函数是中学数学的核心内容，是代数的“纽带”，代数式、方程、不等式、数列、微积分等都与函数知识有直接的联系。同时，函数在物理、化学等自然科学中有着广泛的应用，在解决生产生活中的实际问题时，也往往采用函数作为建模的基本工具。另外，函数知识的学习对学生思维能力的发展具有重要意义，从常量数学到变量数学的转变，是从函数概念的系统学习开始的。因此，函数的教学非常重要。课改以来，各版课标教材对于函数内容的处理也非常重视，百花齐放，各有特色。本文将对一些版本的初中数学课标教材的函数内容的处理进行比较分析，并以此为依托，对如何进行初中函数教学提出一些思考。

 

一、教材处理的比较与分析

 

在《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》中，函数内容主要包括“函数”“一次函数”“反比例函数”和“二次函数”。各个版本课标教材对于这些内容的安排呈现了一些共同的特点。  

 

1．螺旋上升安排函数内容，分散教学难点

 

为了分散函数教学这个传统的难点，与以往大纲教材将函数内容集中安排在《代数》第三册相比，各版课标教材都将函数内容分散处理。下表展示了一些版本教材对于这些内容的具体安排。

 

可以发现，分散安排、螺旋上升，是各个版本教材对于函数内容安排的一个共同特点。例如，人教版教材按照“一次”和“二次”的数量关系，使方程和函数交替出现，即按一次方程（组）、一次函数、二次方程、二次函数的顺序螺旋上升。这样处理，可以克服直线式发展所产生的不易理解消化的弊病，分阶段地不断深化对方程和函数的理解。在河北教育版教材中，全套书涉及函数内容的章有“数量与数量之间的关系（七上第5章）”“函数（八下第21章）”“一次函数（八下第25章）”“反比例函数（九上第30章）”“二次函数（九下第34章）”等。

 

为了克服提前安排函数内容带来的“难点提前”的问题，各版课标教材也都注意在正式出现函数概念之前，结合代数式、方程、不等式等内容，渗透函数中变化与对应的思想，为理解函数概念做准备。有些版本教材还专门设置相关章节，提前讲授变量之间的关系。例如，河北教育版教材在七上就安排了“数量与数量之间的关系”一章，将传统教材中分而设置的代数式与函数的初步知识有机结合，通过“小麦出粉率”“运装粮食”“蔬菜价格”“拖拉机耕地”等问题背景，结合列代数式、求代数式的值等，加强对数量之间关系的认识，为后续学习进行铺垫。

 

对于教师对函数内容安排方式的意见，在本课题开展的“教材使用情况的调查与分析（初中部分）”中，有一个问题是“在数与代数领域，您认为函数内容是集中安排好还是分散安排好？”，对3521份有效问卷的统计结果如下：

 

从调查结果来看，认为集中安排好的比例高出认为分散安排好的比例，进一步的分析还发现：普通中学的教师更倾向于函数内容应当集中安排；学历越高，倾向于分散安排的比例越高。实际上，函数内容分散安排，对教师把握教材的能力提出了更高的要求，因此会造成上述结果。由于很多老师对于教材体系的这种变化还需要一个熟悉、理解的过程，因此出现这样的调查结果也是符合我们的预期的。但是，调查结果也说明对于函数这个初中数学教学的传统难点，教材不易过早提前安排，同时也要注意分散教学难点。

 

2．提供丰富的函数例证，帮助学生形成函数概念。

 

对于函数的认识，各版教材也基本按照初步认识→一般函数（函数概念、表示法）→特殊函数（一次函数、反比例函数、二次函数）的线索展开。各个版本教材在讲授函数概念以及具体的函数时，都注意采用实例。采用的实例注意联系学生当前实际，注意提供解析式、表格、图象等“多元联系表示”。一些版本教材在引入函数概念时的例子如下表：

人教版	路程与时间，售票数与票房收入，弹簧长度与悬挂重物质量，圆面积与半径，心电图，人口数与年份，气温与时间
北师大版	摩天轮高度与时间，堆放物体总数与层数，刹车距离与时间，气温与时间
华师大版	气温与时间，利率与存期，波长与频率，圆面积与半径
河北教育版	飞船高度与时间，折纸厚度与次数，路程与时间，矩形面积与边长，港口水深与时间，
江苏科技版	路程与时间，蓄水量与水位，搭小鱼所需火柴数与小鱼各数，圆面积与半径
浙江教育版	圆面积与半径，工资与工作时数，火星车速度与时间，跳远距离与起跳速度

