数形结合思想是指根据数与形之间的对应关系，将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，使代数问题几何化，几何问题代数化。“数”与“形”的相互结合，相互渗透，实现了抽象代数和直观图像之间的相互结合，将抽象思维和具体数形结合起来，使问题化难为易、化繁为简。数学家华罗庚先生就曾经点出了数形结合的重要性：“数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞；数无形时少直觉，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休；切莫忘，几何代数流一体，永远联系莫分离。”

纵观历年来的高考题，试题中的集合、函数与不等式、线性规划、立体几何、参数范围、解析几何问题等都考查了数形结合思想的应用。但是学生对这部分习题的处理并不能游刃有余，甚至是试卷上的拦路虎，绊脚石。其根本原因是没有真正意义上的理解和掌握数形结合的思想，不能“让数直观，让形入微”，就更谈不上进行“数”与“形”的综合应用。

数形结合思想的应用主要包括“以形助数”和“以数辅形”两方面的内容。下面借助人教B版教材中的例题与习题，从这两大方面进行简单阐述：

一、“以形助数”：借助形的生动性和直观性来阐明数之间的联系，即以“形”作为手段，“数”为目的，用“形”的直观启迪“数”的计算，用“形”架起“数”与“数”之间的沟通桥梁。即在解决代数问题时，要注意数式的几何意义，通过几何图形的直观反映题设条件与结论之间的联系。常见的有借助数轴；借助函数图象；借助单位圆；借助数式的结构特征；借助解析几何方法等。

B版教材必修五中第三章《不等式》第五节《二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题》中的例题和习题就是“以形助数”的典范。主要考查借助数式的结构特征以及其几何意义求数式最值的问题。

例题：已知满足条件，求目标函数的最大值，最小值和相应的值。

分析：解答本题时若只从所给“数”式上分析，难度较大。但如果能画出图形，找到对应的点，结合数式的几何意义，在求解时就会更加直观，更加具体，更易于解答。

结合图形以及数式的几何意义分析，得出结论：

距离的平方。即

是原点与直线和直线的交点之间距离的平方。求解方程组得点，根据两点间距离公式得，。

另外在讲解时还可以将题目进行适当的改编，例如“（1）求目标函数的最大值，最小值和相应的值；（2）求目标函数的最大值，最小值和相应的值”来进一步巩固线性规划最值问题的求解。

通过课堂上的巡视发现学生错有两处：（一）方法不当，过程不细：找错点坐标，画错直线；算错数式符号，找错可行域；（二）目标函数的几何意义把握不准。线性规划中找准可行域是解题的前提和基础，但是符号怎么能判断的又快又准，这是学生学习时的一个难点。对此，利用课后习题对可行域的求解进行针对练习，然后引导学生总结出适合自己，易于掌握的判断方法：“当模特，摆造型”，即“只要不等式中的系数为正，头冲上，右手边始终为正”。这样既提高了学生的做题效率，又让学生体会到了学习的乐趣，变“苦学”，“难学”为“乐学”，“易学”。

二、“以数辅形”：借助于“数”的精确性和规范严密性来阐明“形”的某些属性，即以“数”作为手段，“形”作为目的，用“数”的准确澄清“形”的模糊，通过分析“数”来研究“形”。尤其是在解决几何问题时，利用其间的数量关系，结合代数方法，就可以弥补直觉想像的不足。常见的有直线与圆的位置关系的判定，空间向量在立体几何中的应用等。

B版教材必修五第二章中的第三节即2-3-3《直线与圆的位置关系》中的例题和习题就充分的体现出了代数在研究几何图形位置关系中的应用，将形的关系判断转化为数的计算，是“以数辅形”的典范。

例题：已知圆的方程为，直线方程是，问：当为何值时，圆与直线有两个公共点？一个公共点？没有公共点？

分析：若单从形的角度考虑，需要在同一坐标系中画出所给直线和圆的图象，然后观察直线和圆的位置关系，从而得出直线与圆相交，相切，相离时的值。

若单从数的角度考虑，本题可以转化为：当为何值时，方程组有两组不同实数解；有两组相同实数解；无实数解的问题。计算量偏大，对学生运算能力是一个巨大的考验。

如若结合“形”再考虑“数”，就可以进一步将之转化为“当取何值时，圆心到直线的距离小于半径，等于半径，大于半径”的问题。即只需将圆心到直线的距离与半径作比较，简化运算量，提高运算速度。

还可以让学生进一步思考，若将题中条件“”改为“”又该如何解答？

观察发现，学生在画图时知道将变形为，并注意到其中为圆的上半部分。但是在直线与曲线有一个交点的部分处理的不仔细，丢掉了相切的情况。在找两个交点的等价条件时，对临界点即区间的开闭处理的也不好。另外在求相切的等价条件时大部分同学考虑的仍然是相切的等价数式，很少同学想到利用平面几何中的三角形来求解可以简化运算过程，从而提高运算速度。

另外在《空间向量在立体几何中的应用》章节也体现出了“以数辅形”的思想。传统的立体几何中的点、线、面的位置关系的判定和证明重视公理化体系，强调用综合法处理，这对于大多数同学来说都是一个难点。但是引进了空间向量以后就把几何中的关系判断转化为代数的计算，相对来说降低了试题的难度，更易于学生接受。这正是“人面桃花相映红，代数几何相辅成，数形结合百般好，解决问题少不了”。

但不论是数形结合思想中的“以形助数”还是“以数辅形”都要求我们对题中所给出的“数”与“形”的条件要读懂，看透，即：（1）分析“透”题中“数”的直接条件及其隐藏的条件和等价结论，找到更精确的“形”来辅助研究，这就要求会读题，会分解题，会挖掘题；（2）看“透”读懂题中所给“形”，读懂“形”中的每一个关键点所包含的关系式，分析透“形”中每一部分的等价结论，力争“不算之算”，“不战而屈人之兵”。另外在分析时还要注意考虑等价性和双向性，即图形中不能精确刻画的数量关系以及“数”与“形”之间的相互转化。

总之，在数学教学中，“以形助数”，“以数辅形”的数形结合思想具有可以使问题直观呈现的优点，有利于加深学生对知识的理解和运用。在解答数学题时，又有利于帮助学生分析题目中数量之间的关系，丰富想象，引发联想，启迪思维，拓宽思路，避免复杂的计算和推理，迅速找到解决问题的方法，从而提高分析问题，解决问题和思维迁移的能力。正所谓：数与形，相映红；解难题，变轻松！