的问题：已知，能否像①式一样有一个一般的不等式呢？也就是说大于等于什么，至于结论我还没想出来．

这时教室里充满了浓厚的研究学习氛围，大家都叹服这两同学的抽象概括能力．而有的同学，拿着笔在草纸上认认真真的演算着，一副不肯认输的样子．

师：很好，很好．发现问题比解决问题更重要，这两同学都进行了非常深刻的思维，提出了更有价值的问题，引发了我们许多思考．现在请同学们相互讨论，看你能否解决生4提出的问题．

生5（非常高兴地举起了手）：老师我想出来了，我想把这个结论写道黑板上去．于是生5在黑板上写下了他的结论及证明过程：

4．已知则

证明：

 即

师：太精彩了！这位同学很有见底，并顺利完成了生5的解答．请同学们为他鼓掌．为了好看我们可以把这一不等式改造一下，分别用和替换式中的a和b变得如下不等式

         （）　　②

这样一来这个不等式又有了对称、简洁、整齐之美了．

随后我又让大家回顾了刚才这几位同学的思维过程：他们基本上都是以原有问题为出发点，经过观察，联想，类比，大胆猜测，勇于探索而得出结论的，这就是创新．

师：接下来请同学们解决以前我们做过的题目：

5．已知x , y∈R+，且x + y=1，则的最小值为____________．

同学们很快应用②式得出了答案为９．

此时同学们思维异常活跃，议论纷纷．

生2：应用刚才的推理，可以将②式改为：

已知且a +b=1，则　③

生6：由类比推理的知识，我可以将①式推广为：

推广１：     ④

推广２：

师：太棒了！这里的推广2就是著名的柯西不等式．可见只要同学们肯动脑筋，勇于探索，善于应用我们所掌握的数学思想方法，一样也可以成为数学家，好现在请大家先给出推广１的证明．

生７：

∴　

生８：由推广１可以得出一个条件不等式：

若a +b+c =1，则

生6：若将上式中的“1”改为m，则又可得一条件不等式：

若a +b+c =m，则

师：非常好，学以致用，用得恰当，这两条件不等式更为简洁，大家明白了吗？好，现在只剩下推广2的证明了，就留给同学们课下练习，同时也可参阅选修４－５Ａ版第３７页的内容，另外留给大家一个作业，谈谈你在这节课有什么收获和体会？以后在练习解题时，能否也像今天一样将你的思维发散开来，从不同角度去审视，探究，发现．

教后思：一道平凡的课后习题却潜藏着丰富的教学功能，在教学中，教师可根据学生实际，引导启发学生思维，通过探究活动，让学生体验数学的发现和创造的历程，勇于提出问题，解决问题，那么也就能使学生思维能力提高，还能使学生学得轻松．从而更好的培养学生的创新能力，有效的提高学生的数学素养．高中数学新课程理念之一是倡导积极主动、勇于探索的学习方式，这些方式有助于发挥学生学习的主动性，使学生的学习过程成为在教师引导下的“再创造”过程．因此，在平时的教学中，我们老师应充分挖掘教材中的每一道习题，通过适当的引导，最大限度地发挥这些习题的教学功效．

参考文献：

［１］．普通高中课程标准实验教科书．数学选修１－２Ｂ版．人民教育出版社．2005．

［２］．普通高中课程标准实验教科书．数学选修４－５Ａ版．人民教育出版社．2005．