在生产和科学试验中，人们为了达到优质、高产、低消耗等目标，需要对有关因素的最佳组合（简称最佳点）进行选择，关于最佳组合（最佳点）的选择问题，称为优选问题．在实践中的许多情况下，试验结果与因素的关系，要么很难用数学形式来表达，要么表达式很复杂，优选法与试验设计是解决这类问题的常用数学方法．

简单地说，优选法是合理地安排试验以求迅速找到最佳点的数学方法．试验设计也是一种数学方法，一般说来，它是考虑在多因素情况下安排试验的方法，它可以帮助人们通过较少的试验次数得到较好的因素组合，形成较好的设计方案．

20世纪60年代，著名数学家华罗庚亲自组织推广了优选法，并在全国工业部门得到了广泛的应用，取得了可喜的成果．

本专题将结合具体实例，初步地介绍单因素、双因素的优选方法和多因素的正交试验设计方法，并对方法给予简单的说明，帮助学生理解这些方法的基本思想，并能思考和解决一些简单的实际问题．

一、内容与要求

1.通过丰富的生活、生产案例，使学生感受到现实生活中存在着大量的优选问题．

2.分析和解决具体实际问题，使学生掌握分数法、0.618法及其适用范围，可以利用计算机（或计算器）进行试验，并能思考和尝试运用这些方法解决一些实际问题，体会优选的思想方法．

3.了解斐波那契数列，理解在试验次数确定的情况下分数法最佳性的证明，通过连分数知道和黄金分割的关系．

4.通过一些具体的实例，使学生知道对分数法、爬山法、分批试验法，以及目标函数为多峰情况下的处理方法．

5. 通过丰富的实例，了解多因素优选问题，了解处理双因素问题的一些优选方法，进一步体会优选的思想方法．

6.通过丰富的生活、生产案例，使学生感受到现实生活中存在着大量的试验设计问题．

7.通过对具体案例（因素不超过3，水平不超过4）的分析，理解与运用正交试验设计方法解决简单问题的过程，了解正交试验的思想和方法，并能运用这种方法思考和解决一些简单的实际问题．

二、内容安排及说明

1.     课时安排

本专题教学时间约为18课时，具体分配如下（供参考）：

第一讲优选法                            约10课时

   一什么叫优选法                          1课时

   二  单峰函数                             1课时

   三  黄金分割法—0.618法                  2课时

   四  分数法                               2课时

   五  其他几种常用的优选方法               2课时

　　六  多因素方法                        2课时

    第二讲  试验设计初步                     约6 课时

       一  正交试验设计方法                    4 课时                        

       二  正交试验的应用                      2 课时

   　　 学习总结报告                             约2 课时

2.     本专题知识框图

3. 对内容安排的说明

本专题是分优选法与试验设计两讲来介绍的．优选法主要对单因素问题和双因素问题，而试验设计主要就是对多因素问题。优选法内容的安排根据处理的因素由少到多逐步展开，先介绍单因素方法，再讲双因素方法．因为双因素方法是建立在单因素方法的基础上，通过把双因素转化为单因素,再从单因素着手解决双因素问题，所以讲完单因素方法，双因素方法的学习就变得比较容易．教科书介绍的单因素方法包括0.618法（也叫黄金分割法）、分数法、对分法、盲人爬山法、分批试验法．其中0.618法和分数法是优选法的重点，教科书花了比较大的篇幅处理这两种方法．

双因素优选法包括纵横对折法，从好点出发法，平行线法，双因素盲人爬山法。教科书对双因素方法只作了简单介绍，作为对单因素优选法的简单拓展．

在试验设计初步这一讲中，介绍了试验设计方法中最典型的正交试验设计方法，用它来处理多因素试验安排的问题．教科书在介绍了正交试验设计方法后，还对正交表的特性作了概括和总结，使学生进一步理解正交试验设计的合理性。并在接下去的一节中安排了正交试验的应用，介绍正交试验设计在各个不同领域应用的若干案例，以便让学生更好的掌握正交试验设计方法, 也使学生感受现实中存在大量的试验设计问题．这些案例的呈现是根据因素数和水平数由少到多进行安排．

