矩阵是研究图形（向量）变换的基本工具，有着广泛的应用，许多数学模型都可以用矩阵来表示。本专题将通过平面图形的变换讨论二阶方阵的乘法及性质、逆矩阵和矩阵的特征向量等概念，并以变换的观点理解解线性方程组的意义，初步展示矩阵应用的广泛性。
一、内容与要求
1．理解二阶矩阵的概念
2．二阶矩阵与平面向量（列向量）的乘法、平面图形的变换
（1）以变换的观点认识矩阵与向量乘法的意义。
（2）证明矩阵变换把平面上的直线变成直线，即证明
A(λ1α+λ2β)=λ1Aα+λ2Aβ。
（3）通过大量具体的矩阵对平面上给定图形（如正方形）的变换，认识到矩阵可表示如下的线性变换：恒等、反射、伸压、旋转、切变、投影。
3．变换的复合──二阶方阵的乘法
（1）通过变换的实例，了解矩阵与矩阵的乘法的意义。
（2）验证二阶方阵乘法满足结合律。
（3）通过具体的几何图形变换，说明矩阵乘法不满足交换律和消去律。
4．逆矩阵与二阶行列式
（1）通过具体图形变换，理解逆矩阵的意义；通过具体的投影变换，说明逆矩阵可能不存在。
（2）会证明逆矩阵的唯一性和(AB)-1=B-1A-1等简单性质，并了解其在变换中的意义。
（3）了解二阶行列式的定义，会用二阶行列式求逆矩阵。
5．二阶矩阵与二元一次方程组
（1）能用变换的观点认识解二元一次方程组的意义。
（2）会用系数矩阵的逆矩阵解系数矩阵可逆的二元一次方程组。
（3）会通过具体的可逆的系数矩阵，从几何上说明线性方程组解的存在性，唯一性。
6．变换的不变量
（1）掌握矩阵特征值与特征向量的定义，能从几何变换的角度说明特征向量的意义。
（2）会求二阶方阵的特征值与特征向量（只要求特征值是两个不同实数的情形）。
7．矩阵的应用
（1）利用矩阵A的特征值、特征向量给出Anα简单的表示，并能用它来解决问题。
（2）初步了解三阶或高阶矩阵。
（3）了解矩阵的应用。
二、内容安排及说明
1．课时分配
本专题分为四讲，共18课时，具体分配如下（供参考）：
第一讲 线性变换与二阶矩阵 约5课时
一 线性变换与二阶矩阵 约2课时
二 二阶矩阵与平面向量的乘法 约1课时
三 线性变换的基本性质 约2课时
第二讲 变换的复合与二阶矩阵的乘法 约4课时
一 复合变换与二阶矩阵的乘法 约2课时
二 矩阵乘法的性质 约2课时
第三讲 逆变换与逆矩阵 约5课时
一 逆变换与逆矩阵 约2课时
二 二阶行列式与逆矩阵 约1课时
三 逆矩阵与二元一次方程组 约2课时
第四讲变换的不变量与矩阵的特征向量 约4课时
一 变换的不变量——矩阵的特征向量 约2课时
二．特征向量的应用 约2课时
2．本专题知识框图
3．对内容安排的说明
本专题的主干内容分为四讲：第一讲 线性变换与二阶矩阵；第二讲 变换的复合与二阶矩阵的乘法；第三讲 逆变换与逆矩阵；第四讲变换的不变量与矩阵的特征向量。另外还有引言、一个“探究与发现”和一个学习总结报告。
（1）在引言中，首先回顾学生熟悉的平面图形的轴对称变换；然后用映射的语言重新叙述之；接着在平面直角坐标系中进一步进行研究，得到这个变换的坐标变换公式，它可以由一个二阶矩阵完全确定，由此激发学生的学习欲望；并给出本专题中研究问题的基本思想——类比解析几何中对曲线与方程的讨论，对二阶矩阵与某些几何变换进行类似的研究；最后明确本专题的主要内容。
