摘要：无论在高三复习的初期还是最后阶段，基于逻辑的知识复习都有助于提高学生的数学思维水平的。要拒绝浮躁的、形式主义的复习方式，要让学生静下心 来，在解决问题的思维过程中提高思维品质。教师要让学生经历寻找解决数学问题方法的思维过程，并最终在思维层面落实研究数学问题的本质方法。

　　关键词：复习；逻辑；知识；思维；方法

　　如果从上一年9月份开始算，到来年6月上旬进行高考，有9个月的复习时间。其间，无论是教师还是学生，都投入大量的精力进行与高考相关的各个科目的总复习。这 促使我们不断思考：高三复习的价值在哪里？花费如此大的心血进行复习，目的是什么呢？

　　一、知识复习的逻辑

　　高三复习首先是从各个单元的知识复习开始的。在谈到知识复习的时候，听到教师讲得最多的是“落实”这两个字，从知识的落实到能力的落实都是被关注的话题。在教 师中形成的一个共识是：基础知识落实的效果如何，直接关系到学生的成绩。至于如何抓落实更有利于学生的全面发展，却有不同的理解和不同的教学方法。不能否认，有些 做法是违背教育教学本质的，对学生的全面发展有害。如：在落实基础知识的名义下，一些教师过于强调记忆结论而忽视知识形成的思维过程；重视大量重复训练而不给学生 思考问题的空间；课堂上教师舍不得时间让学生经历理解问题的过程而是满足于多讲多练。这种教学理念的背后实际上是把本来具 有丰富内涵的知识仅仅看成一个个僵化的结论，看成用于考试答题的工具。

　　实际上，知识复习的价值在于知识是复习的载体，通过知识的复习要收获的是学生对知识的的理解能力和研究能力，即通过知识的复习理解知识的内涵，研究不同知识之 间的内在逻辑关系，并在教师的指导下学会思考数学问题的思维方法，找到解决数学问题的一般方法，并能通过知识的复习，在数学思想、观念上有进一步的提高，最终指向 的是数学核心素养。

　　我们在知识复习中抓落实是没有问题的，但关键是落实什么。只有从知识本质的认识出发引导学生理解知识，从知识之间的逻辑关系的角度梳理知识的脉络，进而从整 体上认识知识，才是有价值的知识的复习。

　　在复习中，如果认为数学知识本身就是思维，就是能力，那是对数学思维和能力的误解；同样，脱离知识的复习，企盼学生数学思维能力和解决数学问题能力的落实也只 能是空谈。我们要摆正知识在高三复习中的位置：通过师生对数学知识的理解，让隐藏在知识背后的数学思维呈现出来；通过解决以知识为载体的数学问题，激发学生研究问 题的意识和能力；通过对知识之间逻辑关系的思考，引导学生从整体上把握所学的数学知识，建立起知识的逻辑。

　　基于知识逻辑的复习，既要让学生对每个知识点或知识块有准确的理解，又要让学生明确不同的知识点或知识块在整个知识系统中的地位以及它们之间的逻辑关系。这种 逻辑关系既体现在各单元知识所具有的地位和作用中，又体现在与其他单元知识的逻辑关系上。学生在这样的知识复习中，获得的是最核心的能力，即数学思维能力，具备数 学思维能力的学生在考场上的自信心是真实的。

　　而缺乏知识逻辑的知识复习不讲知识形成的思维过程，不讲知识之间的联系，损害的是学生的思维，弱化的是学生理解问题的能力；缺乏知识逻辑的知识复习由于片面强 调知识的运用，满足于学生能熟练地用数学结论去解题，导致学生在知识复习的过程中丧失了探寻解决问题方法的能力。无论是在高三复习的初期还是最后阶 段，基于逻辑的知识复习都有助于提高学生的数学思维水平。从这个意义上来看，知识复习在高三复习的过程中占有非常重要的地位，是提高复习质量的保证。

　　二、思维复习的逻辑

　　在高三复习的每一个阶段，不论是学生、家长还是任课教师，都容易出现不同程度的急躁情绪。如何尽快提高学生数学的思维能力，以期在高考中取得令自己满意的分 数，成为大家共同关注的话题。我认为解决这个问题的关键，在于明确学生在数学复习中存在的问题是什么，阻碍学生提高数学成绩的最大障碍是什么。只有如此，才能够提 高数学复习的针对性，也才能够真正提高学生数学复习的效率，让学生感受到数学复习的价值。

　　学生在高三数学的知识复习中暴露出来的问题，表面看是由知识本身的问题造成的，如，所学的定理、公式记不住，不会运用所学的知识解决数学问题，等等。但是从 数学学科的特点去分析的话，不难看出，问题产生的根源在于学生思维能力不足。正是由于学生对所面临的数学问题的理解不够全面和深刻，直接影响到他们对所面临的数学 问题解决方法的选择和解决问题策略的制定，最终影响他们复习好数学的信心。教师对学生的思维水平的提高在认识上和教学实践中也存在一些问题，如，在一些高三课堂 上，教师对学生的思维水平所存在的问题的关注远远不够，还看不到学生在数学学习中所面临的最关键的问题是思维的问题，针对思维水平提高的复习严重缺乏。特别是在高 考越来越近的最后阶段，让学生记忆定理、公式甚至经典例题，倒成了很常见的现象。