4．本专题的重点和难点

（1）优选法中的重点是单因素问题中的0.618法和分数法，以及各种方法的应用范围和效率;试验设计中重点是了解正交试验的思想和方法，并能运用这种方法思考和解决一些简单的实际问题．

（2）优选法中的难点是理解0.618法和分数法的原理和认识分数法的最优性．试验设计中难点是理解正交试验的思想和方法．

三、编写中考虑的几个问题

1．重视直观、强调背景、体现应用

教材在介绍方法时强调直观，给学生一个直观的背景支持，对学生正确理解概念、建立概念的抽象定义都是非常重要．例如，教科书在给出单峰函数的概念时就是结合了炮弹飞行问题来介绍，用射程和发射角度的函数图像给出单峰函数的一个直观，然后再给出数学上的单峰函数的定义，由具体到抽象；在介绍用0.618法安排试验时，为了形象的表达0.618法的具体操作，教科书借用纸条的长度来表示试验的范围，用对纸条的操作来代替对试验区间的操作，比如对折纸条就可以找到试验区间上的对称点，剪断纸条表示舍去一部分试验区间，等等，因为纸条操作很直观，学生就很容易掌握；还有，在说明正交表的特性时，为了说明选择的试点分布很均匀，且这些试点具有很强的代表性，教科书借用一个三维立体图来说明，只要移动立体图形上的任何一个黑点，就不能使立体图的每个面上都有两个黑点，对应到试验，这就相当于是破坏了试点分布的均匀性，用立体图就很直观的表达了这种性质；在介绍斐波那契数列时，在阅读与思考中，给出了斐波那契数列兔子繁殖的数学模型,等等．

本专题介绍的内容是实践性很强的学科，不管是优选法还是试验设计，每一种具体的方法都有其实际的应用背景．为此，教科书强调由案例引入，通过对案例的分析，提出解决问题的办法，然后进一步提取问题特征，总结出解决具有此类特征的问题的一般方法．这是一个从具体到抽象，从特殊到一般的安排．力求避免单纯讲方法，太过抽象的分析的缺点．对分法，由寻找电路故障的案例引入；分数法，由锥形杯找出原材料的最佳加入量的案例引入；0.618法，由找炼钢加特定化学元素的最佳量的案例引入；等等．为了提高学生的应用意识，教科书除了在正文叙述是基于案例展开以外，对习题的配置也基本是由案例组成．习题的选取除了强调其应用背景，也尽可能的使所选习题具有时代性，趣味性。

2．强调数学思想方法

优选法处理的是目标与因素之间的关系不易用数学形式表达或数学表达太过复杂的优选问题，通过安排做试验的办法来寻找各种因素的最佳点．优选法虽然不是通过数学建模和通过模型计算来解决优选问题，但其安排试验用的还是数学的方法，在数学中属于最优化方法，是数学的一个重要分支．教材在强调优选法的应用背景同时，也力求讲理，讲数学的思想方法，强调其数学本质。虽然有些性质用中学的知识储备还不能给予理论上的严格证明，但还是尽量用通俗的语言或图表去说明方法或性质的合理性，让学生不仅要“知其然”，更要“知其所以然”．例如，在介绍0.618法的合理性时，教科书花了比较大的篇幅讲解如何导出0.618这个常数，说明为什么每次在区间内按0.618的比例选取试验点是最合理的，而不是单单告诉学生一个结论或一种操作方法；在用正交表安排试验时，除了文字，还通过用立体图等直观手段说明用正交表安排试验的合理性；等等

