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给学生完整的中学数学教育

李昌官    2017-12-12

  摘要当下残缺的、结构不良的中学数学教育导致了学生的畸形发展。应在提高认识的基础上,从教育目标、数学活动与数学活动类型、数学思维方式、数学教 与学方式、数学教育评价等方面入手,建构完整的、内在结构良好的中学数学教育。

  关键词完整;结构良好;中学数学教育

  中国中学数学教育的优势与劣势都十分明显,优势主要是学生数学的基础知识、基本技能、基本思想方法扎实,劣势主要是学生自主建构数学知识能力、运用数学知识解 决实际问题能力、创新能力弱。这一畸形发展,在很大程度上源于中国中学数学教育的残缺与内在结构失衡,因此当下急需给学生一个完整的、结构良好的中学数学教育,以 更好地促进他们核心素养的发展。

  一、何为完整的中学数学教育

  完整的中学数学教育是指教学目标、教学内容、数学活动、数学思维方式、数学教与学方式、数学教育评价等方面都具有完整性和良好结构性的数学教育。其中的完整性 与良好结构性是指该系统内部的结构要素齐全,并且各要素所占的“份额”恰当,不同要素之间能够和谐协调、相互促进。若不然,那就是残缺的,或结构不良的。如,只 追求分数、不考虑育人的教育目标是残缺的,例题与习题所用时间过多、探究建构数学概念与数学原理所用时间过少的数学活动是结构不良的。

  完整的中学数学教育具有如下两个特点:一是它该有的各方面、各要素都有,并且这些方面、这些要素能够相互协调和相互促进;二是它的各方面、各要素所占“份额” 恰当、协调,能够发挥教育的最大效益。

  二、为何要给学生完整的中学数学教育

  (一)数学的整体性决定了数学教育的完整性

  数学既是不断发展的整体,也是不可分割的、相互联系的整体。数学发展的连续性与整体性决定了数学教育应是一个连续的、完整的过程。数学发展离不开各部分的相互 协调与相互促进,这决定了数学教育也离不开各部分的相互协调与相互促进,决定了数学理解的实质是建立概念、事实或方法之间的内在联系,使之成为一个统一的、相互协 调的整体,因此,数学知识的整体性决定了数学教育应该是完整的,而不是残缺的。

  数学不只是概念与定理、方法与技巧,而应是技术与工具、语言与思维、文化与精神的统一体。数学的教育价值主要包括作为技术的工具价值、作为思维体操的训练价值 和作为文化精神的育人价值三个方面。数学不仅是手段与工具,还是目的本身;“为数学而数学”是一种美好的追求。因此,数学教育功能与价值的整体性,同样决定着数学 教育应是完整的,而不是残缺的。

  (二)完整的数学教育有助于培育完整的人、完整的能力

  人的整体性、人的发展的整体性决定了人需要完整的营养,需要身与心两方面的食粮,而完整的精神食粮离不开完整的数学教育。相应地,数学教育应在学生的一般发展 和整体发展上取得尽可能大的效果[1],为培育完整的人作出更大的贡献。

  智力教育应是整体性教育———智力的各组成要素要着重综合训练,个性心理品质要力求整体培养,身心两方面要和谐均衡地发展。 [2]完整的数学教育能够为学生的智力发展提供全方位的营养,进而更好地促进学生智力的发展。举个反面例子。传统的数学教育重视应用题教学,但没有有效地发展学生 的数学建模能力和运用数学知识解决实际问题的能力,因为它的建模和问题解决过程不完整。它已经把现实问题转化为用自然语言表示的数学问题,学生只需把自然语言转化 为数学语言,然后借助已有的数学模型求解即可。或者说,传统的数学应用题省略了两个关键环节:一是如何把现实问题抽象、转化为数学问题;二是如何创建适当的数学模 型。因此它不能有效地培养学生相应的能力,达不到预设的教育目标是必然的、合乎逻辑的。这从一个侧面说明:只有完整的数学活动才能培养学生完整的数学能力。

  (三)完整的数学教育有助于提高教育的综合效益

  亚里士多德曾提出一个著名的命题———整体大于局部之和。苏联著名教育家、心理学家赞科夫指出:“教育作用的完整性是保 证教育作用对发展有高效果的关键所在。”[1]综合出效益,整体出效益。正如战争的胜利所依靠的不是单种武器,而是整个武器系统 的效能与效力,数学教育也需要借助完整性,通过完整性提高效能、效力与效益,进而实现“1+1大于2”的综合效果。