　　我认为，学生思维水平的提高在于：教师要帮助学生在知识复习的过程中，建立起思维逻辑，也就是引导学生找到理解数学问题和解决数学问题的思维规律。学生思维水 平高的标志在于他的思维具有逻辑性；教师的水平高也是通过他所教的学生的思维具有逻辑性体现出来的。

　　知识与思维之间的关系是怎样的呢？知识的形式是丰富多彩的，但是如果从思维的角度去理解这些知识的话，不难发现，许多知识所承载的思维特征却是一致的。原因在 于，各个单元的知识都是以核心概念为基础的，概念是思维的载体。如果在知识学习的过程中，教师能够从众多的知识中提炼出本质的思维特征，学生就会看到随着学习的深 入，知识表面看越来越多，但是从思维层面看，其逻辑主线却非常清晰。因此可以说，基于思维逻辑的知识才是我们要学习的知识，没有思维做统领，不能从思维的层面去 认识的话，学生得到的知识就是孤立的，离散的，最终得到的知识是记忆后得到的而不是理解后得到的，这样的知识学习完全背离了学习的价值与意义。

　　作为教师要坚信：思维是可以教的！这里的思维是指以学科知识为载体的思维特征。我们进行数学教学最为重要的任务之一，就是要教会学生用数学的思维方法去理 解问题。由于每个单元的知识不同，所在的学科体系不同，知识所承载的思维特征也不同。如果看不到单元知识所承载的思维特征的不同，教学中数学思维的特点就不明晰， 不论学习哪个单元的数学知识，似乎都是在进行解题的训练，都是在进行运算。其实，也正是各个单元的数学思维特征的不同，才能够让我们感受到数学思维的魅力和数学思 维的乐趣。

　　作为教师，要研究如何在教学中教会学生进行思维活动，这是教师工作专业性的体现。当给学生一个问题情境的时候，后面的具体问题先不给出来，我们要了解学生是如 何理解这个问题情境的；当我们提出一个数学问题的时候，为了了解学生的思维状况以便我们进行思维的教学，要留给学生思维活动的空间，让学生有的可想；当我们给学生 的是用符号语言所表达的函数性质的时候，我们不要急于让学生说出其几何特点，而应该引导学生去思考这个符号语言所表达的函数性质是什么，让学生能够用自变量与因变 量的关系揭示函数的性质，在这个基础上所理解的函数的几何特征才不是记忆后的结论；当我们引导学生研究完函数的性质之后，让学生画出函数的示意图的时候，我们 可以在学生动手画图之前，让他们说一说这个图是什么样子的，这个时候就是学生动脑思维的时候。

　　我们常常说，教师要精心设计教学，精心设计问题，就是要通过自己的设计与课堂实践，使得课堂教学是以思维活动为主导的教学，我们提出的问题也是以能够激发学生 的思维为标准的。在做法上，可以把例题改成问题，让学生在研究问题的氛围中进行思维活动，理解问题，研究问题；提出的问题 要关注学生对问题的理解、对条件的理解、对研究对象的理解、解决问题思路是什么等等，而不是直接问解法。

　　思维的复习是高三复习的重要工作，但它比较隐形，教师只要不关注，思维的复习就会被各种各样的方法所掩盖，提高学生的思维能力就演变成答题的操作能力，而这种 能力如果不是在思维能力的基础上建立的，就很可能沦为解题套路的演练，而这不是数学教学包括数学复习的目的所在。学生解决数学问题的自信心不是源于自己的老师多么 优秀，也不是源于自己做了多少数学题目，而在于他是否掌握了独立思考数学问题的方法。而这正是我们在高三复习阶段给学生留出思维空间的原因。

　　思维是一种安静的力量。只有思维，才最接近数学学习的本质；只有思维，才能够让我们的学生变得越来越聪明；只有思维，才能够让我们的数学教学有意义。我们要拒 绝任何浮躁的、形式主义的复习方式，因为那是违背教学规律的。作为教师的我们，要让学生能够静下心来，坚持不断地思考，在解决问题的思维过程中提高自己的思维品 质，以积极的思维状态迎接人生的一次思维盛宴。

　　三、方法复习的逻辑

　　学生解决数学问题的方法是从何而来的呢？在高三近一年的复习中，学生为什么要做那么多的数学题目？做题的价值在哪里呢？如果学生的数学成绩不理想，不论是教 师还是家长，常常把原因归结为学生做的题目少，似乎解题能力的高低在于所做题目的数量。但现实告诉我们，很多学生在高三复习中已经做了大量的题目。可数学成绩未见 有明显的提高，解题能力徘徊不前，这又如何解释呢？还有一种观点认为，解题的方法越多，解决问题的能力就越强，这里的方法多不仅体现在解决不同的数学问题中，即使 是同一个数学问题，对于各种各样的解法的探寻也是很多教师和学生孜孜以求的一个目标。在高三复习的最后阶段，无论是教师还是学生都应该追问自己，解决数学问题的方 法有没有规律可循呢？进行方法复习的逻辑是什么呢？