3．强调方法的内在联系

教科书通过“思考”“探究”等栏目，引导学生对各种方法进行比较，帮助学生思考各种方法的区别与联系，包括各种方法的适用范围，以及各种方法的效率等．例如，教科书在介绍0.618法和分数法的时，通过引入连分数这一数学工具，把这两种方法的本质联系在一起。当然在说明本质一样的同时，也强调这两种方法其适用范围是有差别的．

对于优选法与试验设计的联系，在试验设计这一讲的开始也作了交代．优选法在安排单因素优选问题的试验时，能够迅速地找出最佳点；对双因素问题，就要通过降维等方法进行处理，转化成单因素问题再解决，这个显然增加了问题处理的复杂度．如果因素比较多，再用降维的方法去处理，可以想象会很麻烦，操作性就变差．这就要求在方法上寻求突破，为此后引进正交试验设计法作好铺垫．优选法对因素少的时候比较适用，因素比较多的时候就应该用正交试验设计比较合适。

4．注重数学文化的渗透

教科书通过加边框的形式介绍为优选法作出重大贡献的我国著名数学家华罗庚，如华罗庚不仅对优选法进行理论上的研究，在全国组织推广了优选法，为优选法的发展作出了重大贡献。在介绍0.618 法时，“黄金分割研究简史”这篇短文是以拓展性学习的材料形式提供的，短文从公元前3世纪古希腊人研究比例说起，由线段的中末比提到黄金分割常数．然后追溯到公元500多年前的毕达哥拉斯学派，他们研究正五边形时发现了黄金分割作图法，这又是从几何问题出发认识黄金分割．短文还提到了“黄金分割”一词的由来以及关于它在建筑、艺术等方面的传说，最后提到优选法中的0.618法是黄金分割常数的重要实际应用．作为阅读材料，这篇短文本是供学生自学的．教学中也可以将其中一些内容穿插于讲授之中，以丰富教学内容，传播数学文化．

四、对教学的几个建议

综合考虑本专题的内容和要求、编写思路和教科书特点，我们认为有必要给出几条教学建议．

1．准确把握教学要求

本专题以使学生认识和了解最基本的优选法和试验设计为基本目标，在教学中注意结合案例引导学生借助具体问题来学习各种方法．教科书编写重点是各种方法在实践中的应用以及方法的合理性理解，并不过度追求理论上的严密性和过多的技巧，建议教学时充分理解教科书的编写意图，不要过度拘泥于追求严格的数学证明．

比如在正交试验的学习中，教材给学生提供常用的正交表．但正交表的构造要用到更多的数学知识，如有限域等，其内容超出了中学数学的范围．但是应该让学生知道，人们正是利用数学才造出了具有这种均衡性质的正交表．在教学中，教师应该帮助学生掌握如何根据实际问题中的试验情况寻找相应的正交表，学生应能正确填写正交设计表，并对试验的结果进行综合比较，获得最佳搭配方案，并进一步分析影响结果的因素的主次．学生应能认识和理解综合比较过程中的道理，而不仅仅是盲目的套用．

2．注意加强各种方法之间的比较

在教学过程中，注意加强各种方法之间的比较，包括各种试验方法的效率，适用范围等．例如，0.618法、分书法、对分法适用于一次只能出一个结果的问题，而在三种方法中，就效果而言对分法最好，每一次试验就可以去掉试验范围的一半；就应用范围而言，以分数法最广，等等．而分批试验法适用于同时出若干个试验结果的问题，爬山法适用于对象不宜调整或不宜大幅度调整的问题等．都可以通过比较的方法，让学生掌握。

3．结合具体案例学习

选法和正交试验设计都是实践性很强的学科，应在实践中的使用来理解和掌握。由于实际问题的试验需要一定的设备和条件，而学校条件的限制受限，实践起来有一定的困难，因此教科书安排一些可以通过数学模型或数学公式表示的案例和习题，目的是通过这些例子和习题，理解和掌握优选法和正交试验设计，并能恰当地运用优选法和正交试验设计．有条件的学校可以通过实际问题的试验来更好地理解和掌握优选方法及正交试验设计．