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  (一)教学目标

  1知识与技能:通过实例,理解等差数列的概念;探索并掌握等差数列的通项公式;能在具体的问题情境中,发现数列的等差关系并能用有关知识解决相应的问题;体会等差数列与一次函数的关系。

  2. 过程与方法:让学生对日常生活中实际问题分析,引导学生通过观察,推导,归纳抽象出等差数列的概念;由学生建立等差数列模型用相关知识解决一些简单的问题,进行等差数列通项公式应用的实践操作并在操作过程中,通过类比函数概念、性质、表达式得到对等差数列相应问题的研究。

  3情态与价值:培养学生观察、归纳的能力,培养学生的应用意识。

  (二)教学重、难点

  重点:理解等差数列的概念及其性质,探索并掌握等差数列的通项公式;会用公式解决一些简单的问题,体会等差数列与一次函数之间的联系

  难点:概括通项公式推导过程中体现出的数学思想方法。

  (三)学法与教学用具

  学法:引导学生首先从四个现实问题(数数问题、女子举重奖项设置问题、水库水位问题、储蓄问题)概括出数组特点并抽象出等差数列的概念;接着就等差数列的特点,推导出等差数列的通项公式;可以用多种方法对等差数列的通项公式进行推导。

教学用具:投影仪

 

  (四)教学设想

  [创设情景]

  上节课我们学习了数列。在日常生活中,人口增长、教育贷款、存款利息等等这些大家以后会接触得比较多的实际计算问题,都需要用到有关数列的知识来解决。今天我们就先学习一类特殊的数列。

  [探索研究]

  由学生观察分析并得出答案:

  (放投影片)在现实生活中,我们经常这样数数,从0开始,每隔5数一次,可以得到数列:05____,____,____,____,……

2000年,在澳大利亚悉尼举行的奥运会上,女子举重被正式列为比赛项目。该项目共设置了7个级别。其中较轻的4个级别体重组成数列(单位:kg):48535863

水库的管理人员为了保证优质鱼类有良好的生活环境,用定期放水清理水库的杂鱼。如果一个水库的水位为18cm,自然放水每天水位降低2.5m,最低降至5m。那么从开始放水算起,到可以进行清理工作的那天,水库每天的水位组成数列(单位:m):1815.51310.585.5

我国现行储蓄制度规定银行支付存款利息的方式为单利,即不把利息加入本金计算下一期的利息。按照单利计算本利和的公式是:本利和=本金×(1+利率×寸期).例如,按活期存入10 000元钱,年利率是0.72%。那么按照单利,5年内各年末的本利和分别是:

时间

年初本金(元)

年末本利和(元)

1

10 000

10 072

2

10 000

10 144

3

10 000

10 216

4

10 000

10 288

5

10 000

10 360

各年末的本利和(单位:元)组成了数列:10 07210 14410 216 10 28810 360

  思考:同学们观察一下上面的这四个数列:05101520,…… 

                                  48535863 

1815.51310.585.5 

10 07210 14410 216 10 28810 360 

看这些数列有什么共同特点呢?

(由学生讨论、分析)

引导学生观察相邻两项间的关系,得到:

    对于数列①,从第2项起,每一项与前一项的差都等于 5  

    对于数列②,从第2项起,每一项与前一项的差都等于 5  

    对于数列③,从第2项起,每一项与前一项的差都等于 -2.5  

    对于数列④,从第2项起,每一项与前一项的差都等于 72  

   由学生归纳和概括出,以上四个数列从第2项起,每一项与前一项的差都等于同一个常数(即:每个都具有相邻两项差为同一个常数的特点)。

 

  [等差数列的概念]

  对于以上几组数列我们称它们为等差数列。请同学们根据我们刚才分析等差数列的特征,尝试着给等差数列下个定义:

  等差数列:一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列

  这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母d表示。那么对于以上四组等差数列,它们的公差依次是55-2.572

 

  提问:如果在中间插入一个数A,使A成等差数列数列,那么A应满足什么条件?

  由学生回答:因为aAb组成了一个等差数列,那么由定义可以知道:

A-a=b-A

                所以就有

由三个数aAb组成的等差数列可以看成最简单的等差数列,这时,A叫做ab等差中项

不难发现,在一个等差数列中,从第2项起,每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等差中项。

如数列:135791113…中537的等差中项,19的等差中项。9711的等差中项,513的等差中项。

看来,从而可得在一等差数列中,若m+n=p+q 

 

  [等差数列的通项公式]

对于以上的等差数列,我们能不能用通项公式将它们表示出来呢?这是我们接下来要学习的内容。

⑴、我们是通过研究数列的第n项与序号n之间的关系去写出数列的通项公式的。下面由同学们根据通项公式的定义,写出这四组等差数列的通项公式。

由学生经过分析写出通项公式:

     这个数列的第一项是5,第2项是10=5+5),第3项是15=5+5+5),第4项是20=5+5+5+5),……由此可以猜想得到这个数列的通项公式是

  这个数列的第一项是48,第2项是53=48+5),第3项是58=48+5×2),第4项是63=48+5×3),由此可以猜想得到这个数列的通项公式是

  这个数列的第一项是18,第2项是15.5=18-2.5),第3项是13=18-2.5×2),第4项是10.5=18-2.5×3),第5项是8=18-2.5×4),第6项是5.5=18-2.5×5)由此可以猜想得到这个数列的通项公式是

  这个数列的第一项是10072,第2项是10144=10172+72),第3项是10216=10072+72×2),第4项是10288=10072+72×3),第5项是10360=10072+72×4),由此可以猜想得到这个数列的通项公式是

⑵、那么,如果任意给了一个等差数列的首项和公差d,它的通项公式是什么呢?