（2）在直角坐标系中，平面上的点与有序实数对是一一对应的．这样，可以用代数方法表示几何变换，进而就可以从代数的角度研究几何变换。在第一讲中，首先通过两个特殊的旋转变换引入线性变换的概念，并通过线性变换引入二阶矩阵；接着介绍一般的旋转变换、反射变换、伸缩变换、投影变换和切变变换等几类重要的线性变换，熟悉它们对应的二阶矩阵，并通过这些具体的线性变换及其二阶矩阵，体验在直角坐标系中线性变换与二阶矩阵之间的一一对应关系；并进一步建立线性变换与二阶矩阵的联系，用二阶矩阵和向量的乘积表示线性变换；以二阶矩阵为工具研究线性变换的基本性质——二阶矩阵对应的线性变换把平面上的直线变成直线（或一点）；并利用线性变换的基本性质研究一些重要线性变换对单位正方形区域的作用，进一步加深对线性变换及其基本性质理解．
（3）在第二讲中，通过实例考察在直角坐标系内连续施行两次线性变换的作用效果是否能用一个线性变换表示，引入线性变换的复合，介绍二阶矩阵的一种重要运算——矩阵的乘法，并通过应用进一步理解矩阵的乘法；类比实数乘法的运算律，研究二阶矩阵乘法的运算律，证明矩阵的乘法满足结合律，通过学生熟悉的某些二阶矩阵所对应的线性变换对单位正方形区域的作用结果，得到矩阵的乘法不满足交换律和分配律．
（4）在第三讲中，类比实数的乘法运算中的一条重要性质：“如果
，则
”，分别把恒等变换
和单位矩阵
作为数１类比对象，通过线性变换引进逆矩阵，并通过线性变换和生活中的常识理解逆矩阵的性质；引进二阶行列式，利用它研究逆矩阵，解决如何判断二阶矩阵是否可逆以及如何求可逆矩阵的逆矩阵的问题；本讲还从线性变换的角度来认识解二元一次方程组的意义，并利用逆矩阵求解系数矩阵可逆的二元一次方程组．
（5）在第四讲中，通过研究两个熟知的重要线性变换的“不变”直线和“不变”向量，引入线性变换的一种重要的不变量——矩阵的特征向量；并从这两个线性变换出发，讨论特征向量的性质；给出特征值、特征向量的计算方法；利用特征向量的性质，得到
的简单表示，并应用这种简单表示解决一类实际问题（人口迁移问题）．
4．重点和难点
本专题的重点是通过平面图形的变换引入二阶矩阵，认识矩阵与向量乘法的意义，讨论线性变换的基本性质、二阶矩阵的乘法及性质、逆矩阵和矩阵的特征向量的概念与性质等，并以变换的观点理解解线性方程组的意义。
矩阵的内容比较抽象，本专题的难点是线性变换的基本性质、矩阵乘法的运算律（这可能是学生第一次遇到不满足交换律、消去律的运算）、矩阵的特征值与特征向量的概念等。
三、编写中考虑的几个问题
1．展现基本概念、重要结论的发生发展过程
这样的编写意图贯穿本专题内容的始终。教科书采取了“问题情境——引导探究——抽象概括”的方式，安排了从具体线性变换的实例中抽象概括出基本概念和重要结论的活动，以引导学生经历基本概念、重要结论的发生发展过程。例如，教科书在引入矩阵特征值、特征向量时，首先设置了一个探究栏目：“对于线性变换，是否存在平面上的直线，使得该直线在这个线性变换的作用下保持不变的呢？是否存在向量，使得该向量在这个线性变换的作用下具有某种“不变性”呢？”接着从两个具体的线性变换“关于
轴的反射变换
和伸缩变换
”入手，分别考察在这两个线性变换作用下“不变”的向量，得到
进而抽象概括出它们的共同本质特征，存在数
以及非零向量
使得
从而给出矩阵的特征值、特征向量的概念；教科书进一步利用这两个实例抽象概括出特征值、特征向量的性质。同样的，在引入二阶矩阵、矩阵和向量的乘法、矩阵的乘法、逆矩阵等基本概念时，在讨论线性变换的基本性质、矩阵乘法的运算律、逆矩阵的性质、用变换的观点来认识解二元一次方程组的意义时，都充分地展现了它们的发生发展过程。这样既使学生感觉到这些概念和结论是自然的而不是强加于人的，同时也有助于对这些基本概念、重要结论的理解。
总之，在基本概念和结论的内容安排中，强调了“过程性”。
