新课程培训中，专家们对单位圆在三角函数中重要地位的精彩陈述，引起了本人对以往教学中三角函数定义的抽象且不易掌握的反思，也产生了利用好单位圆进行教学的浓厚兴趣。然而在备课活动中，单位圆遭到了绝大多数教师的非议，他们认为三角函数什么内容都要跟单位圆有关系显得很牵强。是他们不肯放弃传统教材教法的处理模式，还是单位圆教学只是专家们的美好设想，不具有现实操作性？为寻求一个合理、科学、有效甚或高效的教学方法，本人就人教A版必修4“同角三角函数的基本关系”一节内容作了一次小型教学调查研究。

1．  研究过程

1．1对象

选取一所普通中学四个平行班213名学生为样本，两名执教教师教龄相同，风格相近。

1．2步骤

两名教师对课本21页至22页到例6为止的内容进行教学，随后出相应的练习。为减少当天教学所带来的即时警示效果，把两个测试题掺入其它几个题目一起布置，第二天收回，进行统计，然后访谈部分被试。

1．3教材处理方式

甲教师为强化单位圆作用作以下两个处理：

第一，把教材中的抽象推理说明改为用单位圆结合相似关系来证明(图1)；

第二，将例6的解法改为先利用正弦线找到角的两条终边，然后再分第三和第四象限讨论（图2）。

乙教师都按书本的方式讲，口头强调了例6这种问题要分象限讨论。

2.调查结果

对于问题“1.已知，求的值”“2.已知，求的值”完成情况统计如下：

教师	有效作业数	正确作业数	1对2   错数	采用三角函数线做法数	仿照例6解法数	其它方法数
甲	101	56	27	85	14	2
乙	100	67	2	0	99	1

　　乙教师任教的班级中学生出错的情况是不分象限笼统给答案，如，学生的错误是一致的，但乙教师的作业讲解仍采用强调的方式，学生不能完全接受。对要分象限讨论的思路，甲教师的学生很接受，但对正切线给值定终边的方式一些学生觉得作图有些难；两题都错的原因大都是不把图形作为解题的步骤放上去；仿照例6解答的学生都能答对。

3.       教学差异的知识迁移作用

三天后恰逢双休日，家庭作业中有一选择题：

已知，则2的的位置：（     ）。

A 一、三象限   B二、四象限  C一、四象限  D二、三象限

甲教师的班级中答对B的学生占了大多数，他们几乎都采用了画终边的方式，能准确确定的终边，从而准确地确定了2的终边；乙教师班里的很多学生则认为题目错了，因为，所以在第一、三象限，2的终边可在每一个象限，所以没有选项。这种模糊的对应导致了角的范围扩大，看来甲教师的学生知识比较容易迁移。

4.       思考

单位圆为载体的教学有一个明显的优势就是对应关系简洁明了，学生认为看得见、摸得着，直观性好，相比课本解答而言，他们心里更感踏实。访谈中学生告知正切线由值定终边刚开始觉得比较难，但熟练以后觉得单位圆对正确解题帮助很大，这与前面的选择题正确率高是一致的；随后的章节中，在讲解与平行的单位向量时，学生很难接受结论，后来很多学生想到利用单位圆的方法（图3），从而使公式变得形象直观，接受起来也就容易了。单位圆作为联系知识的载体，能使三角函数知识建立直观、具体而紧密的联系，这种联系使知识具有更强的可利用性。乙教师只在抽象的代数运算上强调注意符号问题，学生通过机械记忆方式学习，遗忘较快，期末复习时出错率明显增加，新课教学时的准确率优势不复存在。

单位圆的半径１没有单位，从图形角度来讲就是所有的普通圆，借助于可大可小的单位圆做一些变通，学生比较喜欢，也比较熟练。后来甲班学生在正弦函数的图象迁移到画余弦函数的图象时，教师没有任何提示，许多学生习惯地画了一个很大的单位圆，用笔当终边在转动，演示角的终边转动一定度数后，其三角函数线与原三角函数线的关系。有的学生对非常熟悉，所以在单位圆上以轴为始边，顺时针转的大小(图4)，把余弦线竖了起来，

　　保证了纵坐标描绘的正确性，在学生对角的终边进行旋转变换时，单位圆起了一个有力的“拐杖”作用；还有一些学生为把余弦线竖起来，在单位圆上比拟的时候发现把余弦线逆时针旋转就可以达到目的，且正负一致，而此时，的终边也转了(图５)，所以发现有向线段OM=ON,即，所以余弦函数的图象是正弦函数向右平移得到的。他们的思维方式也使教师收益匪浅。

由于从单位圆定义三角函数，到利用三角函数线画三角函数的图象间隔太长，对养成用单位圆的知识解决问题的意识和能力有不利影响，在利用三角函数线画图时已经有些生疏，作图不熟练，师生间互动不起来，所以只好以教师讲授为主。如果教材能在这两者之间增加用单位圆解决三角函数问题的机会，例如不仅借助单位圆推导诱导公式，而且也借助单位圆解答“已知函数值求角”“已知一个三角函数值求其余三角函数值”，使单位圆有更多的用武之地，那么单位圆的优势就更能发挥的充分，学生也会在三角函数学习中更习惯地使用单位圆。

参考文献：

　　[1] 数学课程标准研制组．普通高中数学新课程标准（实验）解读[M]．江苏：江苏教育出版社，2004

　　[2]　章建跃．为什么用单位圆上点的坐标定义任意角的三角函数．数学通报，2007,1

　　[3] 普通高中课程标准实验教科书数学4（必修）．北京：人民教育出版社，2004