摘要：良好的开端是成功的一半。数学概念的引入教学应基于知识本质，围绕知识本质展开。具体地，可从数学概念的目标指向、数学概念的先行组织者、数学概念的产生源头、相关数学概念的局限性等方面入手。

　　关键词：数学概念；引入教学

　　数学概念的引入教学至关重要。数学本质是数学知识的内核，是数学教育价值之所在，数学教学应基于知识本质、围绕知识本质引入数学概念。

　　一、从数学概念的目标指向引入

　　任何数学概念都有一定的目标指向和特定的功能，都是为刻画特定的现实世界、解决特定的数学问题而建立。明确数学概念建立的缘由与必要性是学生理解数学概念价值与意义的重要途径，是激发学生学习兴趣，增强学生学习动力的重要手段，也是学生运用数学概念解决相关问题的基础。如，函数零点概念是为用函数思想、函数方法求方程的近似解服务的，因此，与其简单地告知学生这个概念，不如揭示其产生背景，让学生明确这个概念的目标指向。教学时，教师可创设如下情境：你会解方程3^x=3-x吗？你会用图象法解这个方程吗？（如图1。）进而追问：你能保证用图象法所得的解达到一定的精确度吗？如何使这个解达到一定的精确度？为了使这个方程的解越来越精确，方程左、右两边的差3^x-（3-x）应趋向于什么？学生通过思考、探究以上问题，发现：可以通过计算求没有求解公式的方程的近似解，而且这种近似解还可以精确到一定程度；可用函数观点、函数方法来研究方程，方程的解就是使相应的函数的值为0的自变量的值。这样函数零点的概念就呼之欲出、水到渠成了。

　　又如，“曲线与方程”概念的本质是曲线与方程之间的等价性，其目标指向是厘清曲线与方程的关系，解决为什么能通过方程研究曲线、如何保证曲线与方程之间的等价性问题。因此，“曲线与方程”概念的引入应紧紧抓住如何使曲线与方程等价这一核心问题：从平面上的点与有序数对（x，y）一一对应出发，分析点按一定条件运动时有序数对（x，y）应满足的条件，即x、y应满足怎样的关系式。通过分析第一、第三象限的角平分线与方程x-y=0的关系等，抽象、归纳出一般曲线与方程的关系，使学生理解正是条件“曲线上点的坐标都是这个方程的解；以这个方程的解为坐标的点都在曲线上”从两方面保证了曲线与方程之间的等价性，进而理解曲线与方程概念的合理性与必然性。再如，三角函数的本质是刻画现实世界中周而复始现象的数学模型，考虑到圆是具有周而复始性质图形的典型代表，并且单位圆是最具代表性的圆，所以借助单位圆研究任意角的三角函数是顺理成章的事情（如图2）。

　　二、从数学概念的先行组织者引入

　　许多数学概念有上位概念，或者蕴含着更高层次的数学思想方法与思维方法。这些上位概念、数学思想方法与思维方法对数学概念的建立起先行组织者的作用，在学生已经知道的知识和需要学习的知识之间架设了一座桥梁，使学生的学习成为一种有意义学习。如，坐标法是学习解析几何最重要、最基本的先行组织者，斜率概念宜在坐标法思想的指引下，在问题“如何用直线上点的坐标刻画直线方向”的驱动下，通过类比坡度概念得出。类似地，解析几何其他知识的学习也宜在坐标法思想的指引下进行。

　　把某些具体函数一般化、理想化是建立初等函数模型的一般方法。指数函数、对数函数、幂函数等概念宜在此先行组织者的指导下建立。类比、从一般到特殊、从特殊到一般、数形结合、分类讨论等是研究函数性质的一般方法。指数函数、对数函数、幂函数性质的研究宜在这些先行组织者的指引下进行。这种基于先行组织者的教学有助于学生在更广阔的背景下更好、更深刻地理解概念，有助于知识的系统化与结构化，有助于学生自主建构数学概念、发现数学结论。相反，缺乏先行组织者的引导，相应的数学学习、数学探究将会变得盲目而被动，所得的知识往往是静止的、孤立的。

　　需要指出的是，对同类概念中的第一个概念，如指数函数、对数函数、幂函数中的指数函数，等差数列与等比数列中的等差数列，圆锥曲线及其标准方程中的椭圆及其标准方程，等等，教师应舍得投入时间，在更一般的意义上搞清楚其研究问题、研究策略、研究方法，使其对后续学习起先行组织者的作用。