　　我们深知：提高学生的数学能力除了要提高学生的思维能力之外，就是要提高学生的解决问题的能力。这种能力与思维能力相比具有显性的特点，直接关系到学生能否解 出数学题目，是最容易和学生的数学成绩联系在一起的。但是如何让学生具备解决数学问题的能力，在教学理念上和具体的教学方法上存在着很大的差异。

　　题型化（或者说套路化）解题方法的教学，其最基本特征就是，把要解决的数学问题从形式上做分类，每一类问题对应解决问题的方法。在这种理念下进行的教学，追求 的是学生能够尽快地识别出问题的类型，并采用相应的方法进行解题；在这种理念下学生解决数学问题能力的体现，更多的是在操作层面。

　　这种教学的模式是：

　　在这种理念下的教学策略是：教师通过典型例题的分析，归纳问题的类型并针对每一个类型明确具体的方法，最后是应用训 练。这种教学的优势是：教师“好”教，学生“易”掌握，“见效”快。但存在的问题也是不容忽视的：由于解决数学问题时学生思维的指向是识别问题的类型，所以容易忽 视对数学问题本身的理解，对所研究对象的本质分析往往不到位、不全面。学生一旦识别不出问题的类型，就断定没有办法解决这个问题而放弃作答。

　　在大量重复训练的基础上，虽然学生掌握了这种识别数学问题类型的能力并会运用对应的方法解决问题，但是面对高考试题在形式上不断创新的现实，当发现问题并不是 熟悉的类型的时候，他会对解决这个问题缺乏信心以致产生不必要的慌乱，最终导致无法解决问题，而所谓的“不是熟悉的类型”其实仅仅是外在形式上的差别，数学问题在 本质上没有什么变化。

　　上述类型化、套路化的解题能力的教学，由于没有碰触到数学问题的本质，所以对学生数学思维水平的提高是无力的，对学生解决问题能力的培养也是非本质的，获得 的仅仅是应试背景下分数最大化的虚幻的满足。多做一些数学题目的确有利于提高学生的解题能力，但是如果以为靠解题数量的积累就能提高能力是不现实的，是对解题能力 的一种非理性认识。

　　我们必须认识到，解决数学问题的能力最终是学生的数学思维能力，这种能力的培养要通过学生的思维活动来完成。教师要让学生经历寻找解决数学问题方法的思维过 程，并最终在思维层面落实研究数学问题的本质方法。

　　我认为，解决数学问题的方法实际上有两个层面。首先是针对数学问题所涉及的对象的研究方法。这种研究是每个数学问题在解决之前都要做的事情，其研究方法符合学 科的思维特点，具有一般性。这种研究方法我们称之为解决数学问题的一般方法。其次是在一般方法之下的解决具体问题的具体方法。这种方法的获得是在一般方法运用的前 提下进行的，是在充分认识研究对象本质的基础上的具体解决方法。

　　至此，我们可以回答“解决数学问题的方法是如何得到的”问题了。以研究函数的问题为例，如下页图所示。

　　当我们面临一个函数问题的时候，一般来说都会给出函数的解析式，并围绕这个函数提出各种各样的问题，也就是学生所做的题目中的第一问、第二问、第三问。随着函 数解析式的变化，也就是给出各种各样的函数，学生所面临的函数问题更加五花八门。但是，无论是一个函数提出很多的问题还是不同的函数提出各种各样的问题，要想找到 解决这些问题的方法，都必须对和问题相关的函数性质作充分的研究。换句话说，只要给出函数的解析式，我们就要让学生掌握这个函数的所有性质，如函数的对称性、函数 的单调性、函数的周期性，也包括研究函数的零点进而分析函数值的分布。在这个基础上，学生就可以把这个函数的示意图画出来，通过这张图来直观地表达出函数所具有 的性质。以上研究是所有的函数问题都要经历的，是对这个函数性质的本质把握，不能因为所提出问题的不同而有选择地研究函数性质。这样的研究就是研究函数性质的一般 方法。

　　那么，围绕这个函数所提出的具体问题，如比较两个函数值大小的问题、求满足某个不等式的前题下的参数范围等，学生就能够比较容易地找到解决方法了，因为他已 经完全把握住了这个函数的性质。

　　学生在高考考场上的自信心是如何建立的呢？经过近一年的复习，如果他们已经掌握了数学各个单元的思维特征，学会了用数学的思维去思考数学问题；如果他们掌握了 研究数学问题的一般方法，会以研究问题的心态去解决数学问题；如果他们掌握了数学各个学科的学科观点，会用学科的思想理解数学问题的话，他们必然会有足够强大的力 量和自信，也必将会在即将进行的高考中取得令自己满意的成绩。

　　（作者系北京市海淀区教师进修学校数学教研员，北京市数学特级教师，正高级教师，苏步青数学教育奖二等奖获得者。人教版《普通 高中课程标准实验教科书·数学2》编写人员。中国教育学会中学数学教学专业委员会第七届理事会理事，北京市学习科学学会数学学科专业委员会副主任委员。）

　　（责任编辑：李　冰）