2．强调把矩阵看作线性变换的本质，强调几何直观
矩阵的有关概念和结论比较抽象，教科书充分利用几何直观、利用矩阵所对应的线性变换来介绍这些抽象的概念和结论，从而有效地化解了矩阵内容的抽象性。
由于平面上的线性变换与二阶矩阵是一一对应的，因此，本专题在研究二阶矩阵时，常常通过研究矩阵对应的几何变换（线性变换）来进行。对于每个概念和结论，总是先通过具体的线性变换从几何直观上获得感知，进而抽象出矩阵中一般性的概念或结论，再从理论上对结论进行严格证明。例如，通过旋转角是
的旋转变换，引入矩阵与向量的乘积来表示这个旋转变换，这样，使学生认识到，某些几何变换可以用矩阵来表示，丰富学生对矩阵几何意义的理解；在得出线性变换的基本性质的过程中，先通过旋转变换从几何直观上感知
，通过关于x轴的反射变换从几何直观上感知
，然后再分别进行严格的理论证明，进而综合得到线性变换的基本性质，这样就使原本抽象、难以理解的结论变得自然、易于理解；通过两个连续施行两次具体的线性变换的实例，引入二阶矩阵的乘法；并且通过学生熟悉的几何变换的实例，说明矩阵的乘法不满足交换律和分配律；通过旋转变换、切变变换等具体的线性变换，并借助于几何图形、充分利用几何直观，引入逆矩阵的概念，引出并理解逆矩阵的性质；通过分别考察在两个几何变换（关于轴的反射变换、伸缩变换）作用下的“不变”直线，进而考察“不变”向量，引入矩阵的特征值、特征向量的概念，并通过这两个几何变换感知特征向量的性质；教科书还从线性变换的角度来认识解二元一次方程组的意义。
总之，本专题中，矩阵中的所有概念和结论都是先通过具体的几何变换使学生获得感知的，借助几何直观，有利于学生理解抽象的代数内容，从而也降低了矩阵内容的抽象程度。
借助几何变换（线性变换）研究二阶矩阵是本专题的基本出发点。
3．强调数学思想方法的渗透和运用
本专题中涉及类比、从特殊到一般、从具体到抽象、“数形”结合等多种数学思想方法。在引入概念、得出结论的过程中，适当渗透并运用数学思想方法是教材编写中考虑的一个重要问题。
(1) 类比
类比解析几何中研究曲线与方程的方法，讨论线性变换与二阶矩阵。曲线与方程是一一对应的，由曲线的性质可以研究对应的方程，由方程的性质也可以研究对应的曲线．与此类似，二阶矩阵与平面上的线性变换也是一一对应的，因而，我们既可以通过二阶矩阵来研究对应的线性变换，也可以通过平面上的线性变换来研究对应的二阶矩阵．本专题中，更多地是通过线性变换来研究对应的二阶矩阵。
类比实数乘法的运算律研究矩阵乘法的运算律。教科书首先回忆“实数的乘法运算满足一定的运算律，即对于实数
，有结合律：（ab）c=a（bc）；交换律：ab=ba；消去律：设，如果
，那么
；如果
，那么。”进而设置一个探究栏目“类比实数乘法的运算律，二阶矩阵的乘法是否也满足某些运算律？” 研究矩阵乘法的运算律。
(2) 从特殊到一般、从具体到抽象
教科书通过“思考”“探究”等栏目，引导学生经历从特殊到一般、从具体到抽象的过程，获得一般性的概念和结论，使学生理解概念和结论。
例如，教科书在引入矩阵的乘法时，先首先设置了一个探究栏目：“在直角坐标系xOy内，连续施行两次线性变换，其作用效果是否能用一个变换表示？是否存在一个二阶矩阵与这个新变换对应？如果存在，这个二阶矩阵与原来的两个线性变换的二阶矩阵有什么关系？”，然后由简单到复杂，分别考察依次施行两个旋转变换的作用效果、依次施行旋转变换
和切变变换
的作用效果，进而研究依次施行两个一般的矩阵
与
所对应的线性变换的作用效果，最终引入矩阵的乘法。
