数学5地位、作用分析：

　　数学5是必修内容的最后一个模块。一共三章：解三角形、数列和不等式。这三章分别属于数学三个大的知识体系：几何、代数和分析。学完5个必修模块，学生应该已达到课标对高中毕业生学习数学的要求。

　　解三角形一章，融合了学生已学到的大部分几何知识。在教学时，可在这个知识层面上，复习已学过的几何知识和研究几何的方法。

　　数列一章，几乎用到了所有的代数方法和技巧。所以在这一章，可总结与复习代数方法技能。

　　研究不等式，要综合使用代数、坐标几何、函数分析等方法，这是提高学生综合解题能力的大好机会。

　　所以数学5的学习特别重要。可对高一学习过的数学知识进行复习与巩固，又可在新的知识层面上掌握新的数学知识和方法。为高二的学习打下良好的基础。

　　第一章    解三角形

　　一、基本特色

　　1．学生已学习过平面向量，本应在这个基础上学习正弦定理和余弦定理。考虑到教育数学的作用，教材又返回到三角函数的层面上，学习正弦定理和余弦定理。把斜三角形中的边角关系，作为锐角三角形边角关系的推广。

　　2．揭示正、余弦定理在解三角形中的作用。加强解三角形在测量中的应用

　　3．引导学生用向量的数量积，沟通勾股定理、余弦定理、正弦定理、和角公式、面积公式等各知识点间的联系。

　　二、值得研讨的问题

　　证明正弦定理和余弦定理的数学方法，如何选择才更有教育价值？

　　如何温故知新，并小结研究平面几何问题的数学方法？

　　三、教材分析与建议

　　1.1 正弦定理和余弦定理

　　正弦定理

　　1．教学要求

　　理解正弦定理的推导过程以及它与锐角三角函数之间的关系；

　　能熟练地运用正弦定理解三角形；

　　能用正弦定理证明简单的恒等式。

　　2．内容分析与建议

　　这一小节可用两节课：第一节课讲正弦定理和例2，第二节课通过例1讲正弦定理在解三角形中的应用。

　　复习直角三角形中的边角关系。

　　引导学生讨论关系式

　　对斜三角形是否成立。然后证明正弦定理。引导学生用正弦定理证明例2（三角形内角平分线的性质）。

　　通过例1讲解正弦定理在解三角形中的应用。对学习较好的学生可进行小结：题中的（1）已知两角及其夹边，方程有唯一解。这时，正弦定理等价于判断三角形全等的定理ASA。（2）和（3）是已知两边和其中一边所对的角，这时，列出的方程分别有两解和一解。一解，表示只确定一个三角形，两解表示两个不同的三角形。如果给出的几何条件，不能确定三角形，对应的方程一定无解。这种情况可不讨论。

　　由书中的图1-3（2），示意方程解确定的两个三角形，由此，要说明方程两解的几何意义，则要涉及到同弧上的圆周角等较多的几何知识。学生会发生困难。建议图改为

　　（4）根据两节课的内容，分别布置练习A、B中的练习。

　　1．1．2 余弦定理

　　1．教学要求

　　理解余弦定理的推导过程以及它与勾股定理间的关系；

　　记住余弦定理的两种表达形式，能熟练地运用余弦定理解三角形；

　　能用余弦定理证明简单的恒等式，

　　2．内容分析与建议

　　（1）余弦定理安排两节课教学。一节为余弦定理的推导，一节为在解三角形中的应用。

　　（2）复习勾股定理及其逆定理，以及这两个互逆定理在度量几何中的作用。

　　（3）推广勾股定理 如图所示，容易看出

　　c²=a(sinC)²+(b+acosC)²，

　　c²=a²+b²+2abcosC。

　　如果a、b为定长，观察c长随角C大小变化的情况，加深对余弦定理的认识。然后把它写成由三边求角的形式。

　　（4）加一道例题。求证：

　　（5）这组公式, 又常称做余弦定理或射影定理。通过解方程组，可解出cos A、cos B、cos C，从而得出余弦定理的第二种形式。

　　（6）通过例1、2、3，探讨余弦定理在解三角形中的应用。

　　（7）作为课堂练习，要求学生用向量的数量积运算，重做例3。

　　1．2 应用举例

　　1．教学要求：

　　培养学生的数学应用意识，激发学生学习数学的积极性；

　　掌握用正弦定理和余弦定理，解测量问题的一般方法；

　　能用正弦定理和余弦定理，列方程求解一些实际问题；

　　学生进行近似计算时，算法要简练、清楚，计算要准确。

　　2．内容分析与建议

　　问题1和2为测量题。解这两类问题的关键是选择测点和测量的基线。题中给出了测量方法和计算。讲解完后，应对这两类问题作一小结。

　　问题3是介绍解决平衡力系的数学方法。讲此题应该先简要的复习一下向量求和的平行四边形法则和三角形法则。问题4是解三角形方法用于天气预报的一个典型例子，有很好的教育价值。教学时，最好连边注中的提问一起完成。

　　边注提示：图1-16中，延长PQ到Q′,使∠AQQ′=40.3°,台风沿PQ方向，过点Q′时，则台风终止侵袭A城。侵袭A城的时间为台风经过Q到Q′所用时间。解△AQQ′，求出Q与Q′的距离，除以速度就可得侵袭A城的时间。

　　练习和习题都是解三角形应用的基本题，学生应全做。

　　探索与研究，引导学生用向量的数量积，推导平形四边形的面积公式。这种探索对学生深刻理解数学知识间的联系是有益的。建议再用和角公式再推证一次，参考过程如下：

　　由图可知

　　前者推导用到数量积，用sin²α+cos²α=1，把余弦转化为正弦。面积的正负号，不能由公式确定。后者，直接用两角差的正弦公式推导。从中可看到正弦、余弦所表示的几何意义和物理意义。同一始点的两个单位向量，夹角的余弦值为两个单位向量的内积，夹角的正弦值为两个单位向量张成的平行四边形（单位菱形）的有号面积。在物理上，一个为单位力做的功，一个为单位力产生的力矩。