 

抽象概念的学习要从具体例证开始，理解抽象概念需要具体例证的支持。函数是反映客观世界变化规律的一种数学模型，从典型实例出发引入函数概念，不仅有利于体现“函数模型”的思想，也有利于学生从各种运动变化的具体实例中理解函数的变化对应的思想，利于函数概念的形成。采用解析式、表格、图象等“多元联系表示”呈现具体实例，也有利于学生抽象概括出函数概念的“单值对应”的核心，避免产生“只有解析式表示的才是函数”的误解。

 

3．加强函数与相关内容的联系，用函数观点统领相关内容。

 

函数、方程、不等式都可以认为是刻画数量之间的关系的，突出它们之间的联系也是一些版本教材的特点之一。许多版本的教材都在教科书相关位置专门设置小节，讲授函数与方程、不等式的联系，从函数角度提高对方程、不等式等内容的认识。具体如下

人教版	八上“用函数观点看方程（组）与不等式（包括‘一次函数与一元一次方程’‘一次函数与二元一次方程’‘一次函数与一元一次不等式’三个小节）”；九下“用函数观点看一元二次方程”。
北师大版	八上“二元一次方程与一次函数”；八下“一元一次不等式与一次函数”；九下“二次函数与一元二次方程”
河北教育版	八下“一次函数与方程、不等式的关系”
江苏科技版	八上“二元一次方程组的图象解法”；八下“一元一次不等式与一元一次方程中、一次函数”；九下“二次函数与一元二次方程”

 

有些版本教材虽然没有专门设节，但也在相关内容中出现了反映函数与方程、不等式联系的内容。例如，华师大版教材和浙江教育版教材在“函数的应用”内容中呈现二元一次方程组、一元二次方程的图象解法等内容；河北教育版教材在“二次函数”一章“函数的应用”一节涉及二次函数与一元二次方程的联系的内容等。

 

函数概念是联系中学数学内容的一条纽带，它是覆盖面广、有统帅作用的概念。在初中数学代数式、方程、不等式的教学中，突出函数的观点，引导学生从函数思想出发思考和理解相关内容，从而使学生建立起“以函数为纲”的体现整体性、联系性的数学认知结构，对于丰富教学内容、提高学生数学学习中的思想性、发展学生的数学能力，是非常有益的：

 

二、对初中函数教学的建议

 

通过以上比较分析可以现，尽管各版教材章节安排、例题习题选取等都各不相同，但从整体安排到呈现方式都存在着很大的共性，由此也能反映出不同版本教材编者对于这部分内容的理解也是趋同的。因此，只有深入理解教材的编写意图，把握函数教学的核心，才能更好的完成这一部分内容的教学。

 

1．抓住函数概念核心，加强概念形成的教学

 

函数是反映客观世界变化规律的一种数学模型，反映的是什么样的规律呢？这也就是函数概念的核心的问题。纵观300年来函数概念的发展，从早期几何观念下的函数，到十八世纪代数观念下的函数，到十九世纪对应关系下的函数，再到现代的集合论下的函数，众多数学家从几何、代数、直至对应、集合的角度，不断赋予函数概念以新的思想，逐渐形成了现代函数的定义形式。而在初中学段引入的函数概念，是从运动变化的观点出发，用“变量”来描述函数：“在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与它对应，则称x为自变量，y为x的函数”。分析这个定义对函数概念内涵的文字描述，可以发现，它强调了近代函数定义中的“对应”，并且明确了“y对x是单值对应”，这又是吸收了现代函数概念中对“映射”的要求，但是没有从“集合”角度描述函数。因此可以认为，初中数学中的函数概念的核心，是函数概念三要素中的对应关系，并且明确其为“单值对应”关系。这主要包括了两层含义：第一，两个变量是互相联系的，一个变量变化时，另一个变量也发生变化；第二，函数与自变量之间是单值对应关系，自变量的值确定后，函数的值是唯一确定的。

 

函数概念具有内容的概括性、符号的抽象性、形式的多样性等特点。学生初次接触函数概念时，涉及到很多复杂的层次，包括：（1）在一个“变化”过程中；（2）存在“两个”变量；（3）这两个变量具有一定的“联系”；（4）一个变量的变化会引起另一个变量也“随之”变化；（5）两个变量存在“单值对应”的关系。这将直接导致学生在概括函数概念时出现障碍。另外，学生在学习函数概念之前，接触的基本上是常量数学的内容，是静态的数学知识。而函数研究的是变量与变量之间的关系，其特征是变化的、发展的、处于两个量的相互联系之中的。因此，函数概念形成中的抽象与概括以及对“单值对应”的理解也就成为函数概念教学的难点。