  引导学生根据等差数列的定义进行归纳:

                   

n-1)个等式

  

  所以   

       

       

        ……

  思考:那么通项公式到底如何表达呢?

       

       

        ……

    得出通项公式:由此我们可以猜想得出:为首项,d为公差的等差数列的通项公式为:

   也就是说,只要我们知道了等差数列的首项和公差d,那么这个等差数列的通项就可以表示出来了。

选讲:除此之外,还可以用迭加法和迭代法推导等差数列的通项公式:

  (迭加法): 是等差数列,所以 

                                   

                                  

                                   ……

                                

           两边分别相加得      

           所以                

   (迭代法):是等差数列,则有 

                                                

                                    

                                     

                                    

                                     ……

                                    

                     所以        

 

  [例题分析]

  例1、⑴求等差数列852,…的第20.

-401是不是等差数列-5-9-13,…的项?如果是,是第几项?

分析:⑴要求出第20项,可以利用通项公式求出来。首项知道了,还需要知道的是该等差数列的公差,由公差的定义可以求出公差;

      ⑵这个问题可以看成是上面那个问题的一个逆问题。要判断这个数是不是数列中的项,就是要看它是否满足该数列的通项公式,并且需要注意的是,项数是否有意义。

解:⑴由=8d=5-8=-3n=20,得

    ⑵由=-5d=-9--5=-4,得这个数列的通项公式为由题意知,本题是要回答是否存在正整数n,使得-401=-4n-1成立。

    解这个关于n的方程,得n=100,即-401是这个数列的第100项。

例题评述:从该例题中可以看出,等差数列的通项公式其实就是一个关于dn(独立的量有3个)的方程;另外,要懂得利用通项公式来判断所给的数是不是数列中的项,当判断是第几项的项数时还应看求出的项数是否为正整数,如果不是正整数,那么它就不是数列中的项。

(放投影片)2.某市出租车的计价标准为1.2/km,起步价为10元,即最初的4km(不含4千米)计费10元。如果某人乘坐该市的出租车去往14km处的目的地,且一路畅通,等候时间为0,需要支付多少车费?

解:根据题意,当该市出租车的行程大于或等于4km时,每增加1km,乘客需要支付1.2.所以,我们可以建立一个等差数列来计算车费.

   =11.2,表示4km处的车费,公差d=1.2。那么当出租车行至14km处时,n=11,此时需要支付车费

 答:需要支付车费23.2元。

例题评述:这是等差数列用于解决实际问题的一个简单应用,要学会从实际问题中抽象出等差数列模型,用等差数列的知识解决实际问题。

(放投影片)思考例题:3 已知数列的通项公式为其中pq为常数,且p0,那么这个数列一定是等差数列吗?

分析:判定是不是等差数列,可以利用等差数列的定义,也就是看n1)是不是一个与n无关的常数。

解:取数列中的任意相邻两项n1),

求差得

    它是一个与n无关的数.

所以是等差数列。

课本左边“旁注”:这个等差数列的首项与公差分别是多少?

这个数列的首项。由此我们可以知道对于通项公式是形如的数列,一定是等差数列,一次项系数p就是这个等差数列的公差,首项是p+q.

  例题评述:通过这个例题我们知道判断一个数列是否是等差数列的方法:如果一个数列的通项公式是关于正整数n的一次型函数,那么这个数列必定是等差数列。

 

  [探究]

  引导学生动手画图研究完成以下探究:

  ⑴在直角坐标系中,画出通项公式为的数列的图象。这个图象有什么特点?

  ⑵在同一个直角坐标系中,画出函数y=3x-5的图象,你发现了什么?据此说一说等差数列与一次函数y=px+q的图象之间有什么关系。

  分析:⑴n为正整数,当n123,……时,对应的可以利用通项公式求出。经过描点知道该图象是均匀分布的一群孤立点;

  ⑵画出函数y=3x-5的图象一条直线后发现数列的图象(点)在直线上,数列的图象是改一次函数当x在正整数范围内取值时相应的点的集合。于是可以得出结论:等差数列的图象是一次函数y=px+q的图象的一个子集,是y=px+q定义在正整数集上对应的点的集合。

  该处还可以引导学生从等差数列中的p的几何意义去探究。

 

  [随堂练习]

  例1之后:课本45页“练习”第1题;

  例2之后:课本45页“练习”第2题;

  [课堂小结]

  本节主要内容为:

  ①等差数列定义:即(n2)

  ②等差数列通项公式:(n1)

  推导出公式:

  (五)评价设计

  1、已知是等差数列.

  ⑴ 是否成立?呢?为什么?

  ⑵ 是否成立?据此你能得出什么结论?

   是否成立?据此你又能得出什么结论?

  2、已知等差数列的公差为d.求证:

    
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