　　三、从数学概念的产生源头引入

　　任何一个数学概念都有一个产生的源头，有一个萌芽与发展的过程。以数学概念的产生源头为切入点，就抓住了数学概念的“根”。数学归纳法的发展经历了漫长的历史过程。它的理论基础是最小数原理（每一个非空自然数集都有一个最小值），源头是归纳与发现，核心思想是递推，实质是“三段论”演绎推理。鉴于学生头脑中已经有数学归纳法的萌芽，如，数数可以从1开始无穷无止地数下去，推导等差数列通项公式时确信它一定成立，也鉴于学生形成数学归纳法思想需要一个过程、需要不断感悟，数学归纳法的引入应让学生在对各种结论的“连续归纳”^[1]（由此得到的结论只是一种猜想或假设，若要确认其成立，还需要严格的证明）中感悟数学归纳法的意蕴，积极探索、揭示为什么由此得到的结论一定成立，其背后的秘密与原理是什么。通过思考为什么前n次摸到的都是白球也无法确定第n+1次摸到的是白球，为什么由等差数列{a_n｝的通项公式a_n=a₁+（n-1）d对第n项成立时一定有对第n+1项也成立等问题，搞清楚数学归纳法的“核心秘密”在于有一定的机制或条件保证“n=k时命题成立，必有n=k+1命题成立”。因此数学归纳法的引入应抓住数学归纳法的产生源头、形成过程与精神实质。

　　椭圆的焦点与定长的发现是一件非常困难的事情，但从其产生的源头入手，能较好地突破这个难点。椭圆可由圆演变而成，而圆有圆心与半径，因此可猜想椭圆有与圆的圆心和半径相类似的东西。考虑到球在与地面垂直的阳光照射下地面投影是圆，切点是圆心，在与地面斜交的阳光照射下在地面的投影是椭圆，且球与地面的切点是从原来的圆心出发并逐渐偏离，可猜想球与地面的切点就是要找的椭圆中类似于圆的圆心的点。由椭圆的对称性，猜想椭圆还有另一个这样的点。在此基础上，再对椭圆的几何特征给出严格的证明（如图3）。^[2]

　　许多数学概念是针对相关概念存在这样那样的局限性提出的。直线斜率概念是针对倾斜角概念虽然能表示直线的倾斜程度但解析化程度低（指没有用直线上点的坐标来刻画）、运算不便提出的。高中函数“对应说”定义是针对初中函数“变量说”定义中“一个变化过程”“变量”“y是x的函数”等含义不够清晰、容易引起误解而提出的。分层抽样是针对当总体由差异明显的几个部分组成时，系统抽样容易产生较大的误差提出的。以相关概念的局限性为切入点引入新概念有助于学生理解数学概念的“过去与现在”，尤其是概念发展过程中所蕴含的“联结点”与“关键点”，有助于学生更好地把握概念间的联系与区别。

　　导数是刻画函数在某一点变化快慢程度的量，瞬时变化率是导数的灵魂和实质。笔者曾分别在三所浙江省一级重点中学创新班观摩以“导数”为主题的高三复习课，课堂观察和课后调查表明：学生能熟练地用导数来判断函数增减性，却不清楚导数概念是在怎样的背景下、为解决怎样的问题提出的，不清楚导数概念的数学意义。这种现象与高考导数的命题导向有间接关系，与导数教学没有搞清楚导数概念的源头有直接关系。函数的单调性能够刻画函数的变化趋势，但不能刻画函数变化的快慢程度，因此导数概念的切入点应是函数单调性概念及其局限性。或者说，函数单调性概念是导数概念的生长点与固着点，导数概念是函数单调性概念的深化与发展。

　　类似地，角度制可作为弧度制产生的源头与起点。角度制中，人们用度、分、秒来表示角的大小，但再精确下去就会遇到麻烦。因为度、分、秒之间是六十进制，如果出现别的十进制的量，就会同时出现六十进制和十进制，这既别扭又不方便。更重要的是，如果角x采用角度制，那么三角函数与自变量就无法进行四则运算，x+sinx、sinx/x等就会含义不清。另外，尽管60是一个“很好”的数字，有2、3、4、5、6、10、12、15、20、30等众多约数，但六十进制终究不是最常见的。弧度制就不一样了，周角等于2π弧度是由角内在的本质属性确定的，是“客观的”。

　　基于知识本质引入数学概念有助于克服数学教学“去数学化”、重结论轻过程、重知识轻能力等现象，有助于数学学习由表层学习走向深度学习，有助于充分挖掘数学的教育价值，能有效地培育学生的数学核心素养。

　　参考文献：

　　[1]王科，汪晓勤.代数推动下的数学归纳法演变[J].数学通报，2014（8）：12-16.

　　[2]李昌官.再谈寻找数学内在的逻辑力量[J].中学数学教学参考（中旬），2013（9）：2-4.

　　（作者系浙江省台州中学教师，台州市高中数学课堂教学评比一等奖获得者。）

　　（责任编辑：李　冰）