 

学生理解和掌握概念的过程实际上是掌握同类事物的共同、本质属性的过程，概念形成和概念同化反映了学生掌握概念的两种不同心理过程。根据中学生的认知特点，掌握概念的方式，应更多的采用概念形成，即从典型、丰富的具体例子出发，学生经过自己的实践活动，从中归纳、概括出一类事物的共同本质特征，从而理解和掌握概念。为了帮助学生形成函数概念，教学中要注意“举三反一”——通过给学生大量客观世界中反映这种变化规律的实例（解析式的、图象的、表格的），让学生经历“发生发展过程”，为学生提供独立概括概念的机会，经过分析、综合、比较而概括出函数概念“单值对应”的本质属性。在此基础上，再“举一反三”——用学生得到的函数概念再去看其他的对应问题，是不是符合函数概念的“单值对应”。在这一过程中，要注意恰当地使用反例，巩固学生对于函数概念的理解。

 

同样，对于特殊的函数（如正比例函数、一次函数、反比例函数、二次函数等），也要注意把握其概念的核心，注意概念的形成的教学。理解概念是一切数学活动的基础，学生的概念理解不清就无法进一步学习相关内容。对于函数概念教学的重要性要有充分的认识，要舍得花时间、花力气。

 

2．加强研究函数的一般方法的引导

 

如前所述，对于函数这部分内容，各个版本课标教材都是按照从一般到特殊的线索展开，对于一般函数，要研究它的概念、表示法、图象等；对于特殊函数，要研究它们的概念，图象和性质以及其他一些相关问题。仔细比较各个版本的教材，可以发现教材对于各个部分内容的处理思路、呈现方式也是基本一致的，其中存在着很多研究方法的联系。

 

例如，对于反比例函数概念的教学，大多经历这样的过程：从一些具体实例引入（包括匀速运动路程固定，速度与时间的关系；商品总价固定，单价与商品数量的关系；长方形面积固定，长与宽的关系；等等）；让学生概括其中的共同本质特征（函数关系，反比例关系）；下定义（给出反比例函数的文字和符号描述）；辨析概念（从反比例关系、函数两方面辨析概念，注意反例的使用）；例题（给出用概念作判断的操作步骤）；反思（与正比例函数、一次函数作比较，纳入概念系统）等。这个过程实际上体现了概念教学的几个基本环节：

 

?           概念的引入（从数学概念体系的发展过程或解决实际问题的需要引入）

?           概念的形成（提供典型丰富的具体例证，概括其本质属性）

?           概念的明确（准确的数学语言描述概念的内涵与外延）

?           概念的表示（用数学符号表示，这是数学概念的特色）

?           概念的巩固和应用（以实例（正例、反例）为载体分析关键词的含义，应用概念作判断）。

 

实际上，相关的函数概念的教学都要经历这样的几个过程。因此在教学过程中，适时地给他们一些“先行组织者”，加以研究方法的引导，对于学生理解相关概念是大有裨益的，可以起到事半功倍的效果。

再如，对于几种特殊函数性质的讨论，也有很多研究方法的联系。无论是对于正比例函数，还是一次函数、反比例函数、二次函数，都要研究以下问题：

 

?           研究的内容：自变量取值范围、函数的图象、函数的增减性等；

?           研究的方法：“三步曲”——画函数图象，观察归纳特征，数学语言描述性质；

?           相关的问题：图象与坐标轴的交点、何时函数值大于零或小于零等。

 

这些内容，反映了我们研究函数问题的“基本套路”。在开始对特殊函数的研究中，需要教师遵循这个套路，并能适时归纳和总结。在后续对其他函数的研究中，这个先行组织者就能起到“导游图”的作用，为将要学习的内容提供了一个框架或线索，使学生对学习进程心中有数，有助于学生完成后续内容的学习。

 

3．注意函数思想的渗透，用函数观点统领相关内容

 