又如，教科书在研究逆矩阵的求法时，首先设置了一个探究栏目：“我们知道，二阶矩阵不一定可逆的．对任意给定的二阶矩阵A，如何判别它是否可逆？若可逆，如何求其逆矩阵呢？”接着从两个具体的矩阵
，
入手进行研究，发现第一个矩阵是可逆的、第二个矩阵不可逆；并进一步分析出第一个矩阵可逆的原因是
，第二个矩阵不可逆的原因是
；这样就为讨论一般的二阶矩阵何时可逆提供了方向：“对一般的二阶矩阵
，是否也有类似的结论？即当
时，
可逆；当
时，不可逆呢？”最后，通过严格的理论推导得出一般结论。
四、对教学的几个建议
1．准确把握教学要求
“矩阵与变换”是课程标准中的新增内容，教学中应准确把握内容的要求。本专题只对具体的二阶矩阵加以讨论，而不讨论一般m×n(aij)阶矩阵以及
形式的表示。二阶矩阵的内容比较抽象，应通过具体的线性变换的实例来组织教学，切忌从理论到理论只进行抽象的推导。例如，矩阵的引入要从具体的实例开始，通过具体的实例让学生认识到，某些几何变换可以用矩阵来表示，丰富学生对矩阵几何意义的理解；要从具体的线性变换直观地理解矩阵的乘法，并通过具体的实例让学生理解矩阵乘法的运算律；要在具体的实例中使学生理解逆矩阵、理解特征向量的实际意义及其不变性；结合具体实例能用线性方程组或用行列式来求解简单二阶矩阵的逆矩阵和特征值；逆矩阵的唯一性也要结合具体的线性变换来理解其合理性。
2．紧密结合几何变换（线性变换），引入矩阵的有关概念、得出矩阵的性质
在本专题的教学中，从引入二阶矩阵的有关概念到得出矩阵的性质，都应紧紧抓住二阶矩阵与平面上的线性变换一一对应的关系，紧密结合几何变换（线性变换）。通过几类重要的几何变换引入二阶矩阵；通过旋转角是的旋转变换，引入矩阵与向量的乘积来表示这个旋转变换，这样，使学生认识到，某些几何变换可以用矩阵来表示，丰富学生对矩阵几何意义的理解；先通过重要的几何变换感知和，再得出线性变换的基本性质；通过两个连续施行两次具体的线性变换的实例，引入二阶矩阵的乘法；并且通过学生熟悉的几何变换的实例，说明矩阵的乘法不满足交换律和分配律；通过旋转变换、切变变换等具体的线性变换，并借助于几何图形、充分利用几何直观，引入逆矩阵的概念，引出并理解逆矩阵的性质；通过考察在关于轴的反射变换、伸缩变换作用下的不变直线，进而考察“不变”向量，引入矩阵的特征值、特征向量的概念，并通过这两个几何变换感知特征向量的性质；教科书还从线性变换的角度来认识解二元一次方程组的意义。
总之，在本专题的教学中，矩阵中的每个概念和结论，都应先通过具体的几何变换使学生获得感知，借助几何直观有利于学生理解抽象的代数内容，从而也降低了教科书的抽象程度。在教学中，只要有可能就要与具体的几何变换相结合。
3．加强相关知识的联系性，强调数学思想方法
实数乘法运算的性质与矩阵乘法运算的性质的联系。
“数形”结合、类比、从特殊到一般、从具体到抽象数学思想方法。
例如，类比实数的乘法运算中的一条重要性质：“如果，则．”在研究变换和矩阵时，分别把恒等变换和单位矩阵作为数１类比对象，通过线性变换引进逆矩阵。
4．不过分追求数学体系的完整性，控制运算的难度
本专题着重通过平面图形的变换，介绍矩阵中具有明显几何变换背景的基本知识和基本思想，对几何变换背景不太明显的内容不作介绍，如不介绍矩阵的加法、数与矩阵的乘法等基本运算。这里不追求数学系统本身的完整性，也不追求数学上的一些细致的技巧和方法，而且仅限于讨论二阶矩阵，应控制矩阵形式上的复杂程度和运算上的难度，不做难题、怪题。
对二阶行列式，只是利用它来求逆矩阵和求解矩阵的特征值，不作为重点，也不应展开讨论。
下载：