  三、如何给学生完整的中学数学教育

  (一)坚守数学教育目标的完整性

  当下的数学教育目标是畸形的、残缺的,其主要表现是:重数学知识与技能,轻数学原理与思维;重数学学科内部知识,轻与其他学科融合;重提高考试分数,轻发展 核心素养;重知识、技能等看得见、摸得着的显性目标,轻思维方式、学习方式、智力美德等对学生长远发展至关重要的隐性目标。

  鉴于数学教育的对象是一个有待进一步发展和完善的人,数学教育应把数学放在学生作为人的发展需求视角加以审视,并与其他学科教育构成一个完整的、能有效促进学 生核心素养发展的教育体系。同时,作为整个教育体系一部分的数学教育应围绕、服务于总体的教育目标,处理好数学核心素养与人的核心素养的关系,坚守数学教育目标的 完整性。在具体教学中,应做到课时目标、单元目标、课程目标相互配合、相互支持、前后协调,知识与技能目标、过程与方法目 标、情感与态度目标相互融合、相互促进。

  (二)坚守数学活动和数学活动类型的完整性

  当下,学生数学学习内容的完整性问题不大,但数学活动和数学活动的类型明显是残缺的、不完整的。如果说,完整的数学活动由在现实背景中提出数学问题、分析寻找 解决问题的思路与方法、实施解决问题的计划、检验所得数学结论是否成立、运用数学结论解决相关问题、在新的背景和条件下提出新的问题六个环节组成,那么,当下学生 主要参加了实施解决问题计划与运用数学结论解决相关问题(主要是数学内部问题)两个环节。在学习时间的分配上,明显存在例题、习题所用时间过多,而探究、建构数学 概念原理所用时间过少的问题。数学活动类型的残缺主要表现在:重解决问题的活动,轻提出问题的活动;重运用数学模型的活动,轻建构数学模型的活动;重数学证明活 动,轻数学猜想活动;重教师安排数学活动,轻学生自主策划数学活动;重数学书本知识的重复学习,很少有数学知识的实践运用。这些残缺的、结构不良的数学活动虽然 培育和发展了学生的部分数学能力,但只是解决局部问题的能力,难以满足学生今后从事完整的、全面的数学活动的需要。

  “完整的活动,是在学习过程中由学习者自己采取每一步骤的活动。由学习者确立目的、制订计划、执行计划、作出判断。”[3]177虽然学生并不需要所有的数学活动都是完整的,但至少需要有更全面的数学活动、更完整的数学活动。数学教学应整体设计、通盘考虑,更多地聚焦完整的研究任务,更多地 让学生参加完整的数学活动和不同类型的数学活动,尤其是真实的、完整的数学建模活动。数学教育应强化数学活动类型的完整性和它们之间的联系性,使之成为一个相互补 充、有序递进的学习与研究体系;应通过数学活动和数学活动类型的完整性来保证和培养学生数学素养的完整性。

  (三)坚守数学思维方式的完整性

  思维方式是人们看待事物的角度、方式和方法。学数学在很大程度上都要学习、形成数学思维方式。当下学生的思维方式普遍存在如下问题:一是重演绎推理,轻合情推 理;二是重一招一式的解决细节问题的技能,轻解决问题的一般策略与方法;三是重解决现成的数学习题的模仿性思维,轻构建数学知识和解决开放型问题的创新性思维。

  从本质上看,思维是探索未知的将来;从实际目的看,思维是由眼前这一事物预料另一事物;从进程看,思维是由此及彼的过程。 [3]186因此数学思维,既需要寻找预测解决问题的思路与方法,也需要使预测可靠,不犯错误,至少少犯错误。相应地,数学学习与研究,无论是寻找解决问题的思路与方 法,还是发现、证明数学结论,都需要大胆猜想与小心求证的有机结合,需要合情推理与演绎推理的有机结合。因为过于注重演绎推理容易陷于线性的、形而上学的思维方 式,用这样的思维方式思考问题不大容易找到解决问题的思路与方法。

  针对学生思维方式存在的问题与不足,数学教育应从思维的原理、规律和方式方法出发,加强数学直觉、数学猜想教学,加强一般性思维策略与方法的指导,加强建构和 创造数学概念思维策略的指导,加强探究和发现数学结论思维策略的指导,加强问题解决后对所用的思维策略与方法的回顾、反思与提炼,指导和训练学生形成对问题进行反 复的、严肃的、持续不断的深思的习惯,养成理性地、有条理地思考问题的习惯。