客观世界的事物是运动变化的、相互制约的，相互之间既有联系又有矛盾，从而推动着事物向前发展。这种关系在数学中集中反映在函数和函数思想上。在中学阶段的数学教学要突出函数的内容，是数学家们长期实践后得出的结论。克莱因在为中学数学教学起草的《米兰大纲》（1905）中明确提出：“应将养成函数思想和空间观察能力作为数学教学的基础”；在其著作《高观点下的初等数学》中，他进一步强调用近代数学的观点来改造传统的中学数学内容，主张加强函数和微积分的教学，改革和充实代数的内容。

 

函数描写运动，刻画一个变量随着另一个变量的变化，给出一个数集到另一个数集的对应关系。变化与对应是函数思想的核心内容，而变量思想是函数思想的基础。在数学思维的发展过程中，由“常量”到“变量”是一个质的转变，发展学生对变量概念的理解需要一个较长的过程。这就要求教师在教学中要挖掘知识中蕴含的函数思想，有意识、有计划、有目的地进行函数思想方法的培养，潜移默化地启发学生领悟蕴含于数学知识之中的函数思想方法。

 

首先，在函数概念教学之前，需要提前渗透变化与对应的思想。在初中阶段，由具体的数过渡到用字母表示数，再由字母过渡到代数式、方程及简单的不等式等，都需要不断渗透变量思想的教学，在“变”与“不变”的辩证思想教学中强化学生的变量意识。例如，在有理数的运算中，可以通过让学生进行“对不同的数加上同一个数得到不同的结果”的练习，渗透集合、对应、根据法则由自变量求函数值；在进行“求代数式的值”的教学时，可以通过指出“字母每取一个值，代数式就有唯一确定的值”以及进行一些相应练习渗透对应的思想；通过讨论整式、分式、根式中字母的取值范围，可以渗透了函数的定义域；等等。这样做，将静态的知识模式演变为动态的讨论，赋予了函数的形式，让学生以运动的观点去领会知识，这是发展函数思想的重要途径。

 

其次，在进行函数内容教学时，要适时明确函数思想。在进行一般函数概念教学时，要把函数思想明确给学生，结合生活中函数关系的实例，使学生对函数中变化、对应的思想有初步理解，这是理性认识的开始。在进行具体初等函数教学时，要进一步充实函数思想的理论内容。这时，一方面要继续结合具体函数概念的建立让学生体会函数的变化对应的思想；另一方面要结合函数性质、函数图象的教学，进一步提炼和介绍函数思想方法。

 

最后，要注意函数思想的应用，用函数思想看问题。数可以看成特殊函数；数的运算可以看成特殊的二元函数；代数式可以容易地被改造成一个函数；数列是特殊的函数；解一元方程就是求一个函数的零点，解三角形化归为一个三角函数的问题；等等。因此，在学习函数概念后，要注意让学生以函数观点去重新审视相关问题。例如，方程f(x)=0就是函数y=f(x)在变化过程中的一个特殊状态，解方程就是求函数的零点，从而对方程的研究（像根的性质、个数、分布范围等）就与对应的函数性质研究联系起来了。再如，求不等式(x)＞0的解集就是考察函数y=f(x)的图象与x轴的位置关系问题，即考虑函数y=f(x)的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围。由于函数具有表现的丰富性、变化的过程性等特点，用函数观点研究方程、不等式，可以引进运动变化、数形结合等思想，这就给方程和不等式的研究开拓了思路和方法．这对理解他们的意义和解决有关问题都是非常有益的。还可以使学生已有的认知结构得到重新组合，在使知识系统化的过程中，加深对函数思想的理解和运用。

 

参考文献：

[1]林群主编．义务教育课程标准实验教科书（七年级上册～九年级下册）．人民教育出版社，2004，2007．

[2]马复主编．义务教育课程标准实验教科书（七年级上册～九年级下册）．北京师范大学出版社，2001．

[3]王建磐主编．义务教育课程标准实验教科书（七年级上册～九年级下册）．华东师范大学出版社，2001．

[4]杨裕前，董林伟主编．义务教育课程标准实验教科书（七年级上册～九年级下册）．江苏科技出版社，2004．

[5]范良火主编．义务教育课程标准实验教科书（七年级上册～九年级下册）．浙江教育出版，2004．

[6]杨俊英主编．义务教育课程标准实验教科书（七年级上册～九年级下册）．河北教育出版社，2004．

[7] 曹才翰，章建跃.《中学数学教学概论》（第二版）.北京师范大学出版社，2008.

 

（本文是国家社科基金“十一五”规划国家课题“新课改后各类教材特点的比较研究”中学数学子课题的研究成果。本文发表于《数学通报》2010年第12期）