  以求解函数 y =3sinx + 4cosx 最值为例。应加强对思路的分析与寻找,加强对问题解决思维合理性甚至必然性的揭示:这是 一个三角函数最值问题,我们能求哪些类型的三角函数最值?能否借助适当的载体和工具把 y =3sinx + 4cosx 转化为y = Asin(ωx+φ)+k或y =Acos(ωx+φ)+k的形式?观察所给函数的特点,猜想可用sin(x+y)=sinxcosy+cosxsiny 或者 cos(x+y)=cosxcosy-sinxsiny。怎样利用公式Sx+y+把y=3sinx+4cosx转化为y=Asin(ωx+φ)+k的形式?观察发现, 若能,必然有:ω=1,k=0,Acosφ=3,Asinφ=4,进而有A2(cos2φ+sin2φ)=32+42,A=5,cosφ=3/5,sinφ=4/5。在问题解决后,应做好解题思路的回顾、反思与深化工作。通过回顾、反思,明确以上思维过程蕴含着如下一般策略与方法:一是转化, 即化未知为已知,化不熟悉的为熟悉的,化复杂为简单,化多项为一项;二是观察、联想,即观察所给问题及解决过程中得到的新问题,联想相关数学知识,找到解决问题的 工具;三是差异比较,即通过比较条件与结论间的差异,寻找两者间的联系,架设两者间的桥梁;四是建立模型,即函数y=Asin x+Bcosx的最值问题可转化为求y=sin(x+φ)最值问题;五是反思拓展,即此问题也可转化为y=cos (x+φ)型。通过这样的问题解决,学生学到的不仅有解决此类问题的思路与方法,也有思考、解决更一般问题的策略与方法。

  (四)坚守数学教与学方式的完整性

  不同的教学模式、教学方法都有固有的特点与功能,也有固有的缺陷与不足。当下,教师教的方式、学生学的方式都过于单一:讲授、听讲过多,探究、发现不足;借 助眼睛、耳朵学习过多,借助嘴巴、双手学习不足;全班统一听讲、个体独立学习过多,小组合作学习、合作探究不足;借助纸笔学习过多,借助电脑和网络学习不足。

  应保持教的方式、学的方式的多样性与完整性。学生听讲与接受是需要的,探究与发现同样是需要的,两者需要有机结合、相互促进,做到听讲与接受是为了更好地探究 与发现。借助眼睛看、耳朵听来学习是需要的,借助嘴巴说、双手做来学习同样需要,看、听、说、做、想需要有机结合、相互促进。个体独立学习是需要的,小组合作学习 同样需要,两者应相互结合、相互补充、相互促进;没有小组合作学习的学习是不完整的。借助纸笔学习是需要的,借助电脑与网络学习同样需要,两者也应相互结合、相互 补充、相互促进。也就是说,相辅相成的教学方式、学习方式之间应该把握好“度”和“比例”。

  (五)坚守数学教育评价的完整性

  当前的数学学业评价与课程改革、教学改革存在诸多深层次的矛盾。首先,以建构主义和人本主义理论为基础,人本化、多元化、发展性的教学与高利害的、单一的、重 知识技能考查的评价存在尖锐的矛盾;其次,以合作、对话、交流、体验、宽容等为特征旨在促进学生生命自然成长的教学与强调精确、控制、熟练为特征的评价存在尖锐 的矛盾;再次,以问题、探究为特征的旨在培养学生能力与思维的教学与侧重知识与技能考查的评价存在很大的矛盾;第四,数学考试时间过短,没有为学生提供足够的思考 与探究的时间,迫使教师和学生进行强化训练以便达到“自动反应”和“条件反射”的水平。

  当下,应着力缩小数学教育评价的理念和技术与课程改革的理念和技术之间的落差,应以教育评价的完整性与良好的内在结构来引领和促进教育目标、教学内容、数学 活动和数学活动类型、思维方式、教学方式等的完整性与良好的结构性。

  参考文献:

  [1]赞科夫.教学与发展[M].杜殿坤,张世臣,俞翔辉,等,译.北京:人民教育出版社,2008.

  [2]段继扬.智力的结构性和智力教育的整体性[J].湖北师范学院学报,1985(1):97-103.

  [3]威廉·赫德·克伯屈.教学方法原理(第二版)[M].王建新,译.北京:人民教育出版社,2016.

  (作者系浙江省台州市教育局教研室书记、博士,浙江省首批正高级教师,浙江省特级教师,苏步青数学教育奖一等奖获得者。)

  (责任编辑:李 冰)

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